Производная по направлению

Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( Октябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Дифференциальный

Определения
Производная ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий
Концепции
Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора
Правила и личности
Сумма Товар Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно

интеграл

Определения
Списки интегралов Интегральное преобразование
Первообразный Интегральный ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций
Интеграция
Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка ( тригонометрическая , Вейерштрасс , Эйлер ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша

Серии

Тесты сходимости
Геометрический ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор
Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель

Вектор

Теоремы
Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности
Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса

Многовариантный

Формализмы
Матрица Тензор Внешний вид Геометрический
Определения
Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен

В математике , то производная по направлению многомерной дифференцируемой функции вдоль заданного вектора V в данной точке х интуитивно представляет собой мгновенную скорость изменения функции, двигаясь через е со скоростью , указанной V . Поэтому он обобщает понятие частной производной , в которой скорость изменения берется вдоль одной из криволинейных координатных кривых , при этом все остальные координаты постоянны.

Производная по направлению - это частный случай производной Гато .

Обозначение [ править ]

Пусть f - кривая, касательный вектор которой в выбранной точке равен v . Производная по направлению функции f по v может быть обозначена любым из следующего:

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}),}$
${\ displaystyle f '_ {\ mathbf {v}} (\ mathbf {x}),}$
${\ Displaystyle D _ {\ mathbf {v}} е (\ mathbf {x}),}$
${\ Displaystyle Df (\ mathbf {x}) (\ mathbf {v}),}$
${\ Displaystyle \ partial _ {\ mathbf {v}} е (\ mathbf {x}),}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partial {е (\ mathbf {x})}} {\ partial {\ mathbf {v}}}},}$
${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot {\ nabla f (\ mathbf {x})},}$
${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial \ mathbf {x}}}.}$

Определение [ править ]

Контурный график из , показывающий вектор градиента в черный и единичный вектор масштабируется с помощью производной по направлению в направлении оранжевого цвета. Вектор градиента длиннее, потому что градиент указывает в направлении наибольшей скорости увеличения функции.

{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {u}}

{\ displaystyle \ mathbf {u}}

Производная по направлению из скалярной функции

{\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}

по вектору

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}

- функция, определяемая пределом ^[1] ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f}}$

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.

Это определение действительно в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичного вектора) не определена. ^[2]

Если функция F является дифференцируемой по х , то существует производная по направлению вдоль любого вектора V , и имеет место

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}

где справа обозначает градиент, а - скалярное произведение . ^[3] Это следует из определения пути и использования определения производной в качестве предела, который можно вычислить по этому пути, чтобы получить: $\nabla$ $\cdot$ $h(t)=x+tv$

{\begin{aligned}0=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tD_{f}(x)(v)}{t}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-D_{f}(x)(v)=\nabla _{v}f(x)-D_{f}(x)(v)\\\rightarrow \nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =D_{f}(x)(v)=\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\end{aligned}}

Интуитивно, производная по направлению F в точке х представляет собой скорость изменения от F , в направлении против по времени, при перемещении мимо х .

Использование только направления вектора [ править ]

Угол α между касательной А и горизонтали будет максимальным , если режущая плоскость содержит направление градиента А .

В евклидовом пространстве некоторые авторы ^[4] определяют производную по направлению как относящуюся к произвольному ненулевому вектору v после нормализации , таким образом, не зависящему от его величины и зависящему только от его направления. ^[5]

Это определение дает скорость увеличения f на единицу расстояния, пройденного в направлении, заданном v . В этом случае

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},

или если f дифференцируема в x ,

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.

Ограничение единичного вектора [ править ]

В контексте функции на евклидовом пространстве , некоторые тексты ограничивают вектор V , чтобы быть единичным вектором . С этим ограничением оба приведенных выше определения эквивалентны. ^[6]

Свойства [ править ]

Многие из известных свойств обычной производной сохраняются и для производной по направлению. К ним относятся для любых функций f и g, определенных в окрестности p и дифференцируемых в точке p :

правило сумм :
$\nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.$
правило постоянного множителя : для любой постоянной c ,
$\nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.$
правило продукта (или правило Лейбница ):
$\nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.$
цепное правило : если g дифференцируема в p и h дифференцируема в g ( p ), то
$\nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).$

В дифференциальной геометрии [ править ]

