Обсуждение: Направленная производная

Направленная производная была указана как важная статья уровня 5 в неизвестной теме. Если вы можете это улучшить, пожалуйста . Эта статья была оценена как Start-Class .

ВикиПроект по математике

(Номинальный стартовый класс, низкий приоритет)

	Математический портал Эта статья находится в рамках WikiProject Mathematics , совместной работы по улучшению освещения математики в Википедии. Если вы хотите принять участие, посетите страницу проекта, где вы можете присоединиться к обсуждению и увидеть список открытых задач.
Начинать	Эта статья получила оценку Start-Class по шкале качества проекта .
Низкий	Эта статья была оценена как Низкоприоритетная по шкале приоритетов проекта .

Только производные по направлениям по нормализованным векторам? [ редактировать ]

следует ли указать, что v должен быть нормализованным вектором? --анон

Не обязательно. Вы также можете взять производную по направлению в направлении нулевого вектора, поскольку деление на ноль не требуется. Олег Александров ( разговор ) 03:08, 9 марта 2006 (UTC)

Хммм ... Кажется бессмысленным допускать, чтобы производная по направлению не была нормализована. mathworld, кажется, указывает, что направление тоже должно быть нормализовано. Какова была бы цель разрешения производной по направлению в направлении нулевого вектора? --анон

Надо

{\ displaystyle D _ {\ vec {v}} {f} = \ nabla f \ cdot {\ vec {v}}}

где градиент. ${\ displaystyle \ nabla}$

Я не вижу причин требовать, чтобы вы производили точечные произведения только с единичными векторами в приведенной выше формуле. Олег Александров ( разговор ) 03:08, 10 марта 2006 (UTC)

Мы не говорим ТОЛЬКО о выполнении скалярных произведений с единичными векторами, но о том, что производная по направлению определяется как градиент функции, пунктирной с единичным вектором рассматриваемого вектора, оцениваемого в точке. До тех пор, пока указана несекретная точка, с уравнением все в порядке. Я могу сказать, что данные в этой статье взяты из математики планет, которая, как и Википедия, редактируется пользователем. Даже эратта заявляет, что рассматриваемый Вектор унитарен. Однако не верьте мне на слово;

* Производная по направлению в Wolfram

* Многовариантное исчисление на usd.edu

* Производная по направлению на lamar.edu

- ∞ Dbroadwell 19:59, 3 мая 2006 г. (UTC)

Что ж, если вы говорите «производная по вектору», этот вектор не обязательно должен иметь длину один. Если вы говорите «производная по направлению», то да, направление по соглашению нормализуется к длине 1. Таким образом, имеет смысл предположить, что векторы имеют длину 1, но это не обязательно для того, чтобы определение работало. Олег Александров ( разговор ) 21:13, 3 мая 2006 г. (UTC)

Я полностью согласен с тем, что определение не обязательно должно работать, однако стандартная реализация и использование до тех пор, пока дифференциальные уравнения явно не нормализуются. Итак, мы должны, по крайней мере, сказать это в определении на странице, как вы это сделали. В том виде, в каком она стояла, ее можно было неправильно прочитать, и если бы кто-то заметил ТОЛЬКО формулу ... они бы ошиблись на экзаменах по математическому анализу. - ∞ Dbroadwell 22:46, 3 мая 2006 г. (UTC)

У меня есть вопрос, дифференцируема ли функция для любого вектора, включенного в ось X (пусть s, скажем, v = (1,0)), и дифференцируема для любого вектора на оси Y, тогда функция дифференцируема в любом направлении плоскость (X, Y), я думаю, это похоже на способ получения уравнений Коши-Римана .

