Гомология (математика)

В математике , гомология ^[1] является общим способом связывания последовательности алгебраических объектов, таких как абелевые группы или модули , к другим математическим объектам , таким как топологические пространства . Группы гомологий были первоначально определены в алгебраической топологии . Подобные конструкции доступны во множестве других контекстов, таких как абстрактная алгебра , группы , алгебры Ли , теория Галуа и алгебраическая геометрия .

Первоначальной мотивацией для определения групп гомологии было наблюдение, что две формы можно различить, исследуя их отверстия. Например, круг не является диском, потому что в круге сквозное отверстие, в то время как диск твердый, а обычная сфера не является кругом, потому что сфера охватывает двумерное отверстие, а круг - одномерное отверстие. Однако, поскольку дыры «нет», не сразу становится очевидным, как определить дыру или как различать различные типы дыр. Изначально гомология была строгим математическим методом определения и категоризации дыр в многообразии . Грубо говоря, цикл - это замкнутое подмногообразие, граница - это цикл, который также является границей подмногообразия, акласс гомологии (который представляет собой дыру) - это класс эквивалентности циклов по модулю границ. Таким образом, класс гомологии представлен циклом, который не является границей какого-либо подмногообразия: цикл представляет собой дыру, а именно гипотетическое многообразие, граница которого была бы этим циклом, но которого «не существует».

Есть много разных теорий гомологии. Определенный тип математического объекта, такой как топологическое пространство или группа , может иметь одну или несколько связанных теорий гомологии. Когда базовый объект имеет геометрическую интерпретацию, как топологические пространства, n- я группа гомологии представляет поведение в размерности n . Большинство групп или модулей гомологии могут быть сформулированы как производные функторы на соответствующих абелевых категориях , измеряя неспособность функтора быть точным . С этой абстрактной точки зрения группы гомологий определяются объектами производной категории .

Фон [ править ]

Истоки [ править ]

Можно сказать, что теория гомологий начинается с формулы многогранника Эйлера или характеристики Эйлера . ^[2] За этим последовало определение Римана числовых инвариантов рода и n- мерной связности в 1857 г. и доказательство Бетти в 1871 г. независимости «чисел гомологии» от выбора базиса. ^[3]

Сама гомология была разработана как способ анализа и классификации многообразий в соответствии с их циклами - замкнутые петли (или, в более общем смысле, подмногообразия), которые могут быть нарисованы на данном n- мерном многообразии, но не могут непрерывно деформироваться друг в друга. ^[4] Эти циклы также иногда называют отрезами, которые можно склеить, или молниями, которые можно застегивать и расстегивать. Циклы классифицируются по размерам. Например, линия, проведенная на поверхности, представляет собой 1-цикл, замкнутый цикл или (1-многообразие), а поверхность, прорезанная через трехмерное многообразие, представляет собой 2-цикл.${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Поверхности [ править ]

На обычной сфере цикл b на диаграмме может быть уменьшен до полюса, и даже экваториальная большая окружность a может быть уменьшена таким же образом. Теорема Жордана показывает, что любой произвольный цикл, такой как c, может быть подобным образом сжат до точки. Таким образом, все циклы на сфере могут быть непрерывно преобразованы друг в друга и принадлежат одному и тому же классу гомологий. Они называются гомологичными нулю. Разрезание коллектора по циклу, гомологичному нулю, разделяет многообразие на два или более компонентов. Например, разрезание сферы вдоль a дает два полушария.${\ Displaystyle S ^ {2}}$

Обычно это не относится к циклам на других поверхностях. У тора есть циклы, которые нельзя непрерывно деформировать друг в друга, например, на диаграмме ни один из циклов a , b или c не может быть преобразован один в другой. В частности, циклы a и b не могут быть сокращены до точки, тогда как цикл c может быть, что делает его гомологичным нулю.${\ displaystyle T ^ {2}}$

Если поверхность тора разрезать как по a, так и по b , ее можно раскрыть и сплющить в прямоугольник или, что более удобно, квадрат. Одна противоположная пара сторон представляет разрез по a , а другая противоположная пара представляет разрез по b .

