Производный функтор

В математике некоторые функторы могут быть получены для получения других функторов, тесно связанных с исходными. Эта операция, хотя и довольно абстрактная, объединяет ряд конструкций в математике.

Мотивация [ править ]

Было отмечено, что в различных совершенно разных условиях, короткая точная последовательность часто приводит к «длинной точной последовательности». Концепция производных функторов объясняет и проясняет многие из этих наблюдений.

Пусть дан ковариантный оставил точный функтор F : A → B между двумя абелевых категорий A и B . Если 0 → A → B → C → 0 - короткая точная последовательность в A , то применение F дает точную последовательность 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C), и можно было бы спросить, как продолжить эту последовательность вправо, чтобы сформировать длинную точную последовательность. Строго говоря, этот вопрос некорректно поставлен, поскольку всегда существует множество различных способов продолжить заданную точную последовательность вправо. Но оказывается, что (если это «хорошо» достаточно) есть один канонический способ сделать так, данное право производного функтора F . Для каждого i ≥1 существует функтор R ⁱ F : A → B , и указанная выше последовательность продолжается следующим образом: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) →R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → .... Отсюда мы видим, что F является точным функтором тогда и только тогда, когда R ¹ F = 0; так что в некотором смысле правые производные функторы F измеряют, "насколько далеко" F от точности.

Если объект A в приведенной выше короткой точной последовательности инъективен , то последовательность разделяется . Применение любого аддитивного функтора к расщепляемой последовательности приводит к расщепляемой последовательности, поэтому, в частности, R ¹ F ( A ) = 0. Правые производные функторы (для i> 0 ) равны нулю на инъективных объектах: это мотивация для конструкции, приведенной ниже.

Строительство и первая недвижимость [ править ]

Решающее предположение нам нужно сделать о нашей абелевой категории А в том , что она имеет достаточно много инъективных , а это означает , что для каждого объекта А в А существует мономорфизм → I , где I является инъективным объектом в A .

Правые производные функторы ковариантного точного слева функтора F : A → B определяются следующим образом. Начнем с объекта X из A . Поскольку инъективных достаточно, мы можем построить длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

где I ^я все инъективны (это известно как инъективного разрешение на X ). Применяя к этой последовательности функтор F и отбрасывая первое слагаемое, получаем цепной комплекс 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

Примечание: это вообще не точная последовательность. Но мы можем вычислить его когомологии в i -м месте (ядро отображения из F ( I ⁱ ) по модулю изображения отображения в F ( I ⁱ )); мы называем результат R ⁱ F ( X ). Конечно, нужно проверять разные вещи: конечный результат не зависит от данной инъективной резольвенты X , и любой морфизм X → Y естественным образом порождает морфизм R ⁱ F ( X ) → Rⁱ F ( Y ), так что действительно получаем функтор. Обратите внимание, что левая точность означает, что 0 → F ( X ) → F ( I ⁰ ) → F ( I ¹ ) является точным, поэтому R ⁰ F ( X ) = F ( X ), поэтому мы получаем что-то интересное только для i > 0. .

(Технически, чтобы получить четко определенные производные от F , мы должны были бы зафиксировать инъективную резольвенту для каждого объекта из A. Этот выбор инъективных резольвент затем дает функторы R ⁱ F. Различный выбор резольвент дает естественно изоморфные функторы, поэтому в конец выбор не имеет значения.)

Вышеупомянутое свойство превращать короткие точные последовательности в длинные точные последовательности является следствием леммы о змейке . Это говорит нам о том, что набор производных функторов является δ-функтором .

Если X сам по себе инъективен, то мы можем выбрать инъективную разрешающую способность 0 → X → X → 0, и мы получим, что R ⁱ F ( X ) = 0 для всех i ≥ 1. На практике этот факт вместе с длинным точным Свойство последовательности часто используется для вычисления значений правых производных функторов.

Эквивалентный способ вычисления R ⁱ F ( X ) следующий: возьмите инъективное разрешение X, как указано выше, и пусть K ⁱ будет изображением карты I ^{i -1} → I ⁱ (для i = 0 определите I ^{i -1} = 0), что совпадает с ядром I ⁱ → I ^{i +1} . Пусть φ _i  :  I ^{i -1} → K ⁱ - соответствующее сюръективное отображение. Тогда R ⁱ F (X ) - коядро F (φ _i ).

