Дифференциальная структура

В математике , п - мерная дифференциальная структура (или дифференцируемая структура ) на множество М делает М в п - мерного дифференциальный коллектор , который является топологическим многообразием с некоторой дополнительной структурой , которая позволяет дифференциальное исчисление на многообразии. Если M уже является топологическим многообразием, требуется, чтобы новая топология была идентична существующей.

Определение [ править ]

Для натурального числа n и некоторого k, которое может быть неотрицательным целым числом или бесконечностью, n- мерная дифференциальная структура C ^k ^[1] определяется с использованием C ^k - атласа , который представляет собой набор взаимно однозначных отображений, называемых диаграммами между коллекциями. подмножеств M (объединение которых составляет все M ), и набор открытых подмножеств : ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

{\ displaystyle \ varphi _ {i}: M \ supset W_ {i} \ rightarrow U_ {i} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}

которые являются C ^k -совместимыми (в смысле, определенном ниже):

Каждая такая карта обеспечивает способ, которым определенные подмножества многообразия можно рассматривать как открытые подмножества, но полезность этого понятия зависит от того, в какой степени эти понятия совпадают, когда области двух таких отображений перекрываются. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Рассмотрим две диаграммы:

{\ displaystyle \ varphi _ {i}: W_ {i} \ rightarrow U_ {i},}

{\ displaystyle \ varphi _ {j}: W_ {j} \ rightarrow U_ {j}.}

Пересечение областей определения этих двух функций равно

{\ displaystyle W_ {ij} = W_ {i} \ cap W_ {j}}

и его карта по двум диаграммам соответствует двум изображениям:

{\ Displaystyle U_ {ij} = \ varphi _ {i} \ left (W_ {ij} \ right),}

{\ displaystyle U_ {ji} = \ varphi _ {j} \ left (W_ {ij} \ right).}

Карта перехода между двумя диаграммами - это карта между двумя изображениями этого пересечения под двумя картами диаграммы.

\varphi _{ij}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}

\varphi _{ij}(x)=\varphi _{j}\left(\varphi _{i}^{-1}\left(x\right)\right).

Две схемы являются C ^к -Совместим , если $\varphi _{i},\,\varphi _{j}$

U_{ij},\,U_{ji}

открыты, а карты перехода

\varphi _{ij},\,\varphi _{ji}

имеют непрерывные частные производные порядка k . Если k = 0, нам требуется только, чтобы отображения переходов были непрерывными, следовательно, C ⁰ -атлас - это просто еще один способ определения топологического многообразия. Если k = ∞, производные всех порядков должны быть непрерывными. Семейство C ^k -совместимых карт, покрывающих все многообразие, является C ^k -атласом, определяющим C ^k дифференциальное многообразие. Два атласа являются C ^k -эквивалентными, если объединение их наборов карт образует C ^k -атлас. В частности, a C ^k-атлас, который является C ⁰ -совместимым с C ⁰ -атласом, определяющим топологическое многообразие, называется определяющим дифференциальную структуру C ^k на топологическом многообразии. В С ^К классам эквивалентности таких атласов являются различными C ^K дифференциальных структурами этого многообразия . Каждая отдельная дифференциальная структура определяется уникальным максимальным атласом, который представляет собой просто объединение всех атласов в классе эквивалентности.

Для упрощения языка, без потери точности, можно было бы просто назвать максимальный C ^k −атлас на данном множестве C ^k −многообразием. Затем этот максимальный атлас однозначно определяет как топологию, так и базовый набор, причем последний представляет собой объединение доменов всех карт, а первый имеет набор всех этих доменов в качестве основы.

Теоремы существования и единственности [ править ]

Для любого целого числа k > 0 и любого n -мерного C ^k -многообразия максимальный атлас содержит C ^∞ -атлас на том же самом базовом множестве по теореме Хасслера Уитни . Также было показано, что любой максимальный C ^k −atlas содержит некоторое количество различных максимальных C ^∞ −атласов всякий раз, когда n > 0, хотя для любой пары этих различных C ^∞ −атласов существует C ^∞−диффеоморфизм, идентифицирующий их. Отсюда следует, что существует только один класс гладких структур (по модулю попарно гладкого диффеоморфизма) над любым топологическим многообразием, допускающим дифференцируемую структуру, т. ^Е.C ^∞ -, структуры в C ^k −многообразии. Немного грубо это можно выразить, сказав, что гладкая структура (по сути) уникальна. Случай k = 0 иной. А именно, существуют топологические многообразия, не допускающие C ¹ -структуры, результат, доказанный Кервером (1960) , ^[2], и позже объясненный в контексте теоремы Дональдсона (сравните пятую проблему Гильберта).