Затем края квадрата можно снова склеить разными способами. Квадрат можно скрутить, чтобы края пересекались в противоположном направлении, как показано стрелками на схеме. Что касается симметрии, есть четыре различных способа склеивания сторон, каждый из которых создает различную поверхность:

${\ displaystyle K ^ {2}}$- это бутылка Клейна , которая представляет собой тор с закрученным в нем закручиванием (закручивание можно увидеть на квадратной диаграмме как переворот нижней стрелки). Это теорема, что переклеенная поверхность должна самопересекаться (при погружении в евклидово 3-мерное пространство ). Как и тор, циклы a и b нельзя сжать, а c можно. Но в отличие от тора, следование b вперед вправо и назад меняет местами влево и вправо, потому что b пересекает скручивание, данное одному соединению. Если делается эквидистантный разрез на одной стороне b , он возвращается на другую сторону и обходит поверхность во второй раз, прежде чем вернуться в исходную точку, вырезая скрученныйЛента Мебиуса . Поскольку таким образом можно произвольно переориентировать локальные левые и правые стороны, поверхность в целом называется неориентируемой.

На проективной плоскости оба стыка скручены. Неразрезанная форма, обычно представленная как поверхность Мальчика , визуально сложна, поэтому на схеме показано полусферическое вложение, на котором противоположные точки вокруг обода, такие как A и A ' , обозначены как одна и та же точка. Опять же, a и b не поддаются усадке, а c - нет. Но на этот раз оба элемента a и b меняют местами влево и вправо.${\ Displaystyle P ^ {2}}$

Циклы могут быть объединены или добавлены вместе, а и Ь на торе , когда она была разрезана и уплощенная вниз. На диаграмме бутылки Клейна a вращается в одну сторону, а - a вращается в противоположную сторону. Если a рассматривается как разрез, то - a можно рассматривать как операцию склеивания. Выполнение надреза с последующим повторным приклеиванием не меняет поверхности, поэтому a + (- a ) = 0.

Но теперь рассмотрим два а -цикла. Поскольку бутылку Клейна нельзя ориентировать, вы можете транспортировать одну из них через всю бутылку (по b -циклу), и она вернется как - a . Это потому, что бутылка Кляйна сделана из цилиндра, концы a- цикла которого склеены с противоположными ориентациями. Следовательно, 2 a = a + a = a + (- a ) = 0. Это явление называется кручением . Точно так же в проективной плоскости, если следовать безусадочному циклу b дважды, замечательно создает тривиальный цикл, который можно сжать до точки; то есть,b + b = 0. Поскольку для достижения нулевого цикла необходимо дважды выполнить b- цикл, говорят, что поверхность имеет коэффициент кручения 2. Однако повторение b- цикла дважды в бутылке Клейна дает просто b + b = 2 б , так как этот цикл живет в кручении класса гомологии. Это соответствует тому, что в фундаментальном многоугольнике бутылки Клейна только одна пара сторон склеена с закруткой, тогда как в проективной плоскости скручены обе стороны.

Квадрат - это стягиваемое топологическое пространство , из чего следует, что у него тривиальные гомологии. Следовательно, дополнительные разрезы отключают его. Квадрат - не единственная фигура на плоскости, которую можно приклеить к поверхности. Например, склейка противоположных сторон восьмиугольника дает поверхность с двумя отверстиями. Фактически, все замкнутые поверхности могут быть созданы путем склеивания сторон некоторого многоугольника, а все четные многоугольники (2 n -угольника) могут быть склеены, чтобы образовать различные многообразия. И наоборот, замкнутая поверхность с n ненулевыми классами может быть разрезана на 2 n -угольник. Возможны также вариации, например, можно склеить шестиугольник в виде тора. ^[5]

Первая известная теория гомологии была опубликована Анри Пуанкаре в его основополагающей статье « Analysis situs », J. Ecole polytech. (2) 1 . 1–121 (1895). В статье представлены классы гомологии и отношения. Возможные конфигурации ориентируемых циклов классифицируются по числам Бетти многообразия (числа Бетти являются уточнением характеристики Эйлера). Для классификации неориентируемых циклов требуется дополнительная информация о коэффициентах кручения. ^[4]

Полная классификация 1- и 2-многообразий приведена в таблице.

