В математике , особенно в топологии , многообразие описывается с помощью атласа . Атлас состоит из отдельных карт, которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. Если многообразие - это поверхность Земли, то атлас имеет более общее значение. В общем, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения слоев .
Диаграммы
Определение атласа зависит от понятия диаграммы . Диаграмма для топологического пространства M (также называется координатная диаграммой , координаты патча , координаты карты , или локальный репер ) является гомеоморфизмом из открытого подмножества U в M в открытое подмножество евклидова пространства . График традиционно записывается как упорядоченная пара..
Формальное определение атласа
An атлас для топологического пространства это индексированный семья графиков на который охватывает (это, ). Если область значений каждой карты - это n- мерное евклидово пространство , тоназывается n -мерным многообразием .
Множественное число атласа - это атласы , хотя некоторые авторы используют атланты . [1] [2]
Атлас на -мерное многообразие называется адекватным атласом, если изображение каждой карты либо или же , является локально конечным открытым покрытием, а также , где - открытый шар радиуса 1 с центром в начале координат и - замкнутое полупространство. Каждое второе счетное многообразие допускает адекватный атлас. [3] Более того, если - открытое покрытие второго счетного многообразия то есть адекватный атлас на такой, что это уточнение . [3]
Карты переходов
Карта перехода позволяет сравнить две диаграммы атласа. Чтобы сделать это сравнение, мы рассматриваем состав одной диаграммы с инверсией другой. Эта композиция не является четко определенной, если мы не ограничиваем обе карты пересечением их областей определения. (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты на их пересечении, а именно европейскую часть России.)
Чтобы быть более точным, предположим, что а также две карты для многообразия M такие, чтоявляется непустым . Карта перехода карта определяется
Обратите внимание, что поскольку а также оба являются гомеоморфизмами, отображение перехода также является гомеоморфизмом.
Больше структуры
Часто на многообразии требуется больше структуры, чем просто топологическая структура. Например, если нужно однозначное понятие дифференцирования функций на многообразии, необходимо построить атлас, функции переходов которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . Для дифференцируемого многообразия можно однозначно определить понятие касательных векторов, а затем производных по направлениям .
Если каждая функция перехода является гладкой картой , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно было бы потребовать, чтобы карты переходов имели только k непрерывных производных, и в этом случае атлас называется.
В общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется -атлас. Если карты переходов между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру пучка волокон.
Смотрите также
Рекомендации
- Рианна Йост, Юрген (11 ноября 2013 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.
- ^ Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (9 марта 2013 г.). Вариационное исчисление II . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.
- ^ а б Косинский, Антони (2007). Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC 853621933 .
- Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
- Сепански, Марк Р. (2007). Компактные группы Ли . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
- Husemoller, D (1994), пучки волокон , Springer, Глава 5 «Локальное координатное описание пучков волокон».
Внешние ссылки
- Атлас Роуленда, Тодда