Думаю, важно, чтобы норма вектора была унитарной:

Если взять две параллели неунитарных векторов,, такие, что , то ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ $||{\vec {v}}||\neq ||{\vec {w}}||$

D_{\vec {v}}{f}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {v}}=||\nabla f({\vec {x}})||\;||{\vec {v}}||\cos(\theta )

а также

D_{\vec {w}}{f}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {w}}=||\nabla f({\vec {x}})||\;||{\vec {w}}||\cos(\theta )

где - угол между градиентом и векторами (помните, что это параллели). Производная по направлению зависит от направления, тогда необходимо проверить $\theta$

D_{\vec {v}}{f}({\vec {x}})=D_{\vec {w}}{f}({\vec {x}})

это

||\nabla f({\vec {x}})||\;||{\vec {v}}||\cos(\theta )=||\nabla f({\vec {x}})||\;||{\vec {w}}||\cos(\theta )

||{\vec {v}}||=||{\vec {w}}||

Абсурд, это предполагалось . $||{\vec {v}}||\neq ||{\vec {w}}||$

Кроме того, кажется очевидным, что производная по направлению не может зависеть от выбранного вектора. Из-за этого я думаю, что выбор унитарного вектора не является условием, если вы этого не сделаете, ваш результат будет функцией нормы выбранного вектора. Извините за мой английский, я не привык выражать себя на этом языке.
--анон

Я понимаю, откуда приходит Олег, дифференцирование по 2x отличается от дифференцирования по x, однако я не верю, что «производная по вектору» является точным определением производной по направлению. Я считаю, что это «производная в * направлении * вектора» ... почему еще ее можно было бы назвать НАПРАВЛЕННОЙ производной? Я хотел бы следовать тому, что говорится в каждом учебнике, который я когда-либо читал, и нормализовать v.

Олег, пожалуйста, просмотрите ссылки Dbroadwell выше и, если хотите, найдите ссылку на то, что вы называете направленной производной. 129.78.64.101 02:23, 4 октября 2007 г. (UTC)

Я почти уверен, что производная по направлению, если она определена в направлении неединичного вектора, должна быть такой же, как производная по направлению в направлении единичного вектора, который параллелен данному вектору. Это согласуется с wolfram mathworld, поэтому я редактирую эту страницу с этой целью. Я также ставлю на первое место определение единичного вектора, так как все согласны с этим. Если некоторые авторы определяют направленную производную как то, что было в статье до того, как я ее редактировал, можем ли мы включить этот факт с цитатой, но как альтернативное определение, а не как единственное? 75.22.201.232 ( разговорное ) 12:55, 24 марта 2010 (UTC)

Статья все еще немного вводит в заблуждение. Я только прочитал «Общеприменимое определение» и не получил никаких указаний на то, что v обычно является единичным вектором. Возможно, небольшое предупреждение в скобках предотвратит введение в заблуждение? т.е. "вдоль вектора (обычно единичного вектора)" Muntoo ( разговор ) 00:32, 13 июля 2015 г. (UTC)

Думаю, вы правы, но проблема может быть в неверном подзаголовке. «Общеприменимое определение» - это одно из двух неэквивалентных определений. Это действительно определение, которое применяется в широком диапазоне контекстов и используется в фундаментальной физике), тогда как второе определение применяется в гораздо более ограниченном диапазоне контекстов и, таким образом, математически менее полезно. Есть предложения, на что изменить эти два подзаголовка? - Quondum 02:28, 13 июля 2015 г. (UTC)

Я изменил заголовки и добавил пояснительные сноски. Между прочим, предположение «(обычно единичный вектор)» не обязательно верно; этот случай охвачен третьим подзаголовком, но я подозреваю, что в основном это используется в обучении в начальной школе и, возможно, в инженерии; он не должен иметь ту форму, которая преподается в классе математики даже в начальной школе, например, потому что он даже не применяется к общим функциям с несколькими переменными из-за отсутствия определения единичного вектора. - Quondum 03:21, 13 июля 2015 г. (UTC)