Гладкие структуры на ориентируемом многообразии обычно считаются по модулю сохраняющих ориентацию гладких гомеоморфизмов . Тогда возникает вопрос, существуют ли обращающие ориентацию диффеоморфизмы. Существует «существенно уникальная» гладкая структура для любого топологического многообразия размерности меньше 4. Для компактных многообразий размерности больше 4 существует конечное число «гладких типов», т. Е. Классов эквивалентности попарно гладко диффеоморфных гладких структур. В случае R ⁿ с n 4 количество этих типов равно одному, тогда как для n = 4 таких типов несчетное количество. Один относится к ним экзотическим R ⁴ .

Дифференциальные структуры на сферах размерности от 1 до 20 [ править ]

В следующей таблице перечислено количество гладких типов топологической m - сферы S ^m для значений размерности m от 1 до 20. Известны сферы с гладкой, т.е. C ^∞ -дифференциальной структурой, не диффеоморфной гладко обычной. как экзотические сферы .

Измерение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Гладкие типы	1	1	1	≥1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24

В настоящее время неизвестно, сколько гладких типов имеет топологическая 4-сфера S ⁴ , за исключением того, что существует хотя бы один. Может быть один, конечное число или бесконечное число. Утверждение, что существует только одна гипотеза, известно как гладкая гипотеза Пуанкаре (см. Обобщенную гипотезу Пуанкаре ). Большинство математиков считают, что это предположение неверно, т.е. что S ⁴ имеет более одного гладкого типа. Проблема связана с существованием более одного гладкого типа топологического 4-диска (или 4-шара).

Дифференциальные структуры на топологических многообразиях [ править ]

Как упоминалось выше, при размерностях меньше 4 для каждого топологического многообразия существует только одна дифференциальная структура. Это было доказано Тибором Радо для размерностей 1 и 2 и Эдвином Э. Мойзом для размерности 3. ^[3] Используя теорию препятствий , Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн смогли показать, что количество структур PL для компактных топологических многообразия размерности больше 4 конечно. ^[4] Джон Милнор , Мишель Кервер и Моррис Хиршдоказал, что число гладких структур на компактном PL-многообразии конечно и согласуется с числом дифференциальных структур на сфере для той же размерности (см. книгу Ассельмейера-Малуга, глава 7 Брана). структур на компактном топологическом многообразии размерности, не равной 4, конечно.

Размерность 4 более сложна. Для компактных многообразий результаты зависят от сложности многообразия, измеряемой вторым числом Бетти b ₂ . Для больших чисел Бетти b ₂ > 18 в односвязном 4-многообразии можно использовать операцию вдоль узла или звена для создания новой дифференциальной структуры. С помощью этой процедуры можно построить счетное бесконечное множество дифференциальных структур. Но даже для таких простых пространств, как одно, не известно устройство других дифференциальных структур. Для некомпактных 4-многообразий есть много примеров, например, наличие несчетного числа дифференциальных структур. $S^{4},{\mathbb {C} }P^{2},...$ ${\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{4}\setminus \{*\},...$

См. Также [ править ]

Математическая структура
Экзотический R 4
Экзотическая сфера

Ссылки [ править ]

^ Хирш, Моррис , Дифференциальная топология , Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5 . для общего математического учета дифференциальных структур
^ Кервер, Мишель (1960). «Многообразие, не допускающее дифференцируемой структуры». Commentarii Mathematici Helvetici . 34 : 257–270. DOI : 10.1007 / BF02565940 .
Перейти ↑ Moise, Edwin E. (1952). "Аффинные структуры в трехмерных многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung". Анналы математики . Вторая серия. 56 (1): 96–114. DOI : 10.2307 / 1969769 . JSTOR 1969769 . Руководство по ремонту 0048805 .
^ Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08190-5.

[1] Хирш, Моррис , Дифференциальная топология , Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5 . для общего математического учета дифференциальных структур

[2] Кервер, Мишель (1960). «Многообразие, не допускающее дифференцируемой структуры». Commentarii Mathematici Helvetici . 34 : 257–270. DOI : 10.1007 / BF02565940 .

[3] Перейти ↑ Moise, Edwin E. (1952). "Аффинные структуры в трехмерных многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung". Анналы математики . Вторая серия. 56 (1): 96–114. DOI : 10.2307 / 1969769 . JSTOR 1969769 . Руководство по ремонту 0048805 .

[4] Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08190-5.

[1]