Пусть $М$ будет дифференцируемое многообразие и $р$ точка $М$ . Предположим, что $f$ - функция, определенная в окрестности точки $p$ и дифференцируемая в точке $p$ . Если $v$ является касательным вектором к $M в$ точке $p$ , то производная по направлению $f$ вдоль $v$ , обозначаемая по-разному как $df (v)$ (см. Внешняя производная ), (см. Ковариантная производная ), (см. $\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )$ $L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )$ Производная Ли ), или (см. Касательное пространство, § Определение через дифференцирования ), можно определить следующим образом. Пусть $γ$ $: [-1, 1] \to$ $M$ - дифференцируемая кривая с $γ$ $(0) =$ $p$ и $γ$ $' (0) =$ $v$ . Тогда производная по направлению определяется как ${\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)$

\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.

Это определение может быть доказано независимо от выбора $γ$ при условии, что $γ$ выбрано предписанным образом так, что $γ' (0) = v$ .

Производная Ли [ править ]

Производная Ли векторного поля вдоль векторного поля задается разностью двух производных по направлению (с нулевым кручением): $\scriptstyle W^{\mu }(x)$ $\scriptstyle V^{\mu }(x)$

{\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.

В частности, для скалярного поля производная Ли сводится к стандартной производной по направлению: $\scriptstyle \phi (x)$

{\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .

Тензор Римана [ править ]

Производные по направлениям часто используются во вводных выводах тензора кривизны Римана . Рассмотрим изогнутый прямоугольник с бесконечно малым вектором δ по одному краю и δ ′ по другому. Мы переводим ковектор S вдоль б , то δ ' , а затем вычесть перевод вдоль б ' , а затем б . Вместо построения производной по направлению с использованием частных производных мы используем ковариантную производную . Таким образом, оператор сдвига для δ имеет вид

1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,

а для δ ′

1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.

Тогда разница между двумя путями будет

(1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.

Можно утверждать ^[7], что некоммутативность ковариантных производных измеряет кривизну многообразия:

[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },

где R - тензор кривизны Римана, а знак зависит от соглашения автора о знаках .

В теории групп [ править ]

Переводы [ править ]

В алгебре Пуанкаре мы можем определить оператор инфинитезимального сдвига P как

\mathbf {P} =i\nabla .

(в I гарантирует , что Р является оператором самосопряженная ) для конечного смещения λ , то унитарная гильбертово пространство представления для перевода в ^[8]

U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(-i\mathbf {\lambda } \cdot \mathbf {P} \right).

Используя приведенное выше определение оператора инфинитезимального переноса, мы видим, что оператор конечного переноса является экспоненциальной производной по направлению:

U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right).

Это оператор сдвига в том смысле, что он действует на функции многих переменных f ( x ) как

U(\mathbf {\lambda } )f(\mathbf {x} )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +\mathbf {\lambda } ).

Доказательство последнего уравнения

В стандартном исчислении с одной переменной производная гладкой функции f (x) определяется выражением (при малых ε)

{\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}.

Это можно изменить, чтобы найти f (x + ε):

f(x+\epsilon )=f(x)+\epsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\epsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).

Отсюда следует, что это оператор перевода. Это мгновенно обобщается ^[9] на функции многих переменных f ( x ) $[1+\epsilon \,(d/dx)]$

f(\mathbf {x} +\mathbf {\epsilon } )=\left(1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).

Вот производная по направлению вдоль бесконечно малого смещения ε . Мы нашли бесконечно малую версию оператора перевода: $\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla$

U(\mathbf {\epsilon } )=1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla .

Очевидно, что закон группового умножения ^[10] U (g) U (f) = U (gf) принимает вид

U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).

Итак, предположим, что мы берем конечное смещение λ и делим его на N частей (везде подразумевается N → ∞), так что λ / N = ε . Другими словами,

\mathbf {\lambda } =N\mathbf {\epsilon } .

Тогда, применяя U ( ε ) N раз, мы можем построить U ( λ ):

[U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}=U(N\mathbf {\epsilon } )=U(\mathbf {\lambda } ).

Теперь мы можем вставить приведенное выше выражение для U ( ε ):

[U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}=\left[1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {\mathbf {\lambda } \cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.

Используя тождество ^[11]

\exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},

у нас есть

U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right).