Варианты [ править ]

Если начать с ковариантного точного справа функтора G , а категория A имеет достаточно проективов (т. Е. Для каждого объекта A из A существует эпиморфизм P → A, где P - проективный объект ), то можно аналогичным образом определить левый производные функторы л _я G . Для объекта X из A сначала построим проективную резольвенту вида

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

где P _i проективны. Мы применяем G к этой последовательности, отбрасываем последний член и вычисляем гомологии, чтобы получить L _i G ( X ). Как и раньше, L ₀ G ( X ) = G ( X ).

В этом случае длинная точная последовательность будет расти «влево», а не вправо:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

превращается в

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$.

Левые производные функторы равны нулю на всех проективных объектах.

Можно также начать с контравариантного точного слева функтора F ; полученные правые производные функторы также контравариантны. Короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

превращается в длинную точную последовательность

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

Эти правые производные функторы равны нулю на проективных объектах и ​​поэтому вычисляются через проективные резольвенты.

Примеры [ править ]

• Если - абелева категория, то ее категория морфизмов также абелева. Функтор, отображающий каждый морфизм в его ядро, остается точным. Его правые производные функторы${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Двойственно функтор точен справа, а его производные слева функторы равны${\displaystyle \operatorname {coker} }$

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Это проявление леммы о змее .

Гомологии и когомологии [ править ]

Когомологии пучков [ править ]

Если это топологическое пространство , то категория всех пучков на абелевых групп на абелева категория с достаточным количеством инъективных. Функтор, который назначает каждому такому пучку группу глобальных секций, является точным слева, а правые производные функторы - это функторы когомологий пучка , обычно записываемые как . В более общем плане: если - пространство с кольцами , то категория всех пучков -модулей является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных, и мы снова можем построить когомологии пучков как правые производные функторы от функтора глобального сечения.${\displaystyle X}$${\displaystyle Sh(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Gamma :Sh(X)\to Ab}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Существуют различные понятия когомологий, которые являются частным случаем этого:

• Когомологии де Рама - это когомологии пучка пучка локально постояннозначных функций на многообразии . Комплекс Де Рама является разрешением этого пучка не инъективными пучками, а тонкими пучками .${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Этальные когомологии - еще одна теория когомологий пучков над схемой. Это правый производный функтор глобальных сечений абелевых пучков на этальном узле .

Функторы Ext [ править ]

Если - кольцо , то категория всех левых -модулей является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных. Если - фиксированный левый -модуль, то функтор точен слева, а его правые производные функторы - это функторы Ext . В качестве альтернативы также может быть получен как левый производный функтор правого точного функтора .${\displaystyle R}$ R {\displaystyle R} ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}}$

Различные понятия когомологий являются частными случаями функторов Ext и, следовательно, также производных функторов.

• Групповые когомологии - это правый производный функтор функтора инвариантов,который совпадает с(где- тривиальный-модуль) и, следовательно.${\displaystyle (-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k[G]}$${\displaystyle H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)}$

• Алгебра когомологии из алгебры Ли над некоторым коммутативным кольцомявляется правым производным функтором функтора инвариантовкоторые так жекак(гдеопятьтаки тривиальным-модуль иявляется универсальным обертывающим из). Следовательно.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)}$

• Когомологии Хохшильда некоторой -алгебры - это правый производный функтор инвариантов,отображающий бимодуль в его центр , также называемый его набором инвариантов,который совпадает с(где- обертывающая алгебраисчитается-бимодулем через обычные левый и правый умножение). Поэтому: k {\displaystyle k} ${\displaystyle A}$${\displaystyle (-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)}$${\displaystyle A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,A)}$${\displaystyle HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)}$

Функторы Tor [ править ]

В категории левых -модулей тоже достаточно проективов. Если - фиксированный правый -модуль, то тензорное произведение с дает точный правый ковариантный функтор ; Категория модулей имеет достаточно проективов, так что всегда существуют левые производные функторы. Левые производные функторы тензорного функтора являются функторами Tor . Эквивалентно могут быть определены симметрично как левые производные функторы . Фактически можно объединить оба определения и определить как левое производное от .${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to Ab}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)}$${\displaystyle -\otimes B}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)}$${\displaystyle -\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to Ab}$

Это включает в себя несколько понятий гомологии как частных случаев. Это часто отражает ситуацию с функторами и когомологиями Ext.