Топологические характеристики замкнутых 1- и 2-многообразий ^[6]

Многообразие		Эйлера нет. , χ	Ориентируемость	Бетти числа			Коэффициент кручения (1-мерный)
Символ [5]	Имя			б 0	б 1	б 2
${\ Displaystyle S ^ {1}}$	Круг (1-многообразие)	0	Ориентируемый	1	1	Нет данных	Нет данных
${\ Displaystyle S ^ {2}}$	Сфера	2	Ориентируемый	1	0	1	Никто
${\ displaystyle E ^ {2}}$	Сплошная окружность (т.е. диск; 2-многообразие)		Неориентируемый	1	0	0
${\ displaystyle E ^ {3}}$	Твердая сфера (т.е. шар)		Неориентируемый	1	0	0
${\ displaystyle T ^ {2}}$	Тор	0	Ориентируемый	1	2	1	Никто
${\ Displaystyle P ^ {2}}$	Проективная плоскость	1	Неориентируемый	1	0	0	2
${\ displaystyle K ^ {2}}$	Бутылка Клейна	0	Неориентируемый	1	1	0	2
	Тор с двумя отверстиями	−2	Ориентируемый	1	4	1	Никто
	g - тор с отверстиями ( g - род )	2 - 2 г	Ориентируемый	1	2 г	1	Никто
	Сфера с буквами c колпачками	2 - с	Неориентируемый	1	в - 1	0	2
	2-Коллектор с г  отверстиями и с  поперечными колпачков ( с  >  0)	2  -  (2 г  + с )	Неориентируемый	1	(2 г  + с ) - 1	0	2

Примечания

1. Для неориентируемой поверхности отверстие эквивалентно двум поперечным заглушкам.
2. Любая 2-многообразие является связной суммой из г торов и с проективными плоскостями. Для сферы , г = с = 0.${\ Displaystyle S ^ {2}}$

Обобщение [ править ]

Многообразие с краем или открытое многообразие топологически отличается от замкнутого многообразия и может быть создано путем разрезания любого подходящего замкнутого многообразия. Например, круг или 1-шар ограничен окружностью . Его можно создать, разрезав тривиальный цикл в любом 2-коллекторе и оставив деталь удаленной, проткнув сферу и широко растянув прокол, или разрезав проекционную плоскость. Это также можно рассматривать как заполнение круга на плоскости.${\ displaystyle B ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Когда два цикла могут непрерывно деформироваться друг в друга, тогда резка по одному дает ту же форму, что и разрезание по другому, вплоть до некоторого изгиба и растяжения. В этом случае говорят, что два цикла гомологичны или принадлежат одному и тому же классу гомологии . Кроме того, если один цикл можно непрерывно деформировать в комбинацию других циклов, то резка по начальному циклу такая же, как резка по комбинации других циклов. Например, разрезание по фигуре 8 эквивалентно разрезанию по двум ее лепесткам. В этом случае говорят, что цифра 8 гомологична сумме своих долей.

Два открытых многообразия с одинаковыми границами (с точностью до некоторого изгиба и растяжения) могут быть склеены вместе, чтобы образовать новое многообразие, которое является их связной суммой.

Этот геометрический анализ многообразий не является строгим. В поисках повышенной строгости Пуанкаре развил симплициальные гомологии триангулированного многообразия и создал то, что сейчас называется цепным комплексом . ^{[7] [8]} Эти цепные комплексы (с тех пор очень обобщенные) составляют основу большинства современных трактовок гомологии.