А поскольку U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ), имеем

[U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N\mathbf {\epsilon } )=f(\mathbf {x} +\mathbf {\lambda } )=U(\mathbf {\lambda } )f(\mathbf {x} )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),

QED

Техническое примечание: эта процедура возможна только потому, что группа сдвигов образует абелеву подгруппу ( подалгебру Картана ) в алгебре Пуанкаре. В частности, закон группового умножения U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) не следует принимать как должное. Отметим также, что Пуанкаре - связная группа Ли. Это группа преобразований T (ξ), которые описываются непрерывным набором вещественных параметров . Закон группового умножения принимает вид $\scriptstyle \xi ^{a}$

T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).

Взяв = 0 за координаты тождества, мы должны иметь $\scriptstyle \xi ^{a}$

f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.

Фактические операторы в гильбертовом пространстве представлены унитарными операторами U (T (ξ)). В приведенных выше обозначениях мы убрали T; теперь записываем U ( λ ) как U ( P ( λ )). Для небольшой окрестности идентичности представление степенного ряда

U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots

неплохо. Предположим, что U (T (ξ)) образуют непроективное представление, т. Е. Что

U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).

Разложение f во вторую степень равно

f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.

После расширения уравнения умножения представлений и приравнивания коэффициентов имеем нетривиальное условие

t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.

Поскольку по определению симметрична по своим индексам, мы имеем стандартный коммутатор алгебры Ли : $\scriptstyle t_{ab}$

[t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},

где C - структурная постоянная . Генераторами переводов являются операторы с частными производными, которые коммутируют:

\left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.

Это означает, что структурные константы обращаются в нуль, а значит, равны нулю и квадратичные коэффициенты в разложении f. Это означает, что f просто аддитивно:

f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},

а значит, для абелевых групп

U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).

QED

Вращения [ править ]

Оператор вращения также содержит производную по направлению. Оператор поворота на угол θ , т.е. на величину θ = | θ | вокруг оси, параллельной = θ / θ, $\scriptstyle {\hat {\theta }}$

U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).

Здесь L - векторный оператор, генерирующий SO (3) :

\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .

Геометрически можно показать, что бесконечно малое правое вращение изменяет вектор положения x на

\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} .

Таким образом, при бесконечно малом вращении мы ожидаем:

U(R(\delta \mathbf {\theta } ))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.

Следует, что

U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .

Следуя той же процедуре возведения в степень, что и выше, мы приходим к оператору вращения в позиционном базисе, который является экспоненциальной производной по направлению: ^[12]

U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).

Нормальная производная [ править ]

Нормальная производная является производная по направлению берется в направлении нормали (то есть, ортогонально ) к какой - либо поверхности в пространстве, или в более общем случае вдоль вектора нормали поля , ортогонального к некоторой гиперповерхности . См., Например, граничное условие Неймана . Если нормальное направление обозначено как , то производная по направлению функции f иногда обозначается как . В других обозначениях $\mathbf {n}$ ${\frac {\partial f}{\partial n}}$

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].

В сплошной механике твердого тела [ править ]

Некоторые важные результаты в механике сплошной среды требуют производных векторов по векторам и тензоров по векторам и тензорам. ^[13] директива Направленная обеспечивает систематический способ нахождения этих производных.

Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярных функций векторов [ править ]

Позвольте быть действительной функцией вектора . Тогда производная от по (или при ) по направлению определяется как $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v}$ $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v}$ $\mathbf {v}$ $\mathbf {u}$

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}

для всех векторов . $\mathbf {u}$

Характеристики:

Если тогда $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} .$
Если тогда $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).$
Если тогда $f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} .$

Производные векторных функций векторов [ править ]

Позвольте быть векторной функцией вектора . Тогда производная от по (или по ) по направлению является тензором второго порядка, определяемым как $\mathbf {f} (\mathbf {v} )$ $\mathbf {v}$ $\mathbf {f} (\mathbf {v} )$ $\mathbf {v}$ $\mathbf {v}$ $\mathbf {u}$

{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}

для всех векторов . $\mathbf {u}$

Характеристики:

Если тогда $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} .$
Если тогда $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).$
Если тогда $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))$ ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).$

Производные скалярных функций от тензоров второго порядка [ править ]

Пусть - действительная функция тензора второго порядка . Тогда производная от по (или по ) по направлению является тензором второго порядка, определяемым как $f(\mathbf {S} )$ $\mathbf {S}$ $f(\mathbf {S} )$ $\mathbf {S}$ $\mathbf {S}$ $\mathbf {T}$

