В математической области топологии , то обобщенная Пуанкаре гипотеза является утверждение о том , что многообразие , которое является гомотопической сферой является сферой . Точнее, фиксируется категория многообразий: топологическое ( Top ), кусочно линейное ( PL ) или дифференцируемое ( Diff ). Тогда утверждение
- Каждая гомотопическая сфера (замкнутый п -многообразие что гомотопический эквивалентно к п -сфере) в выбранной категории (т.е. топологического многообразие, PL многообразие, или гладкие многообразия) изоморфно в выбранной категории (т.е. гомеоморфен, PL-изоморфна, или диффеоморфна) стандартной n -сфере.
Название происходит от гипотезы Пуанкаре , которая была сделана для (топологических или PL) многообразий размерности 3, где быть гомотопической сферой равносильно односвязности и замкнутости . Обобщенная гипотеза Пуанкаре , как известно, быть истинным или ложным в ряде случаев, из - за работы многих выдающихся топологов, в том числе медали Филдса награжденных Джон Милнора , Стив Смейла , Майкл Фридман , и Григорий Перельман .
Статус
Вот краткое изложение статуса обобщенной гипотезы Пуанкаре в различных условиях.
- Вверху : верно во всех измерениях.
- PL : верно для размеров, отличных от 4; неизвестно в размерности 4, что эквивалентно Diff.
- Diff : обычно ложно, истинно в некоторых измерениях, включая 1,2,3,5 и 6. Первый известный контрпример находится в измерении 7. Случай измерения 4 эквивалентен PL и не определен (по состоянию на 2019 г.[Обновить]).
Фундаментальный факт дифференциальной топологии состоит в том, что понятие изоморфизма в Top, PL и Diff одинаково в размерности 3 и ниже; в размерности 4 PL и Diff совпадают, но Top отличается. По размерности выше 6 все они различаются. В размерностях 5 и 6 каждое PL-многообразие допускает бесконечно дифференцируемую структуру, так называемую совместимость по Уайтхеду . [1]
История
Случай n = 1 и 2 известен давно благодаря классификации многообразий в этих размерностях.
Для PL или гладкой гомотопической n-сферы Стивен Смейл в 1960 году доказал, чточто он гомеоморфен n- сфере и впоследствии распространил его доказательство на; [2] он получил медаль Филдса за свою работу в 1966 году. Вскоре после того, как Смейл объявил о доказательстве, Джон Столлингс дал другое доказательство для размерностей не менее 7, что гомотопическая n- сфера PL гомеоморфна n- сфере, используя понятие "поглощения". [3] Зееман модифицировал конструкцию Столлинга для работы в размерностях 5 и 6. [4] В 1962 году Смейл доказал, что PL-гомотопическая n- сфера PL-изоморфна стандартной PL n -сфере для n не менее 5. [5] В 1966 году MHA Newman распространил PL-поглощение на топологическую ситуацию и доказал, что длятопологическое Гомотопический п -сферы гомеоморфно п -сферы. [6]
Майкл Фридман раскрыл дело(в топе) в 1982 г. и получил медаль Филдса в 1986 г. [7]
Григорий Перельман раскрыл дело(где Top, PL и Diff совпадают) в 2003 году в серии из трех статей. [8] [9] [10] В августе 2006 года ему была предложена медаль Филдса , а в марте 2010 года - премия «Миллениум» от Института математики Клэя , но он отказался от обоих.
Экзотические сферы
Обобщенная гипотеза Пуанкаре верна топологически, но гладко неверна в некоторых измерениях. Это приводит к построению многообразий, гомеоморфных, но не диффеоморфных стандартной сфере, которые известны как экзотические сферы : вы можете интерпретировать их как нестандартные гладкие структуры на стандартной (топологической) сфере.
Таким образом, гомотопические сферы , созданные Джоном Милнором , гомеоморфны (Top-изоморфны и действительно кусочно линейны гомеоморфны) стандартной сфере, но не диффеоморфны (Diff-изоморфны) ему, а значит, являются экзотическими сферами : их можно интерпретировать как нестандартные дифференцируемые структуры на стандартной сфере.
Мишель Кервер и Милнор показали, что ориентированная 7-сфера имеет 28 различных гладких структур (или 15 без учета ориентации), а в более высоких измерениях на сфере обычно имеется много различных гладких структур. [11] Предполагается, что некоторые дифференцируемые структуры на 4-сфере, называемые глюковскими скручиваниями , не изоморфны стандартной, но на данный момент нет известных инвариантов, способных различать различные гладкие структуры на 4-сфере. [12]
PL
Для кусочно-линейных многообразий гипотеза Пуанкаре верна, за исключением, возможно, размерности 4, где ответ неизвестен и эквивалентен гладкому случаю. Другими словами, любое компактное PL-многообразие размерности, отличной от 4, гомотопически эквивалентное сфере, PL изоморфно сфере. [1]
Рекомендации
- ^ a b См. Buoncristiano, Sandro (2003). "Фрагменты геометрической топологии шестидесятых" (PDF) . Монографии по геометрии и топологии . 6 .
- ^ Смейл, Стивен (1961). «Обобщенная гипотеза Пуанкаре в размерностях больше четырех». Аня. математики . (2). 74 (2): 391–406. DOI : 10.2307 / 1970239 . Руководство по ремонту 0137124 .
- ^ Столлингс, Джон (1960). «Полиэдральные гомотопические сферы» . Бюллетень Американского математического общества . 66 : 485–488. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1960-10511-3 .
- ^ Зееман, Эрик Кристофер (1962). «Гипотеза Пуанкаре для n, большего или равного 5». Топология трехмерных многообразий и смежные вопросы (Proc. The Univ. Of Georgia Institute, 1961) . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис – Холл: 198–204. Руководство по ремонту 0140113 .
- ^ Смейл, Стивен (1962). «О строении многообразий». Амер. J. Math . 84 (3): 387–399. DOI : 10.2307 / 2372978 . Руководство по ремонту 0153022 .
- ^ Ньюман, штат Массачусетс, США (1966). "Теорема о поглощении для топологических многообразий". Анналы математики . (2). 84 (3): 555–571. DOI : 10.2307 / 1970460 . Руководство по ремонту 0203708 .
- ^ Фридман, Майкл (1982). «Топология четырехмерных многообразий» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (3): 357–453. DOI : 10.4310 / JDG / 1214437136 . Руководство по ремонту 0679066 .
- ^ Перельман, Григорий (11 ноября 2002 г.). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math.DG / 0211159 .
- ^ Перельман, Григорий (10 марта 2003 г.). «Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях». arXiv : math.DG / 0303109 .
- ^ Перельман, Григорий (17 июля 2003 г.). «Конечное время исчезновения решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math.DG / 0307245 .
- ^ Kervaire, Michel A .; Милнор, Джон В. (1963). «Группы гомотопических сфер: I». Анналы математики . 2-я сер. 77 (3): 504–537. DOI : 10,2307 / 1970128 . JSTOR 1970128 . Руководство по ремонту 0148075 . В данной статье вычисляется структура группы гладких структур на n-сфере для .
- ^ Глюк, Герман (1962). «Вложение двух сфер в четыре сферы» . Пер. Амер. Математика. Soc . 104 (2): 308–333. DOI : 10.2307 / 1993581 .