В гомологической алгебре , A δ-функтор между двумя абелевыми категориями A и B представляет собой набор функторов от А до B вместе с набором морфизмов , удовлетворяющих свойства обобщающих те из производных функторов . Универсальный δ-функтор является δ-функтором , удовлетворяющий определенным универсального свойство , связанным с простирающимся морфизмам за «степенью 0». Эти понятия были введены Александром Гротендиком в его « статье Тохоку », чтобы обеспечить подходящую настройку для производных функторов. [1] В частности, производные функторы являются универсальными δ-функторами.
Термины гомологический δ-функтор и когомологический δ-функтор иногда используются для различения случая, когда морфизмы «спускаются» ( гомологические ), и случая, когда они «поднимаются» ( когомологические ). В частности, один из этих модификаторов всегда неявный, хотя часто не указывается.
Определение [ править ]
Учитывая две абелевы категорий и B ковариантного Когомологической δ-функтор между A и B представляет собой семейство { Т п } из ковариантных аддитивных функторов Т н : → B проиндексированы по неотрицательным целым числам , и для каждой короткой точной последовательности
семейство морфизмов
проиндексированы неотрицательными целыми числами, удовлетворяющими следующим двум свойствам:
1. Для каждой короткой точной последовательности, как указано выше, существует длинная точная последовательность.
2. Для каждого морфизма коротких точных последовательностей
и для каждого неотрицательного n индуцированный квадрат
коммутативна (δ n вверху соответствует короткой точной последовательности M , тогда как значение внизу соответствует короткой точной последовательности N ).
Второе свойство выражает функториальность δ-функтора. Модификатор «Когомологическая» указывает на то, что δ п поднять индекс на T . Ковариантный гомологической δ-функтор между A и B определяется аналогичным образом (и обычно использует индексы), но с б п морфизм Т п ( М «») → T п-1 ( М» ). Понятия контравариантного когомологического δ-функтора между A и B и контравариантного гомологического δ-функтора между A и B также может быть определено соответствующим «обращением стрелок».
Морфизмы δ-функторов [ править ]
Морфизм б-функторы представляет собой семейство природных преобразований , что для каждой короткой точной последовательности, коммутирует с морфизмами d. Например, в случае двух ковариантных когомологических δ-функторов, обозначенных S и T , морфизм из S в T - это семейство естественных преобразований F n : S n → T n, такое что для любой короткой точной последовательности
следующая диаграмма коммутирует:
Универсальный δ-функтор [ править ]
Универсальный δ-функтор характеризуется ( универсальной ) свойством , что дает морфизм из него в любой другой б-функтор (между А и B ) эквивалентно давая только F 0 . Если S обозначает ковариантный когомологический δ-функтор между A и B , то S универсален, если задан любой другой (ковариантный когомологический) δ-функтор T (между A и B ) и задано любое естественное преобразование
существует единственная последовательность F n, пронумерованная натуральными числами, такая, что семейство { F n } n ≥ 0 является морфизмом δ-функторов.
См. Также [ править ]
Примечания [ править ]
Ссылки [ править ]
- Гротендик, Александр (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2–3), MR 0102537
- Раздел XX.7 Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (исправленное третье издание), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001
- Раздел 2.1 Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту 1269324 . OCLC 36131259 .
