В математике , А гладкая структура на многообразии позволяет для однозначного понятия гладкой функции . В частности, гладкая структура позволяет проводить математический анализ многообразия. [1]
Определение [ править ]
Гладкая структура на многообразии M - это набор гладко эквивалентных гладких атласов. Здесь, гладкий атлас для топологического многообразия М является Н. атласа для М таким образом, что каждая функция перехода является гладким отображением , и два гладких атласов для М являются гладко эквивалентными , если их объединение снова гладким атлас для М . Это дает естественное отношение эквивалентности на множестве гладких атласов.
Гладкое многообразие является топологическим многообразием М вместе с гладкой структурой на М .
Максимальные гладкие атласы [ править ]
Объединяя все атласы, принадлежащие гладкой структуре, мы получаем максимальный гладкий атлас . Этот атлас содержит все диаграммы, совместимые с гладкой структурой. Между гладкими структурами и максимальными гладкими атласами существует естественное взаимно однозначное соответствие. Таким образом, мы можем рассматривать гладкую структуру как максимальный атлас и наоборот.
В общем, вычисления с максимальным атласом многообразия довольно громоздки. Для большинства приложений достаточно выбрать атлас меньшего размера. Например, если многообразие компактно , то можно найти атлас только с конечным числом карт.
Эквивалентность гладких структур [ править ]
Пусть и два максимальных атласы на М . Две гладкие структуры, ассоциированные с и, называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм , что . [ необходима цитата ]
Экзотические сферы [ править ]
Джон Милнор показал в 1956 году, что 7-мерная сфера допускает гладкую структуру, не эквивалентную стандартной гладкой структуре. Сфера с нестандартной гладкой структурой называется экзотической сферой .
Коллектор E8 [ править ]
Многообразие Е8 является примером топологического многообразия , что не допускает гладкую структуру. Это, по сути, показывает, что теорема Рохлина верна только для гладких структур, а не для топологических многообразий вообще.
Связанные структуры [ править ]
Требования гладкости для функций перехода могут быть ослаблены, так что нам нужно только, чтобы карты перехода были непрерывно дифференцируемыми k раз; или усилены, так что мы требуем, чтобы карты переходов были действительно аналитическими. Соответственно, это дает или (действительную) аналитическую структуру на многообразии, а не гладкую. Точно так же мы можем определить сложную структуру , потребовав, чтобы карты перехода были голоморфными.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Каллахан, Джеймс Дж. (1974). «Особенности и плоские карты» . Амер. Математика. Ежемесячно . 81 : 211–240. DOI : 10.2307 / 2319521 .
- Хирш, Моррис (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90148-5.
- Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
- Сепански, Марк Р. (2007). Компактные группы Ли . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