В таких обработках цикл не обязательно должен быть непрерывным: 0-цикл - это набор точек, и разрезание по этому циклу соответствует прокалыванию коллектора. 1-цикл соответствует набору замкнутых контуров (образу 1-многообразия ). На поверхности резка в течение 1 цикла дает либо отдельные части, либо более простую форму. 2-цикл соответствует набору вложенных поверхностей, таких как сфера или тор, и так далее.${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Эмми Нётер и независимо друг от друга Леопольд Виеторис и Вальтер Майер в период 1925–1928 годов продолжили развитие теории алгебраических групп гомологий. ^{[9] [10] [11]} В новой комбинаторной топологии топологические классы формально рассматриваются как абелевы группы . Группы гомологий - это конечно порожденные абелевы группы, а классы гомологий являются элементами этих групп. Числа Бетти многообразия - это ранг свободной части группы гомологий, а неориентируемые циклы описываются кручением.

Последующее распространение групп гомологии привело к изменению терминологии и точки зрения с «комбинаторной топологии» на « алгебраическую топологию ». ^[12] Алгебраические гомологии остаются основным методом классификации многообразий. ^[13]

Неофициальные примеры [ править ]

Гомологии топологического пространства X представляет собой набор топологических инвариантов из X представлены его группы гомологии

${\ Displaystyle H_ {0} (X), H_ {1} (X), H_ {2} (X), \ ldots}$

где группа гомологии описывает, неформально, число K - мерных отверстий в X . 0-мерное отверстие - это просто разрыв между двумя компонентами . Следовательно, описывает путь соединенных компонент X . ^[14]${\ Displaystyle к ^ {\ rm {th}}}$${\ displaystyle H_ {k} (X)}$${\ displaystyle H_ {0} (X)}$

Круг или 1 сфера ${\ Displaystyle S ^ {1}}$

2-сфера - это оболочка, а не внутренняя часть шара.${\ Displaystyle S ^ {2}}$

Одномерная сфера - это круг . Он имеет один связанный компонент и одномерное отверстие, но не имеет отверстий более высоких измерений. Соответствующие группы гомологий задаются как${\ Displaystyle S ^ {1}}$

${\ displaystyle H_ {k} \ left (S ^ {1} \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k = 0,1 \\\ {0 \} & {\ text {else}} \ end {case}}}$

где - группа целых чисел, - тривиальная группа . Группа представляет собой конечно порожденную абелеву группу с одним образующим, представляющим одномерное отверстие, содержащееся в окружности. ^[15]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

Двумерная сфера имеет один компонент связности, нет одномерных отверстий, двумерных отверстий и нет отверстий более высоких измерений. Соответствующие группы гомологий ^{[15] [16]}${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

В общем случае для n -мерной сферы S ⁿ группы гомологий равны

${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Цельный диск или 2 шара ${\displaystyle B^{2}}$

Тор ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

Двумерный шар B ² представляет собой твердый диск. Он имеет один компонент с линейной связью, но, в отличие от круга, не имеет одномерных или многомерных отверстий. Все соответствующие группы гомологий тривиальны, за исключением . В общем случае для n -мерного шара B ⁿ , ^[15]${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Тор определяется как продукт двух окружностей . Тор имеет одну компоненту линейной связности, две независимые одномерные дыры (обозначены кружками красного и синего цветов) и одну двумерную дырку как внутреннюю часть тора. Соответствующие группы гомологий ^[17]${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

${\displaystyle H_{k}(T)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Две независимые одномерные дыры образуют независимые образующие в конечно порожденной абелевой группе, выраженной как группа произведений .${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

Для проективной плоскости P простое вычисление показывает (где Z ₂ - циклическая группа порядка 2): ^[18]

${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

H ₀ ( P ) = Z соответствует, как и в предыдущих примерах, тому факту, что имеется одна связная компонента. H ₁ ( P ) = Z ₂ - это новое явление: интуитивно оно соответствует тому факту, что существует одна несжимаемая «петля», но если мы сделаем петлю дважды, она станет стягиваемой до нуля. Это явление называется кручением .

