Род (математика)

Поверхность рода 2

В математике , род (множественное число родов ) имеет несколько различных, но тесно связаны между собой , значения. Наиболее распространенное понятие - род ( ориентируемой ) поверхности - это количество «дырок», которые у нее есть, так что сфера имеет род 0, а тор - род 1.

Топология [ править ]

Ориентируемые поверхности [ править ]

Чашка кофе и пончик, показанные на этой анимации, имеют первый род.

Род из подключенной , ориентируемой поверхности представляет собой целое число , представляющее максимальное количество черенков вдоль непересекающихся замкнутых простых кривых без рендеринга результирующего коллектора отключены. ^[1] Равно количеству ручек на нем. В качестве альтернативы его можно определить в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ  = 2–2 g для замкнутых поверхностей , где g - род. Для поверхностей с b граничными компонентами уравнение имеет вид χ= 2 - 2 г  -  б . С точки зрения непрофессионала, это количество «дырок» в объекте («дырки» интерпретируются как дырки от бублика; в этом смысле полая сфера будет считаться не имеющей дыр). Пончик или тор имеет 1 такое отверстие, а сфера - 0. На зеленой поверхности, изображенной выше, есть 2 отверстия соответствующего типа.

Например:

• Сфера S ² и диска оба имеет рода нуль.
• Тор имеет род один, как это делает поверхность кружка кофе с ручкой. Отсюда шутка «топологи - это люди, которые не могут отличить пончик от кофейной кружки».

Явное построение поверхностей рода g дается в статье о фундаментальном многоугольнике .

• Род ориентируемых поверхностей
• 

  род 0

• 

  род 1

• 

  род 2

• 

  род 3

Проще говоря, ценность рода ориентируемой поверхности равна количеству "дырок", которые она имеет. ^[2]

Неориентируемые поверхности [ править ]

В неориентируемом роде , demigenus или Эйлер род связной, неориентируемой замкнутой поверхности является положительным целым числом , представляющее количество поперечных крышек , прикрепленных к сфере . В качестве альтернативы, это может быть определено для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ с помощью соотношения χ = 2 - k , где k - неориентируемый род.

Например:

• Вещественная проективная плоскость имеет неориентируемого род один.
• Бутылка Клейна имеет неориентируемой род два.

Узел [ править ]

Родом из узла K определяются как минимальный родом все Seifert поверхностей для K . ^[3] Поверхность Зейферта узла, однако, является многообразием с краем , причем граница является узлом, т.е. гомеоморфна единичной окружности. Род такой поверхности определяется как род двумерного многообразия, которое получается склейкой единичного круга по границе.

Ручка [ править ]

В роде из 3-мерного кренделя представляет собой целое число , представляющее максимальное количество черенков вдоль вложенных дисков без рендеринга результирующего коллектора отключен. Он равен количеству ручек на нем.

Например:

• У шара нулевой род.
• Полный тор D ² × S ¹ имеет род один.

Теория графов [ править ]

Родом из графа есть минимальное целое число п такая , что граф можно сделать , не пересекая себя на сфере с п ручками (т.е. ориентированной поверхности рода п ). Таким образом, планарный граф имеет род 0, потому что его можно нарисовать на сфере без самопересечения.

В неориентируемом роде из в графе есть минимальное целое число п такая , что граф можно сделать , не пересекая себя на сфере с п поперечных колпачков (т.е. неориентируемая поверхность (неориентируемом) родом п ). (Это число также называют полукругом .)

Род Эйлера - это минимальное целое число n такое, что граф можно нарисовать, не пересекая самого себя, на сфере с n перекрестными заглавными буквами или на сфере с n / 2 ручками. ^[4]

В топологической теории графов существует несколько определений рода группы . Артур Т. Уайт ввел следующую концепцию. Родом группы G является минимальным родом (связным) неориентированного графа Кэлей для G .

Проблема рода графов является NP-полной . ^[5]

Алгебраическая геометрия [ править ]

Есть два связанных определения рода любой проективной алгебраической схемы X : арифметический род и геометрический род . ^[6] Когда Х представляет собой алгебраическую кривую с полем определения в комплексных чисел , и если Х не имеет особых точек , то эти определения соглашаются и совпадают с топологическим определением применительно к римановой поверхности из X (ее многообразия комплексных точек). Например, определение эллиптической кривой изалгебраическая геометрия - это связная неособая проективная кривая рода 1 с данной рациональной точкой на ней .

По теореме Римана-Роха неприводимая плоская кривая степени, заданной исчезающим множеством сечения, имеет геометрический род${\ displaystyle d}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}$

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

где s - количество особенностей при правильном подсчете.

Биология [ править ]

Род можно также вычислить для графика, охватываемого сетью химических взаимодействий в нуклеиновых кислотах или белках. В частности, можно изучать рост рода по цепи. Такая функция (называемая следом рода) показывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул. ^[7]

См. Также [ править ]

• Группа (математика)
• Арифметический род
• Геометрический род
• Род мультипликативной последовательности
• Род квадратичной формы
• Род Spinor

Ссылки [ править ]