Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , А кусочно - линейное (PL) многообразие является топологическим многообразием вместе с кусочно - линейной структуры на нем. Такая структура может быть определена с помощью атласа , так что в нем можно переходить от диаграммы к карте с помощью кусочно-линейных функций . Это немного сильнее, чем топологическое понятие триангуляции . [а]

Изоморфизм ФЛ многообразий называется гомеоморфизм PL.

Отношение к другим категориям многообразий [ править ]

PDIFF служит для связи DIFF и PL и эквивалентен PL.

PL, или точнее PDIFF, находится между DIFF (категория гладких многообразий ) и TOP (категория топологических многообразий): он категорически «ведет себя лучше», чем DIFF - например, обобщенная гипотеза Пуанкаре верна в PL (с возможное исключение для измерения 4, где оно эквивалентно DIFF), но обычно неверно в DIFF - но «ведет себя хуже», чем TOP, как это разработано в теории хирургии .

Гладкие коллекторы [ править ]

Гладкие многообразия имеют канонические структуры PL - они однозначно триангулируемы согласно теореме Уайтхеда о триангуляции ( Whitehead 1940 ) [1] [2], но многообразия PL не всегда имеют гладкую структуру - они не всегда сглаживаются. Это отношение можно уточнить, введя категорию PDIFF , которая содержит как DIFF, так и PL, и эквивалентна PL.

Один из способов, которым PL ведет себя лучше, чем DIFF, заключается в том, что можно брать конусы в PL, но не в DIFF - точка конуса приемлема в PL. Как следствие, обобщенная гипотеза Пуанкаре верна в PL для размерностей больше четырех - для доказательства нужно взять гомотопическую сферу , удалить два шара, применить теорему h -кобордизма, чтобы сделать вывод, что это цилиндр, а затем прикрепить конусы к восстановить сферу. Этот последний шаг работает в PL, но не в DIFF, что дает начало экзотическим сферам .

Топологические многообразия [ править ]

Основная статья: Hauptvermutung

Не каждое топологическое многообразие допускает структуру PL, а из тех, что допускают, структура PL не обязательно должна быть уникальной - ее может быть бесконечно много. Это разработано в Hauptvermutung .

Препятствием к размещению PL-структуры на топологическом многообразии является класс Кирби – Зибенмана . Точнее, класс Кирби-Зибенмана является препятствием для размещения PL-структуры на M x R, и в размерностях n> 4 класс KS исчезает тогда и только тогда, когда M имеет хотя бы одну PL-структуру.

Реальные алгебраические множества [ править ]

A-структура на PL-многообразии - это структура, которая дает индуктивный способ преобразовать PL-многообразие в гладкое многообразие. Компактные PL-многообразия допускают A-структуры. [3] [4] Компактные PL-многообразия гомеоморфны вещественно-алгебраическим множествам . [5] [6] Другими словами, A-категория находится над PL-категорией как более богатая категория без препятствий для подъема, то есть BA → BPL является расслоением продукта с BA = BPL × PL / A и многообразиями PL. являются вещественными алгебраическими множествами, поскольку A-многообразия являются вещественными алгебраическими множествами.

Комбинаторные многообразия и цифровые многообразия [ править ]

  • Комбинаторное многообразие является своим родом коллектором , который является дискретизацией многообразия. Обычно это кусочно-линейное многообразие, составленное из симплициальных комплексов .
  • Цифровой коллектор представляет собой особый вид комбинаторного многообразия , которое определенно в цифровом пространстве. См. Цифровую топологию .

См. Также [ править ]

  • Симплициальное многообразие

Заметки [ править ]

  1. ^ Структура PL также требует, чтобы зацепление симплекса было PL-сферой. Пример топологической триангуляции многообразия, которое не является структура ФЛ, в размерности п  ≥ 5, ( п  - 3) -кратное суспензию из сферы Пуанкаре (с некоторой фиксированной триангуляции): она имеет симплексчья связь сфера Пуанкаре, трехмерное многообразие, не гомеоморфное сфере, следовательно, не PL-сфера. См. Подробности в разделе Триангуляция (топология) § Кусочно-линейные структуры .

Ссылки [ править ]

  1. ^ Лурье, Джейкоб (13 февраля 2009 г.), Триангуляции Уайтхеда (Лекция 3) (PDF) CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  2. ^ MA Штанько (2001) [1994], "Топология многообразий" , Энциклопедия математики , EMS Press
  3. ^ Акбулут, С .; Тейлор, Л. (1980). «Теорема о топологической разрешающей способности» . Бюллетень Американского математического общества . (NS). 2 (1): 174–176. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1980-14709-6 .
  4. ^ Акбулут, С .; Тейлор, Л. (1981). «Теорема о топологической разрешающей способности» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 163–196. DOI : 10.1007 / BF02698689 .
  5. ^ Акбулут, С .; Кинг, ХК (1980). «Топологическая характеристика вещественных алгебраических многообразий» . Бюллетень Американского математического общества . (NS). 2 (1): 171–173. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1980-14708-4 .
  6. ^ Акбулут, С .; Кинг, ХК (1981). «Реальные алгебраические структуры на топологических пространствах» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 79–162. DOI : 10.1007 / BF02698688 .
  • Уайтхед, JHC (октябрь 1940 г.). «О С 1 -Комплексах». Анналы математики . Вторая серия. 41 (4): 809–824. DOI : 10.2307 / 1968861 . JSTOR  1968861 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Рудяк, Юлий Б. (2001). «Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях». arXiv : math.AT/0105047 .