Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Чтобы узнать о других возможностях триангуляции в математике, см. Триангуляция (значения) .
Триангулированный тор
Еще одна триангуляция тора
Треугольная форма дельфина

В математике , топология обобщает понятие триангуляции естественным образом следующим образом :

Триангуляции из топологического пространства X является симплициальным комплексом К , гомеоморфно X , вместе с гомеоморфизму ч :  К → Х .

Триангуляция полезна при определении свойств топологического пространства. Например, можно вычислить группы гомологий и когомологий триангулированного пространства, используя симплициальные теории гомологий и когомологий вместо более сложных теорий гомологий и когомологий.

Кусочно-линейные структуры [ править ]

Основная статья: Кусочно-линейное многообразие

Для топологических многообразий существует более сильное понятие триангуляции: кусочно-линейная триангуляция (иногда называемая просто триангуляцией) - это триангуляция с дополнительным свойством, определенным для размерностей 0, 1, 2,. . . индуктивно - линк любого симплекса является кусочно-линейной сферой. Ссылка симплекс ов в симплициальном комплексе K является подкомплексом K , состоящим из симплексов т , что не пересекается с й и таким образом, что оба с и т являются гранями некоторого многомерном симплекса в K. Например, в двумерном кусочно-линейном многообразии, образованном набором вершин, ребер и треугольников , связь вершины s состоит из цикла вершин и ребер, окружающих s : если t - вершина в этом цикле, т и с являются конечными точками кромки K , и если т ребро в этом цикле, то и с обеими граней треугольника K . Этот цикл гомеоморфен окружности, которая является одномерной сферой. Но в этой статье слово «триангуляция» просто означает гомеоморфность симплициальному комплексу.

Для многообразий размерности не выше 4 любая триангуляция многообразия является кусочно линейной триангуляцией: в любом симплициальном комплексе, гомеоморфном многообразию, линк любого симплекса может быть только гомеоморфен сфере. Но в размерности п  ≥ 5, ( п  - 3) -кратное суспензию из сферы Пуанкара является топологическим многообразием (гомеоморфно п -сферы) с триангуляцией , которые не кусочно-линейный: он имеет симплекс которого звено является Пуанкар сфера , трехмерное многообразие, не гомеоморфное сфере. Это теорема о двойной подвеске , предложенная Джеймсом У. Кэнноном и Р. Д. Эдвардсом в 1970-х годах. [1][2] [3] [4] [5]

Вопрос о том, какие многообразия имеют кусочно-линейную триангуляцию, привел к большим исследованиям в топологии. Дифференцируемые многообразия (Стюарт Кэрнс, Дж. Х. К. Уайтхед , Л. Дж. Брауэр , Ханс Фройденталь , Джеймс Манкрес ), [6] [7] и субаналитические множества ( Хейсуке Хиронака и Роберт Хардт) допускают кусочно-линейную триангуляцию, технически проходя через категорию PDIFF . Топологические многообразия размерностей 2 и 3 всегда триангулируемы с помощью существенно единственной триангуляции (с точностью до кусочно-линейной эквивалентности); это было доказано дляповерхности по Тибор Радо в 1920 - х годах и для трехмерных многообразий по Эдвин Э. Моиса и RH Bing в 1950 - х годах, с последующими упрощениями по Питером Шейлен . [8] [9] Как показано независимо друг от друга Джеймс Манкрс , Steve Смейла и JHC Whitehead , [10] [11] каждый из этих многообразий допускает гладкую структуру , уникальные до диффеоморфизма . [9] [12] Однако в размерности 4 многообразие E8не допускает триангуляции, а некоторые компактные 4-многообразия имеют бесконечное число триангуляций, причем все кусочно-линейные неэквивалентны. В размерности больше 4 Роб Кирби и Ларри Зибенманн построили многообразия, не имеющие кусочно-линейных триангуляций (см. Hauptvermutung ). Далее, Чиприан Манолеску доказал, что существуют компактные многообразия размерности 5 (и, следовательно, любой размерности больше 5), которые не гомеоморфны симплициальному комплексу, т. Е. Не допускают триангуляции. [13]

Явные методы триангуляции [ править ]

Важным частным случаем топологической триангуляции является случай двумерных поверхностей или замкнутых двумерных многообразий . Существует стандартное доказательство триангуляции гладких компактных поверхностей. [14] Действительно, если поверхности задана риманова метрика , каждая точка x содержится внутри небольшого выпуклого геодезического треугольника, лежащего внутри нормального шара с центром x . Внутренности конечного числа треугольников покроют поверхность; поскольку ребра разных треугольников либо совпадают, либо пересекаются трансверсально, этот конечный набор треугольников можно итеративно использовать для построения триангуляции.