Построение групп гомологий [ править ]

Строительство начинается с объекта , такого как топологического пространства X , на котором один первый определяет сложная цепь C ( X ) кодирования информации о X . Цепной комплекс - это последовательность абелевых групп или модулей C ₀ , C ₁ , C ₂ , ..., связанных гомоморфизмами, которые называются граничными операторами . ^[19] То есть${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

где 0 означает тривиальную группу и при i <0. Также требуется, чтобы композиция любых двух последовательных граничных операторов была тривиальной. То есть для всех n ,${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

то есть постоянная карта, отправляющая каждый элемент C _{n +1} в групповую идентичность в C _{n -1} . Утверждение, что граница границы тривиальна, эквивалентно утверждению, что , где обозначает изображение граничного оператора и его ядра . Элементы называются границами, а элементы - циклами .${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

Поскольку каждая цепная группа C _n абелева, все ее подгруппы нормальны. Тогда, поскольку является подгруппой в C _n , является абелевой, и поскольку, следовательно, является нормальной подгруппой в . Затем можно создать фактор-группу${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\leq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

называется п - й группой гомологии X . Элементы H _n ( X ) называются классами гомологий . Каждый класс гомологии является классом эквивалентности над циклами, и два цикла в одном и том же классе гомологий называются гомологичными . ^[20]

Цепной комплекс называется точным, если образ ( n +1) -го отображения всегда равен ядру n- го отображения. Таким образом, группы гомологии X измеряют, «насколько далек» цепной комплекс, связанный с X , от точности. ^[21]

Приведенные группы гомологий цепного комплекса C ( X ) определяются как гомологии расширенного цепного комплекса ^[22]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

где граничный оператор является${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

для комбинации ∑ n _i σ _i точек σ _i , которые являются фиксированными образующими C ₀ . Восстановленные группы гомологий совпадают с для я ≠ 0. Лишнего в цепи комплексе представляет собой уникальную карту из пустого симплекса в X .${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$${\displaystyle H_{i}(X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

Вычисление циклов и граничных групп обычно довольно сложно, так как они имеют очень большое количество образующих. С другой стороны, есть инструменты, облегчающие задачу.${\displaystyle Z_{n}(X)}$${\displaystyle B_{n}(X)}$

В симплициальных гомологиях группы Н _п ( Х ) от симплициального комплекса X определяется с использованием комплексного симплициальных цепей C ( X ), с С _п ( X ) в свободной абелевой группе , порожденной п -simplices из X . См. Подробности в симплициальной гомологии .

Эта особые гомологии группа Н _п ( Х ) определена для любого топологического пространства X , и согласовать с симплициальными группами гомологии для симплициального комплекса.

Группы когомологий формально подобны группам гомологий: каждый начинается с коцепного комплекса , который аналогичен цепному комплексу, но стрелки которого, теперь обозначенные как d ⁿ , указывают в направлении увеличения n, а не уменьшения n ; то группа из коциклов и из кограниц вытекает из того же описания. Тогда n- я группа когомологий X является фактор-группой${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$${\displaystyle \mathrm {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

по аналогии с n- й группой гомологий.

Гомология против гомотопии [ править ]

Гомотопические группы похожи на группы гомологий в том, что они могут представлять «дыры» в топологическом пространстве. Между первой гомотопической группой и первой группой гомологий существует тесная связь : последняя является абелианизацией первой. Поэтому говорится, что «гомологии - это коммутативная альтернатива гомотопии». ^{[23] : 4:00} Высшие гомотопические группы абелевы и связаны с группами гомологий теоремой Гуревича , но могут быть значительно более сложными. Например, гомотопические группы сфер плохо изучены и не известны вообще, в отличие от прямого описания, данного выше для групп гомологий.${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)}$