• Групповая гомология - это левая производная от коинвариантов,которая совпадает с.${\displaystyle (-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$${\displaystyle k\otimes _{k[G]}-}$

• Гомологии алгебры Ли - это левый производный функтор взятия коинвариантов,который совпадает с.${\displaystyle {\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]}$${\displaystyle k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-}$

• Гомологии Хохшильда - это левый производный функтор взятия коинвариантов,который совпадает с.${\displaystyle (A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]}$${\displaystyle A\otimes _{A^{e}}-}$

Вместо того, чтобы брать отдельные левые производные функторы, можно также взять тотальный производный функтор от тензорного функтора. Это приводит к производному тензорному произведению, где - производная категория .${\displaystyle -\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(Ab)}$${\displaystyle D}$

Естественность [ править ]

Производные функторы и длинные точные последовательности «естественны» в нескольких технических смыслах.

Во-первых, учитывая коммутативную диаграмму вида

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

(где строки являются точными), две результирующие длинные точные последовательности связаны коммутирующими квадратами:

Во- вторых, предположим , что η: F → G является естественным преобразованием из левого точного функтора F в левый точный функтор G . Тогда индуцируются естественные преобразования R ⁱ η: R ⁱ F → R ⁱ G , и действительно, R ⁱ становится функтором из категории функторов всех левых точных функторов из A в B в полную категорию функторов всех функторов из A в B.. Кроме того, этот функтор совместим с длинными точными последовательностями в следующем смысле: если

${\displaystyle 0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0}$

короткая точная последовательность, то коммутативная диаграмма

индуцируется.

Обе эти естественности следуют из естественности последовательности, обеспечиваемой леммой о змейке .

Наоборот, имеет место следующая характеризация производных функторов: задано семейство функторов R ⁱ : A → B , удовлетворяющее вышеуказанному, т. Е. Отображение коротких точных последовательностей в длинные точные последовательности, так что для каждого инъективного объекта I из A , R ⁱ ( I ) = 0 для любого положительного i , то эти функторы являются правыми производными функторами R ⁰ .

Обобщение [ править ]

Более современный (и более общий) подход к производным функторам использует язык производных категорий .

В 1968 году Куиллен разработал теорию модельных структур на категории, которая дает абстрактную теоретико-категориальную систему расслоений, кофибраций и слабых эквивалентностей. Обычно интересует лежащая в основе гомотопическая категория, полученная путем локализации против слабых эквивалентностей. Квиллен примыкание является примыканием между типовыми категориями , которая спускается к примыканию между категориями гомотопича. Например, категория топологических пространств и категория симплициальных множеств допускают модельные структуры Квиллена, нерв и реализация которыхприсоединение дает присоединение Квиллена, которое фактически является эквивалентностью гомотопических категорий. Конкретные объекты в модельной структуре имеют «хорошие свойства» (относительно существования подъемов против определенных морфизмов), «фибрантные» и «кофибрантные» объекты, и каждый объект слабо эквивалентен фибрант-кофибрантному «разрешению».

Первоначально разработанные для работы с категорией топологических пространств, модельные структуры Квиллена появляются во многих местах математики; в частности, категория цепных комплексов из любой абелевой категории (модули, пучки модулей на топологическом пространстве или схемеи т. д.) допускают модельную структуру, слабыми эквивалентностями которой являются морфизмы между цепными комплексами, сохраняющие гомологии. Часто у нас есть функтор между двумя такими модельными категориями (например, функтор глобальных секций, отправляющий комплекс абелевых пучков в очевидный комплекс абелевых групп), который сохраняет слабые эквивалентности * в подкатегории «хороших» (фибрантных или кофибрантных) объектов *. Взяв сначала фибрантную или кофибрантную резольвенту объекта, а затем применив этот функтор, мы успешно расширили его на всю категорию таким образом, что слабые эквивалентности всегда сохраняются (и, следовательно, он спускается до функтора из гомотопической категории). Это «производный функтор». «Производные функторы» когомологий пучков, например, являются гомологиями выхода этого производного функтора.Применяя их к пучку абелевых групп, очевидным образом интерпретируемых как комплекс, сосредоточенный в гомологиях, они измеряют неспособность функтора глобальных сечений сохранять слабые эквивалентности таких групп, его несоблюдение «точности». Общая теория модельных структур показывает уникальность этой конструкции (то, что она не зависит от выбора фибрантного или кофибрантного разрешения и т. Д.).

Ссылки [ править ]

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей I. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .