Лемма о расщеплении

В математике , и более конкретно в гомологической алгебре , лемма о расщеплении утверждает, что в любой абелевой категории следующие утверждения эквивалентны для короткой точной последовательности ${\ displaystyle 0 \ longrightarrow A {\ overset {q} {\ longrightarrow}} B {\ overset {r} {\ longrightarrow}} C \ longrightarrow 0.}$

Левый раскол
Существует морфизм $t : B \to A$ такой, что $tq$ - единица на $A$ , $id A$ ,
Правый шпагат
Существует морфизм $u : C \to B$ такой, что $ru$ - единица на $C$ , $id C$ ,
Прямая сумма
Существует изоморфизм $ч$ от $B$ к прямой сумме от $А$ и $С$ , так что $HQ$ является естественным мономорфизм $А$ в прямой сумме, а является естественной проекцией прямой суммы на $C$ . ${\ displaystyle rh ^ {- 1}}$

Если эти утверждения верны, последовательность называется последовательностью с точным разделением , а последовательность называется разделенной .

В приведенной выше короткой точной последовательности, где последовательность разбивается, это позволяет уточнить первую теорему об изоморфизме , которая гласит, что:

С ≅ Б / кег г ≅ Б / д ( )

(т.е.

С

изоморфна кообразом из

г

или коядром от

д

)

к:

B = q (A) \oplus u (C) ≅ A \oplus C

где первая теорема изоморфизм , то просто проекция на $C$ .

Это категорическое обобщение теоремы о ранге – нуле (в виде $V ≅ ker T \oplus im T)$ в линейной алгебре .

Доказательство для категории абелевых групп [ править ]

$3. \Rightarrow 1.$ и $3. \Rightarrow 2.$ [ редактировать ]

Во-первых, чтобы показать, что 3. влечет как 1., так и 2. Мы предполагаем 3. и берем в качестве $t$ естественную проекцию прямой суммы на $A$ , а в качестве $u$ - естественное вложение $C$ в прямую сумму.

$1. \Rightarrow 3.$ [ править ]

Чтобы доказать, что из 1. следует 3., сначала заметим, что любой член B принадлежит множеству ( $ker t + im q$ ). Это следует из того, что для всех $b$ в $B$ , $b = (b - qt (b)) + qt (b)$ ; $qt (b)$ , очевидно, принадлежит $im q$ , а $b - qt (b)$ принадлежит $ker t$ , поскольку

t (b - qt (b)) = t (b) - tqt (b) = t (b) - (tq) t (b) = t (b) - t (b) = 0.

Далее, пересечение $im q$ и $ker t$ равно 0, поскольку если существует $a$ в $A$ такое, что $q (a) = b$ и $t (b) = 0$ , то $0 = tq (a) = a$ ; а значит, $b = 0$ .

Это доказывает, что $B$ является прямой суммой $im q$ и $ker t$ . Итак, для всех $b$ в $B$ , $b$ можно однозначно идентифицировать некоторыми $a$ в $A$ , $k$ в $ker t$ , такими, что $b = q (a) + k$ .

По точности $ker r = im q$ . Подпоследовательности $В ⟶ С ⟶ 0$ означает , что $г$ находится на; поэтому для любого $c$ в $C$ существует такое $b = q (a) + k$ , что $c = r (b) = r (q (a) + k) = r (k)$ . Следовательно, для любого c из C существует kв кег т таким образом, что с = г ( к ) и г (кег т ) = C .

Если $r (k) = 0$ , то $k$ находится в $im q$ ; так как пересечение $im q$ и $ker t = 0$ , то $k = 0$ . Следовательно, ограничение морфизма $r : ker t \to C$ является изоморфизмом; и $кег т$ изоморфна $С$ .

Наконец, $im q$ изоморфен $A в$ силу точности $0 ⟶ A ⟶ B$ ; поэтому B изоморфен прямой сумме $A$ и $C$ , что доказывает (3).

$2. \Rightarrow 3.$ [ редактировать ]

Чтобы показать, что из 2. следует 3., мы рассуждаем аналогично. Любой член $B$ принадлежит множеству $ker r + im u$ ; поскольку для всех $b$ в $B$ , $b = (b - ur (b)) + ur (b)$ , который находится в $ker r + im u$ . Пересечение $ker r$ и $im u$ равно $0$ , так как если $r (b) = 0$ и $u (c) = b$ , то $0 = ru (c) = c$ .

По точности $im q = ker r$ , а поскольку $q$ - инъекция, $im q$ изоморфен $A$ , поэтому $A$ изоморфен $ker r$ . Так как $RU$ биекция, $у$ является инъекция, и , таким образом , $им у$ изоморфен $С$ . Таким образом , $B$ снова прямая сумма $А$ и $С$ .

Альтернативное « абстрактное бессмысленное » доказательство леммы о расщеплении может быть сформулировано полностью в терминах теории категорий.

Неабелевы группы [ править ]

В изложенной здесь форме лемма о расщеплении не верна в полной категории групп , которая не является абелевой категорией.

Частично верно [ править ]

Это частично верно: если короткая точная последовательность групп разбита слева или является прямой суммой (1. или 3.), то все условия выполняются. Для прямой суммы это ясно, поскольку можно вводить или проецировать слагаемые. Для левой расщепленной последовательности отображение $t \times r: B \to A \times C$ дает изоморфизм, поэтому $B$ является прямой суммой (3.), и, таким образом, обращение изоморфизма и композиция с естественным вложением $C \to A \times C$ дает инъекция $C \to B$ расщепление $r$ (2.).

Однако, если короткая точная последовательность групп является правым разбиением (2.), тогда она не должна быть разбита слева или прямой суммой (ни 1., ни 3. не следует): проблема в том, что изображение правого разбиения не обязательно быть нормальным. Что верно в данном случае, так это то, что $B$ является полупрямым продуктом , хотя в целом не является прямым продуктом.

Контрпример [ править ]

Чтобы составить контрпример, возьмем наименьшую неабелеву группу $B ≅ S 3$ , симметрическую группу из трех букв. Пусть $A$ обозначает знакопеременную подгруппу, и пусть $C = B / A ≅ {\pm 1$ }. Пусть $q$ и $r$ обозначают отображение включения и отображение знака соответственно, так что

0\longrightarrow A{\stackrel {q}{\longrightarrow }}B{\stackrel {r}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0

это короткая точная последовательность. 3. терпит неудачу, потому что $S 3$ не абелева. Но 2. выполняется: мы можем определить $u : C \to B$ , отображая генератор на любой двухцикл. Обратите внимание на полноту, что 1. не выполняется: любое отображение $t : B \to A$ должно отображать каждый два цикла в единицу, потому что отображение должно быть групповым гомоморфизмом , в то время как порядок двух циклов равен 2, который не может быть разделен на порядок элементов в A, отличный от единичного элемента, который равен 3, поскольку $A$ является альтернативной подгруппой в $S 3$ , а именно циклической группой порядка 3. Но каждая перестановка является продуктом двух циклов, поэтому $t$ - тривиальное отображение, поэтому $tq : A \to A$ - тривиальное отображение, а не тождественное.

Ссылки [ править ]

Сондерс Мак Лейн : Гомология . Перепечатка издания 1975 года, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8 , p. 16
Аллен Хэтчер : алгебраическая топология . 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 , стр. 147