В качестве примера, пусть X будет восьмеркой . Его первая гомотопическая группа - это группа направленных петель, начинающихся и заканчивающихся в заранее определенной точке (например, в ее центре). Это эквивалентно свободной группе ранга 2, которая не является коммутативной: цикл вокруг самого левого цикла, а затем вокруг самого правого цикла отличается от цикла вокруг самого правого цикла, а затем цикла вокруг самого левого цикла. Напротив, его первая группа гомологии - это группа разрезов, сделанных в поверхности. Эта группа является коммутативной, поскольку (неформально) вырезание крайнего левого цикла, а затем крайнего правого цикла приводит к тому же результату, что и разрезание крайнего правого цикла, а затем крайнего левого цикла.${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)}$

Типы гомологии [ править ]

Различные типы теории гомологии возникают в результате отображения функторов из различных категорий математических объектов в категорию цепных комплексов. В каждом случае композиция функтора от объектов к цепным комплексам и функтора от цепных комплексов к группам гомологий определяет общий функтор гомологии для теории. ^[24]

Симплициальные гомологии [ править ]

Движущей пример из алгебраической топологии : в симплициальную гомологии в виде симплициального комплекса X . Здесь цепь С _п есть свободная абелева группа или модуль, образующая которой являются п - мерные ориентированными симплексами X . Ориентация захватывается путем упорядочивания вершин комплекса и выражения ориентированного симплекса как n -набора его вершин, перечисленных в порядке возрастания (то есть в порядке вершин комплекса, где является th вершиной, появляющейся в кортеже). Отображение из C${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$${\displaystyle \sigma [i]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \partial _{n}}$_n в C _{n − 1} называется граничным отображением и отправляет симплекс

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

к формальной сумме

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$

который считается 0, если n  = 0. Такое поведение генераторов индуцирует гомоморфизм на всем C _n следующим образом. Для данного элемента запишите его как сумму генераторов , где X _n - это набор n -симплексов в X, а m _i - коэффициенты из кольца, над которым C _n определяется (обычно целыми числами, если не указано иное). Затем определите${\displaystyle c\in C_{n}}$${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i}}$

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

Размерность n -й гомологии X оказывается числом «дырок» в X в размерности n . Его можно вычислить, поместив матричные представления этих граничных отображений в нормальную форму Смита .

Сингулярные гомологии [ править ]

Используя симплициальную пример гомологии в качестве модели, можно определить сингулярные гомологии для любого топологического пространства X . Цепной комплекс для X определяется с C _п быть свободной абелевой группы (или свободный модуль), образующие которых являются все непрерывные отображения из п - мерных симплексов во X . Гомоморфизмы ∂ _n возникают из граничных отображений симплексов.

Групповая гомология [ править ]

В абстрактной алгебре гомологии используются для определения производных функторов , например функторов Tor . Здесь начинается с некоторым ковариантным аддитивным функтором F и некоторым модулем X . Цепной комплекс для X определяется следующим образом : сначала найти свободный модуль F ₁ и сюръективный гомоморфизм р ₁  : F ₁ → Х . Затем находятся свободный модуль F ₂ и сюръективный гомоморфизм p ₂  : F ₂ → ker ( p ₁) . Продолжая таким образом, можно определить последовательность свободных модулей F _n и гомоморфизмов p _n . Применяя функтор F к этой последовательности, мы получаем цепной комплекс; гомологии Н _п этого комплекса зависит только от F и X и является, по определению, п -го полученного функтора F , применительно к X .

Обычное использование группы (со) гомологией является классификация возможных расширения групп Е , которые содержат заданную G - модуля М в качестве нормальной подгруппы и имеют заданный фактор - группу G , так что G = Е / М .${\displaystyle H^{2}(G,M)}$

Другие теории гомологии [ править ]

Функторы гомологии [ править ]

Цепные комплексы образуют категорию : морфизм от цепного комплекса ( d _n : A _n → A _{n −1} ) к цепному комплексу ( e _n : B _n → B _{n −1} ) - это последовательность гомоморфизмов f _n : A _n → B _n такое, что для всех n . П -й гомологии Н _п можно рассматривать как ковариантный функтор${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$ из категории цепных комплексов в категорию абелевых групп (или модулей).