Уроки математики и физики в начальной школе обычно сильно ограничиваются евклидовыми векторами в 1-3 измерениях и декартовыми координатами, для которых почти всегда подразумевается евклидова норма. Даже вводные курсы уровня колледжа по этому редко выходят за пределы евклидова пространства. Поэтому я бы определенно сказал, что в приложениях рассматриваемый вектор является единичным вектором, - Джаспер Денг (выступление) 03:27, 13 июля 2015 г. (UTC)

Тогда они не охватывают важный случай функции многих переменных. Но я полагаю, что с этим можно было бы справиться с помощью частных производных и полной производной , и даже не называть это производной по направлению . Однако мы должны позаботиться о том, чтобы не придавать чрезмерное значение определению уровня школы / колледжа. Возможно, название направленной производнойприскорбно, поскольку он намекает на использование только направления, но определенно используется для версии, зависящей от величины, и ведущая часть относится к этой версии. Здесь важно, чтобы это не сбивало с толку читателей, в том числе школьников, поэтому предложения по формулировке, которые не придают излишнего веса вводной версии, будут приветствоваться. Возможно, нам следует включить третий случай (на который вы ссылаетесь) в первое определение с помощью явной опции, чтобы ограничить вектор единичным вектором? - Quondum 04:00, 13 июля 2015 г. (UTC)

Возможно, это различие следует упомянуть гораздо раньше, и я согласен с тем, что название «производная по направлению» неудачно, потому что оно не подразумевает зависимости от величины вектора, указывающего в этом направлении. На элементарном уровне градиент часто преподается как вектор, величина которого является наивысшей возможной производной по направлению и указывает в направлении этой производной по направлению, но такая интерпретация может быть сделана только для ограничения единичного вектора. Кроме того , на не нормированных векторных пространствах, я даже не уверен , что если мы имеем представление о зависимости «величина», хотя мы все еще можем говорить о скалярном кратном вектора .-- Jasper Дэн (ток) 04:29, 13 июля 2015 (UTC)

Хорошо, я постараюсь внести различие ближе к началу определения.

Я не знаю, как интерпретировать ваше последнее заявление. Даже при отсутствии понятия величины производная по направлению четко определена и масштабируется вместе с вектором, вдоль которого она берется. - Quondum 05:58, 13 июля 2015 г. (UTC)

Конечно, это всегда четко определено. Я просто педантично относился к слову «величина» (которое обычно подразумевает норму), что, конечно, помимо сути: любое скалярное кратное одного и того же вектора даст производную по направлению «в том же направлении». Спасибо за это, - Джаспер Дэн (разговор) 07:26, 13 июля 2015 г. (UTC)

Пожалуйста, поясните [ редактировать ]

D_{\vec {v}}{f}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {v}}=\nabla _{v}f({\vec {x}})

Верен ли второй знак равенства? Я предполагаю, но я не видел, чтобы это явно упоминалось в статье. Пользователь: Nillerdk ( разговор ) 17:01, 29 января 2008 г. (UTC)

Спасибо, что указали на несоответствие в обозначениях. Проблема решена. Глупый кролик ( разговор ) 17:07, 29 января 2008 (UTC)

-> Просто вопрос, как бы я мог определить производную по направлению второго порядка, если бы ответ был fuu = fxx.a ^ 2 + fyy.b ^ 2, не будет ли случаев, которые не выполняются . например, если я возьму лист и зафиксирую точку в его середине, потяните углы вверх и потяните середины каждого края вниз. Разве я не создал бы случай, когда fxx, fyy = -ve и fuu = + ve?