Другая простая процедура триангуляции дифференцируемых многообразий была предложена Хасслером Уитни в 1957 г. [15] на основе его теоремы вложения . Фактически, если X - замкнутое n - подмногообразие в R m , разделите кубическую решетку в R m на симплексы, чтобы получить триангуляцию R m . Если взять сетку решетки достаточно малой и слегка сдвинуть конечное число вершин, триангуляция будет в общем положении по отношению к X : таким образом, никаких симплексов размерности <  s  = m  -  n пересекают X, и каждый s -симплекс, пересекающий  X

  • делает это ровно в одной внутренней точке;
  • составляет строго положительный угол с касательной плоскостью;
  • лежит целиком внутри некоторые трубчатые окрестностей в X .

Эти точки пересечения и их барицентры (соответствующие многомерным симплексам, пересекающим X ) порождают n -мерный симплициальный подкомплекс в R m , полностью лежащий внутри трубчатой ​​окрестности. Триангуляция задается проекцией этого симплициального комплекса на X .

Графики на поверхностях [ править ]

Уитни триангуляция или чистая триангуляция из поверхности является вложением из графика на поверхность таким образом , что грани вложения в точности клики графа. [16] [17] [18] Эквивалентно, каждая грань - это треугольник, каждый треугольник - это грань, а сам граф не является кликой. Тогда кликовый комплекс графа гомеоморфен поверхности. 1- скелеты триангуляций Уитни - это в точности локально циклические графы, отличные от K 4 .

Ссылки [ править ]

  1. ^ JW Кэннон, Проблема распознавания: что такое топологическое многообразие? Бюллетень Американского математического общества , т. 84 (1978), нет. 5. С. 832–866.
  2. ^ JW Кэннон, Сокращение клеточно-подобных разложений многообразий. Коразмерность три. Анналы математики (2), 110 (1979), вып. 1, 83–112.
  3. ^ Эдвардс, Роберт Д. (2006), Суспензия гомологических сфер , Arxiv : математика / 0610573( перепечатка частных неопубликованных рукописей 1970-х гг. )
  4. ^ Эдвардс, RD (1980), «Топология многообразий и ячеечных отображений», в Lehto, O. (ed.), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, 1978 , Acad. Sci. Фенн, стр. 111–127.
  5. ^ Кэннон, JW (1978), «Σ 2 H 3 = S 5 / G», Rocky Mountain J. Math. , 8 : 527–532
  6. ^ Уайтхед, JHC (октябрь 1940), "О С 1 -комплексы", Анналы математики , второй серии, 41 (4): 809-824, DOI : 10,2307 / 1968861 , JSTOR 1968861 
  7. ^ Мункрес, Джеймс (1966), Элементарная дифференциальная топология, исправленное издание , Анналы математических исследований 54, Princeton University Press , ISBN 0-691-09093-9
  8. ^ Мойз, Эдвин (1977), Геометрическая топология в измерениях 2 и 3 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90220-1
  9. ^ a b Терстон, Уильям (1997), Трехмерная геометрия и топология, Vol. I , Princeton University Press, ISBN 0-691-08304-5
  10. ^ Манкрес, Джеймс (1960), "Препятствия к сглаживанию кусочно-дифференцируемая гомеоморфизмах", Анналы математики , 72 (3): 521-554, DOI : 10,2307 / 1970228 , JSTOR 1970228 
  11. ^ Уайтхед, JHC (1961), "Коллекторы с Поперечной полей в евклидовом пространстве", Анналы математики , 73 (1): 154-212, DOI : 10,2307 / 1970286 , JSTOR 1970286 
  12. Перейти ↑ Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Дифференциальная топология , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4230-7
  13. ^ Манолеска, Киприан (2016), "Штифт (2) -эквивариантная Зайберг-Виттен Флоер гомология и триангуляция гипотеза", J. Amer. Математика. Soc. , 29 : 147-176, Arxiv : 1303,2354 , DOI : 10,1090 / jams829
  14. ^ Йост, Юрген (1997), Компактные римановы поверхности , Springer-Verlag, ISBN 3-540-53334-6
  15. ↑ Whitney, Hassler (1957), Теория геометрической интеграции , Princeton University Press, стр. 124–135
  16. ^ Hartsfeld, N .; Рингель, Г. (1991), "Чистые триангуляции", Combinatorica , 11 (2): 145-155, DOI : 10.1007 / BF01206358
  17. ^ Ларрион, Ф .; Нойман-Лара, В .; Pizaña, MA (2002), "Уитни триангуляции, местные обхват и итерация клика графов", Дискретная математика , 258 : 123-135, DOI : 10.1016 / S0012-365X (02) 00266-2
  18. ^ Malnič, Александр; Мохар, Боян (1992), "Генерация локально циклических триангуляций поверхностей", Журнал комбинаторной теории, серия B , 56 (2): 147–164, DOI : 10.1016 / 0095-8956 (92) 90015-P

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Дьедонне, Жан (1989), История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3388-X