Если цепной комплекс ковариантно зависит от объекта X (это означает, что любой морфизм X → Y индуцирует морфизм из цепного комплекса X в цепной комплекс Y ), то H _n являются ковариантными функторами из категории, в которой X принадлежит к категории абелевых групп (или модулей).

Единственное различие между гомологией и когомологиями является то , что в когомологиях цепных комплексы зависят в контравариантном образе на X , и что , следовательно, группа гомологии (которые называются группами когомологий в этом контексте и обозначат через H ^п ) образуют контравариантные функторы из категории этой X принадлежит к категории абелевых групп или модулей.

Свойства [ править ]

Если ( d _n : A _n → A _{n −1} ) - цепной комплекс такой, что все A _n, кроме конечного числа, равны нулю, а остальные - конечно порожденные абелевы группы (или конечномерные векторные пространства), то мы можем определить Эйлерова характеристика

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(с использованием ранга в случае абелевых групп и размерности Гамеля в случае векторных пространств). Оказывается, эйлерова характеристика также может быть вычислена на уровне гомологии:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

и, особенно в алгебраической топологии, это обеспечивает два способа вычисления важного инварианта χ для объекта X, который дал начало цепному комплексу.

Каждая короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

цепных комплексов порождает длинную точную последовательность групп гомологий

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

Все отображения в этой длинной точной последовательности индуцированы отображениями между цепными комплексами, за исключением отображений H _n (C) → H _{n −1} (A) . Последние называются связывающими гомоморфизмами и даются леммой о зигзаге . Эта лемма может применяться к гомологиям множеством способов, которые помогают вычислять группы гомологий, например, теории относительной гомологии и последовательности Майера-Виеториса .

Приложения [ править ]

Применение в чистой математике [ править ]

Известные теоремы, доказанные с использованием гомологии, включают следующее:

• Браувер фиксированной точкой теорема : если F является любое непрерывное отображение из шара В ^п к самому себе, то есть фиксированная точка ∈ B ^п с F ( ) = .
• Инвариантность области : Если U представляет собой открытое подмножество из R ^н и е  : U → R ^п является инъективны непрерывное отображение , то V = F ( U ) открыто и F является гомеоморфизм между U и V .
• Теорема Волосатого шара : любое векторное поле на 2-сфере (или, в более общем смысле, 2 k -сфера для любого k ≥ 1) в какой-то момент обращается в нуль.
• Теорема Борсука – Улама : любая непрерывная функция из n -сферы в евклидово n- пространство отображает некоторую пару антиподальных точек в одну и ту же точку. (Две точки на сфере называются антиподами, если они находятся в совершенно противоположных направлениях от центра сферы.)
• Инвариантность размерности: если непустые открытые подмножества и гомеоморфны, то . ^[25]${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m=n}$

Применение в науке и технике [ править ]

В топологическом анализе данных наборы данных рассматриваются как выборка облака точек многообразия или алгебраического разнообразия, встроенного в евклидово пространство . Путем связывания ближайших соседних точек в облаке в триангуляцию создается симплициальная аппроксимация многообразия и могут быть вычислены его симплициальные гомологии. Поиск методов для надежного вычисления гомологии с использованием различных стратегий триангуляции в нескольких масштабах длины является темой постоянной гомологии . ^[26]

В сенсорных сетях сенсоры могут передавать информацию через специализированную сеть, которая динамически изменяется во времени. Чтобы понять глобальный контекст этого набора локальных измерений и путей связи, полезно вычислить гомологию топологии сети, чтобы оценить, например, пробелы в покрытии. ^[27]