Производная второго порядка по u = (a, b) имеет вид

D^{2}f\{\mathbf {u} ,\mathbf {u} \}=a^{2}f_{xx}+2abf_{xy}+b^{2}f_{yy}

при условии, что f дважды непрерывно дифференцируема. В приведенной вами формуле отсутствует кросс-термин. siℓℓy rabbit ( разговор ) 14:27, 15 июня 2008 (UTC)

в моем учебнике они пришли к выводу, что [let d = delta] dz = (fx + e1) dx + (fy + e2) dy, (не то чтобы в это трудно поверить). вместо этого я доказал уравнение производной по направлению, используя непрерывность и проследив путь вдоль f (x, y) dx и f (x + dx, y) dy. есть ли аналогичный метод получения второй производной. дайте мне знать, если у вас есть ссылка и т. д. Я думаю, было бы неплохо однажды увидеть страницу википедии о втором производном тесте, я не смог ее найти. —Предыдущий комментарий без подписи, добавленный 122.110.28.250 ( обсуждение ) 09:29, 22 июня 2008 г. (UTC)

См второго частный производный теста и второй производная теста . siℓℓy rabbit ( разговор ) 13:36, 22 июня 2008 (UTC)

дифференциальная производная точки [ править ]

Полужирный текст - предыдущий комментарий без подписи, добавленный 220.225.127.88 ( обсуждение ) 07:32, 17 апреля 2009 г. (UTC).

Изображение [ править ]

Привет,

Вот ссылка на изображение, которое может быть полезно.

Кстати, французское определение не использует нормализованный вектор, и, что более важно, я не понимаю, почему предел вычисляется с h, принимающим только положительные значения.

Извините за мой плохой английский - предыдущий неподписанный комментарий добавлен 90.43.213.76 ( обсуждение ) 21:03, 25 марта 2010 г. (UTC)

Я думаю, что во французской версии используются нормализованные векторы. Французская версия статьи гласит: «On parlera de dérivée directionnelle de f au point u dans la direction de h lorsque le vecteur h est unitaire». Таким образом, он желает использовать название «производная по направлению» только тогда, когда вектор является единичным. В противном случае он использует термин «La dérivée de f au point u selon le vecteur h », то есть производная f в u вдоль вектора h .

Что касается ограничения положительными значениями - я видел оба определения, но можно утверждать, что производная f по направлению в направлении h должна учитывать, насколько f изменяется при движении в направлении h, но не в обратном направлении. . Это все, что делает ограничение на положительные значения.

В любом случае, я думаю, что здесь существует несколько различных соглашений. В случае дифференцируемой функции и единичного вектора все они согласны, но в остальном между соглашениями есть небольшие различия.

Кроме того, ваш английский был безупречным. 75.22.201.232 ( разговорное ) 19:26, 27 марта 2010 (UTC)

Спасибо за убедительный ответ; Я исправил французскую версию после различных чтений. ( Асры ) -Preceding неподписанного комментария добавлен 90.43.214.46 ( разговор ) 23:48, 3 апреля 2010 (UTC)

нормализация [ править ]

Определение

\nabla _{\vec {v}}{f}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}

Появление в начале статьи прямо противоречит определению, данному в разделе «дифференциальная геометрия». Ткувхо ( разговорное ) 10:01, 3 мая 2010 (UTC)

Действительно, производные по направлению не являются ковариантными производными, которые обозначаются как

\nabla _{V}

для векторного поля V 2018-11-18 16:42 (UTC) - Предшествующий беззнаковый комментарий добавлен в 92.189.150.15 ( обсуждение )

Нормальная производная [ править ]

Я не могу понять

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )

Полагаю, что-то пошло не так - Тригамма ( разговор ) 21:57, 28 мая 2010 г. (UTC)

Обозначение в виде частной производной слева означает градиент скалярной функции f, которая является полной производной скалярной функции по всем ее переменным. Если бы f был векторнозначным, это был бы якобиан , который является полной производной одного вектора по отношению к другому. Другие обозначения в этом уравнении ясно показывают, что имеется в виду именно это, - Джаспер Дэн (выступление) 08:33, 23 ноября 2013 г. (UTC)

небольшая уборка [ править ]

Небольшие изменения:

добавить еще пару источников,
ввести лучшую схему нумерации (с отступом и без скобок),
выделил основные свойства,
сделал векторную нотацию последовательной на всем протяжении (это была смесь жирного шрифта + оверррелка, типографически полужирный шрифт немного проще)

F = q ( E + v × B ) ⇄ ∑ i c i 13:23, 13 апреля 2012 г. (UTC)

Проверяемость определения [ править ]

Как видно из приведенных выше обсуждений, кажется, существует большая путаница в определении производной по направлению. Можно отметить, что приведенные цитаты очень слабые.