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =Df(\mathbf {S} )[\mathbf {T} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {S} +\alpha \mathbf {T} )\right]_{\alpha =0}

для всех тензоров второго порядка . $\mathbf {T}$

Характеристики:

Если тогда $f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {S} )+f_{2}(\mathbf {S} )$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {S} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}\right):\mathbf {T} .$
Если тогда $f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {S} )~f_{2}(\mathbf {S} )$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right)~f_{2}(\mathbf {S} )+f_{1}(\mathbf {S} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$
Если тогда $f(\mathbf {S} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {S} ))$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$

Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка [ править ]

Пусть - тензорнозначная функция второго порядка от тензора второго порядка . Тогда производная по (или по ) по направлению является тензором четвертого порядка, определяемым как $\mathbf {F} (\mathbf {S} )$ $\mathbf {S}$ $\mathbf {F} (\mathbf {S} )$ $\mathbf {S}$ $\mathbf {S}$ $\mathbf {T}$

{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =D\mathbf {F} (\mathbf {S} )[\mathbf {T} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {F} (\mathbf {S} +\alpha \mathbf {T} )\right]_{\alpha =0}

для всех тензоров второго порядка . $\mathbf {T}$

Характеристики:

Если тогда $\mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )$ ${\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {S} }}+{\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}\right):\mathbf {T} .$
Если тогда $\mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )\cdot \mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )$ ${\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )+\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$
Если тогда $\mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} ))$ ${\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {F} _{2}}}:\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$
Если тогда $f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} ))$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {F} _{2}}}:\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$

См. Также [ править ]

Производная Фреше
Производная Гато
Производная Адамара
Производная (обобщения)
Производная Ли
Дифференциальная форма
Структурный тензор
Тензорная производная (механика сплошной среды)
Del в цилиндрических и сферических координатах

Примечания [ править ]

^ Р. Вреде; MR Spiegel (2010). Advanced Calculus (3-е изд.). Обзорная серия Шаума. ISBN 978-0-07-162366-7.
^ Применимость распространяется на функции над пространствами без метрики и на дифференцируемые многообразия , например, в общей теории относительности .
^ Если скалярное произведение не определено, градиент также не определен; однако для дифференцируемого f производная по направлению все еще определена, и аналогичное отношение существует с внешней производной.
^ Томас, Джордж Б. Младший; и Финни Росс Л. (1979) Исчисление и аналитическая геометрия , Addison-Wesley Publ. Co., пятое издание, стр. 593.
^ Обычно это предполагает евклидово пространство - например, функция нескольких переменных обычно не имеет определения величины вектора и, следовательно, единичного вектора.
↑ Хьюз-Халлет, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (01.01.2012). Исчисление: одно- и многомерное . Джон Вили. п. 780. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 .
^ Зи, А. (2013). В двух словах о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 341. ISBN. 9780691145587.
^ Вайнберг, Стивен (1999). Квантовая теория поля (Перепечатано (с корр.) Под ред.). Кембридж [ua]: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 9780521550017.
^ Зи, А. (2013). В двух словах о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691145587.
^ Мексика, Кевин Кэхилл, Нью-Йоркский университет (2013). Физическая математика (Repr. Ed.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107005211.
^ Эдвардс, Рон Ларсон, Роберт, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (9-е изд.). Бельмонт: Брукс / Коул. ISBN 9780547209982.
^ Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum. п. 318. ISBN 9780306447907.
^ JE Marsden и TJR Hughes, 2000, Математические основы упругости , Дувр.

Ссылки [ править ]

Хильдебранд, Ф. Б. (1976). Расширенный расчет для приложений . Прентис Холл. ISBN 0-13-011189-9.
К.Ф. Райли; М. П. Хобсон; SJ Бенце (2010). Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
Шапиро, А. (1990). «О понятиях дифференцируемости по направлениям». Журнал теории оптимизации и приложений . 66 (3): 477–487. DOI : 10.1007 / BF00940933 .

Внешние ссылки [ править ]

Направленные производные в MathWorld .
Производная по направлению в PlanetMath .

[1] Р. Вреде; MR Spiegel (2010). Advanced Calculus (3-е изд.). Обзорная серия Шаума. ISBN 978-0-07-162366-7.

[2] Применимость распространяется на функции над пространствами без метрики и на дифференцируемые многообразия , например, в общей теории относительности .

[3] Если скалярное произведение не определено, градиент также не определен; однако для дифференцируемого f производная по направлению все еще определена, и аналогичное отношение существует с внешней производной.

[4] Томас, Джордж Б. Младший; и Финни Росс Л. (1979) Исчисление и аналитическая геометрия , Addison-Wesley Publ. Co., пятое издание, стр. 593.

[5] Обычно это предполагает евклидово пространство - например, функция нескольких переменных обычно не имеет определения величины вектора и, следовательно, единичного вектора.

[6] Хьюз-Халлет, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (01.01.2012). Исчисление: одно- и многомерное . Джон Вили. п. 780. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 .

[7] Зи, А. (2013). В двух словах о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 341. ISBN. 9780691145587.

[8] Вайнберг, Стивен (1999). Квантовая теория поля (Перепечатано (с корр.) Под ред.). Кембридж [ua]: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 9780521550017.

[9] Зи, А. (2013). В двух словах о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691145587.

[10] Мексика, Кевин Кэхилл, Нью-Йоркский университет (2013). Физическая математика (Repr. Ed.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107005211.

[11] Эдвардс, Рон Ларсон, Роберт, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (9-е изд.). Бельмонт: Брукс / Коул. ISBN 9780547209982.

[12] Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum. п. 318. ISBN 9780306447907.

[Marsden00-13] JE Marsden и TJR Hughes, 2000, Математические основы упругости , Дувр.

vтеИсчисление
Precalculus	Биномиальная теорема Вогнутая функция Непрерывная функция Факториал Конечная разница Свободные переменные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля Секант Склон Касательная
Пределы	Неопределенная форма Предел функции Односторонний предел Предел последовательности Порядок приближения (ε, δ) -определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная Дифференциальный Дифференциальное уравнение Дифференциальный оператор Теорема о среднем значении Обозначение Обозначения Лейбница Обозначение Ньютона Правила дифференциации линейность Мощность Сумма Цепь L'Hôpital's Товар Правило генерала Лейбница Частное Другие техники Неявное дифференцирование Обратные функции и дифференцирование Логарифмическая производная Связанные ставки Стационарные точки Тест первой производной Тест второй производной Теорема об экстремальном значении Максимумы и минимумы Дальнейшие приложения Метод Ньютона Теорема Тейлора
Интегральное исчисление	Первообразный Длина дуги Основные свойства Константа интеграции Основная теорема исчисления Дифференцируя знаком интеграла Интеграция по частям Интеграция заменой тригонометрический Эйлер Weierstrass Частичные доли в интеграции Квадратичный интеграл Трапецеидальная линейка Объемы Метод мойки Shell метод
Векторное исчисление	Производные Завиток Производная по направлению Расхождение Градиент Лапласиан Основные теоремы Линейные интегралы Зелень Стокса Гаусса
Многопараметрическое исчисление	Теорема расходимости Геометрический Матрица Гессе Матрица Якоби и определитель Множитель Лагранжа Линейный интеграл Матрица Кратный интеграл Частная производная Поверхностный интеграл Объемный интеграл Дополнительные темы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщенная теорема Стокса Тензорное исчисление
Последовательности и серии	Арифметико-геометрическая последовательность Типы серий Чередование Биномиальный Фурье Геометрический Гармонический Бесконечный Мощность Маклорен Тейлор Телескопирование Тесты сходимости Авеля Чередование серий Конденсация Коши Прямое сравнение Дирихле интеграл Сравнение пределов Соотношение Корень Срок
Специальные функции и числа	Числа Бернулли e (математическая константа) Экспоненциальная функция Натуральный логарифм Приближение Стирлинга
История исчисления	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Общность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц Бесконечно малый Исчисление бесконечно малых Исаак Ньютон Плавность Закон непрерывности Леонард Эйлер Метод флюсий Метод механических теорем
Списки	Правила дифференциации Список интегралов от экспоненциальных функций Список интегралов от гиперболических функций Список интегралов обратных гиперболических функций Список интегралов обратных тригонометрических функций Список интегралов от иррациональных функций Список интегралов логарифмических функций Список интегралов рациональных функций Список интегралов от тригонометрических функций Секант Секанс в кубе Список лимитов Списки интегралов
Разные темы	Дифференциальная геометрия кривизна кривых поверхностей Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Пчела интеграции Доказательство того, что 22/7 превышает π Задача максимизации угла Региомонтануса Штейнмец твердый