В теории динамических систем в физике Пуанкаре был одним из первых, кто рассмотрел взаимодействие между инвариантным многообразием динамической системы и ее топологическими инвариантами. Теория Морса связывает динамику градиентного потока на многообразии, например, с его гомологиями. Гомологии Флора распространили это на бесконечномерные многообразия. Теорема КАМ установила, что периодические орбиты могут следовать по сложным траекториям; в частности, они могут образовывать косы, которые можно исследовать с помощью гомологии Флора. ^[28]

В одном классе методов конечных элементов , краевые задачи для дифференциальных уравнений с участием оператора Ходжи-Лаплас могут потребоваться быть решены на топологический нетривиальных областях, например, в электромагнитном моделировании . В этом моделировании решение поддерживается путем фиксации класса когомологий решения на основе выбранных граничных условий и гомологии области. Области FEM могут быть триангулированы, из которых могут быть вычислены симплициальные гомологии. ^{[29] [30]}

Программное обеспечение [ править ]

Различные программные пакеты были разработаны для целей вычисления групп гомологии конечных клеточных комплексов. Linbox - это библиотека C ++ для выполнения быстрых матричных операций, включая нормальную форму Смита ; он взаимодействует как с Gap, так и с Maple . Chomp , CAPD :: Redhom и Perseus также написаны на C ++. Все три реализуют алгоритмы предварительной обработки, основанные на простой гомотопической эквивалентности и дискретной теории Морса, для выполнения сохраняющих гомологию редукций входных клеточных комплексов перед обращением к матричной алгебре. Kenzoнаписано в Лиспе, и в дополнении к гомологии он также может быть использован для создания презентации из гомотопических групп конечных симплициальных комплексов. Gmsh включает в себя решатель гомологии для конечно-элементных сеток, который может генерировать базы когомологий, непосредственно используемые программным обеспечением конечных элементов. ^[29]

См. Также [ править ]

• Бетти число
• Цикл пространство
• Аксиомы Эйленберга – Стинрода
• Необычная теория гомологии
• Гомологическая алгебра
• Гомологические гипотезы коммутативной алгебры
• Гомологическая связь
• Гомологическая размерность
• Теорема Кюннета
• Список теорий когомологий - также есть список теорий гомологии
• Двойственность Пуанкаре
• Когомологии де Рама

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Картан, Анри Поль ; Эйленберг, Сэмюэл (1956). Гомологическая алгебра . Принстонский математический ряд. 19 . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780674079779. OCLC  529171 .
• Эйленберг, Сэмюэл; Мур, Дж. К. (1965). Основы относительной гомологической алгебры . Мемуары номера Американского математического общества. 55 . Американское математическое общество. ISBN 9780821812556. OCLC  1361982 .
• Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь ; Лидер, Имре, ред. (2010), Принстонский компаньон по математике , Princeton University Press, ISBN 9781400830398.
• Хэтчер, А. (2002), Алгебраическая топология , Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Подробное обсуждение теорий гомологий для симплициальных комплексов и многообразий, особых гомологий и т. Д.
• Хилтон, Питер (1988), "Краткий, Субъективная История теории гомологии и гомотопий в этом столетии", Математика Журнал , Математическая ассоциация Америки, 60 (5): 282-291, DOI : 10,1080 / 0025570X.1988.11977391 , JSTOR  2689545
• Ричсон, Д. (2008), Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Принстонский университет.
• Спаниер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология , Springer, стр. 155, ISBN 0-387-90646-0.
• Стиллвелл, Джон (1993), Классическая топология и комбинаторная теория групп , Springer, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4372-4_6 , ISBN 978-0-387-97970-0.
• Тейчер, М. , изд. (1999), Наследие Эмми Нётер , Материалы конференции по математике в Израиле, Университет Бар-Илан / Американское математическое общество / Издательство Оксфордского университета , ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC  223099225
• Вейбель, Чарльз А. (1999), «28. История гомологической алгебры» (PDF) , в Джеймс, И.М. (ред.), История топологии , Elsevier, ISBN 9780080534077.

Внешние ссылки [ править ]

• Группа гомологий в энциклопедии математики