Единственное разумное определение (то есть математически полезное и элегантное) не содержит никаких ссылок на нормализацию. У меня сложилось впечатление, что это определение является наиболее заметным (т.е. обычно используемым в авторитетных текстах), хотя у меня под рукой не так много таких текстов. Есть много причин для этого утверждения, в той мере, в какой я бы поспорил за отнесение использования нормализованного вектора к сноске. Основным аргументом в пользу этого является то, что в контексте функций над набором координат и связанных контекстов норма вектора обычно не определяется, но производная по направлению остается чрезвычайно полезным понятием. Даже если (неопределенный) метрический тензор определяется так, как в физике общей теории относительности, это определение сталкивается с серьезными трудностями без видимых преимуществ.

Я предполагаю, что более слабое определение возникло как хвост, виляющий собакой: термин был необходим для очень полезной конструкции, обобщающей частную производную. Очевидным термином была бы «производная по направлению», даже если это может быть частично неправильное название, которое затем интерпретировалось буквально.

Буду признателен за цитирование авторитетных текстов теми, кто имеет к ним доступ. - Quondum 07:15, 30 октября 2012 г. (UTC)

У меня есть (элементарный) учебник, определяющий его с помощью единичных векторов, но он учитывает только устойчивые векторные поля и не выходит за пределы обычного трехмерного пространства, - Джаспер Дэн (выступление) 08:34, 23 ноября 2013 г. (UTC)

Ошибка в первом сюжете [ править ]

Это небольшая ошибка, но я думаю, что ее все равно нужно исправить. На первом графике (с контурным графиком) градиент имеет индекс 'u' в своем имени, но 'u' в индексе означает, что мы говорим о производной по направлению (которая, кстати, не является вектором). Я не знаю, как это перестроить, но я бы сделал это сам, если бы знал. Спасибо - Jotwo ( обсуждение ) 18:16, 4 апреля 2014 г. (UTC)

Величины в разделе "механика сплошной среды" [ править ]

Я думаю, что некоторые количественные типы неверны. Например, производная по направлению векторного поля в направлении любого вектора снова должна быть векторным полем, а не тензором. Поскольку производная по направлению является пределом последовательности частных значений исходной функции с помощью скаляров, я думаю, что производная по направлению должна соответствовать типу исходной функции, - Джаспер Дэн (доклад) 17:48, 29 ноября 2015 г. (UTC)

Добавить пример для начинающих пользователей? [ редактировать ]

Я думаю, было бы неплохо добавить простой пример, как обычно вычислять производную по направлению для начинающих. Но в какой раздел мне добавить этот пример?

Пример [ править ]

Таким образом, если функция и вектор определены как: $f$ $\mathbf {v}$

f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=x^{2}+y^{2}

а также:

\mathbf {v} =(1,2),|\mathbf {v} |={\sqrt {1^{2}+2^{2}}}={\sqrt {5}}

Рассматриваемая производная по направлению будет: $(x,y)$

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}={\frac {\partial {f}}{\partial {\mathbf {x} }}}\cdot {\frac {\mathbf {v_{x}} }{|\mathbf {v} |}}+{\frac {\partial {f}}{\partial {\mathbf {y} }}}\cdot {\frac {\mathbf {v_{y}} }{|\mathbf {v} |}}=2x\cdot {\frac {1}{\sqrt {5}}}+2y\cdot {\frac {2}{\sqrt {5}}}$