Точный функтор

В математике , особенно в гомологической алгебре , точный функтор - это функтор, который сохраняет короткие точные последовательности . Точные функторы удобны для алгебраических вычислений, потому что их можно напрямую применять к представлениям объектов. Большая часть работы в гомологической алгебре предназначена для работы с функторами, которые не могут быть точными, но которые все еще можно контролировать.

Определения [ править ]

Пусть P и Q - абелевы категории , и пусть F : P → Q - ковариантный аддитивный функтор (так что, в частности, F (0) = 0 ). Мы говорим, что F - точный функтор, если в любом случае

{\ displaystyle 0 \ to A {\ stackrel {f} {\ to}} B {\ stackrel {g} {\ to}} C \ to 0}

является короткая точная последовательность в P , то

{\ Displaystyle 0 \ к F (A) {\ stackrel {F (f)} {\ to}} F (B) {\ stackrel {F (g)} {\ to}} F (C) \ to 0}

является короткой точной последовательностью в Q . (Карты часто опускаются и подразумеваются, и говорят: «если 0 → A → B → C → 0 точно, то 0 → F (A) → F (B) → F (C) → 0 также точно» .)

Далее, мы говорим, что F является

точно слева, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то 0 → F (A) → F (B) → F (C) точно;
точно вправо, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то F (A) → F (B) → F (C) → 0 точно;
наполовину точный, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 является точным, то F (A) → F (B) → F (C) является точным. Это отличается от понятия топологического полуточного функтора .

Если G - контравариантный аддитивный функтор из P в Q , мы аналогичным образом определяем G как

точным, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то 0 → G (C) → G (B) → G (A) → 0 точно;
точно слева, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то 0 → G (C) → G (B) → G (A) точно;
точно справа, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 является точным, то G (C) → G (B) → G (A) → 0 является точным;
наполовину точный, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точное, то G (C) → G (B) → G (A) является точным.

Не всегда необходимо начинать с короткой точной последовательности 0 → A → B → C → 0, чтобы сохранить некоторую точность. Следующие определения эквивалентны приведенным выше:

F является точным тогда и только тогда, когда A → B → C точный влечет F (A) → F (B) → F (C) точный;
F является точным слева тогда и только тогда, когда 0 → A → B → C точный влечет 0 → F (A) → F (B) → F (C) точный (т.е. если « F превращает ядра в ядра»);
F является точным справа тогда и только тогда, когда A → B → C → 0 точный влечет F (A) → F (B) → F (C) → 0 точный (т.е. если « F превращает коядра в коядра»);
G является точен слева тогда и только тогда , когда → B → C → 0 точный означает 0 → G (C) → G (B) → G (A) точно (т.е. если " G оказывается коядра в ядрах");
G является правым точным тогда и только тогда , когда 0 → → B → C точном означает G (C) → G (B) → G (A) → 0 точного (т.е. если " G превращает ядра Into коядер").

Примеры [ править ]

Всякая эквивалентность или двойственность абелевых категорий точна.

Самыми основными примерами точных слева функторов являются функторы Hom: если A - абелева категория и A - объект из A , то F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) определяет ковариантный точный слева функтор из A в категории Ab из абелевых групп . ^[1] Функтор F точно тогда и только тогда , когда является проективным . ^[2] Функтор G _A ( X ) = Hom _A( X , A ) - контравариантный точный слева функтор; ^[3] точно тогда и только тогда , когда является инъективны . ^[4]

Если k - поле, а V - векторное пространство над k , мы пишем V * = Hom _k ( V , k ) (это обычно называется двойственным пространством ). Это дает контравариантный точный функтор из категории k -векторных пространств в себя. (Точность следует из вышеизложенного: k - инъективный k -модуль. В качестве альтернативы можно утверждать, что каждая короткая точная последовательность k- векторных пространств расщепляется , и любой аддитивный функтор превращает расщепленные последовательности в расщепляемые последовательности.)

Если X является топологическим пространством , мы можем рассмотреть абелеву категорию всех пучков абелевых групп на X . Ковариантный функтор, который ставит в соответствие каждому пучку F группу глобальных сечений F ( X ), точен слева.

Если R представляет собой кольцо и Т является правым R - модуль , мы можем определить функтор H _T из абелевой категории всех левых R - модулей к Ab , используя тензорное произведение над R : H _T ( X ) = T ⊗ X . Это ковариантный точный справа функтор; это точно , если и только если Т является плоским . Другими словами, если дана точная последовательность A → B → C →0 левых R модулей последовательность абелевых групп T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 точна.

Например, плоский -модуль. Следовательно, тензорирование с as a -модулем является точным функтором. Доказательство. Достаточно показать, что если i - инъективное отображение -модулей , то соответствующее отображение между тензорными произведениями инъективно. Можно показать, что тогда и только тогда, когда - элемент кручения или . У данных тензорных произведений есть только чистые тензоры. Поэтому достаточно показать, что если в ядре есть чистый тензор , то он равен нулю. Предположим, что это ненулевой элемент ядра. Тогда - кручение. Поскольку инъективно, это кручение. Следовательно, противоречие. Следовательно, $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $i:M\to N$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ $m\otimes q=0$ $m$ $q=0$ $m\otimes q$ $m\otimes q$ $i(m)$ $i$ $m$ $m\otimes q=0$ $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ также инъективен.

В общем, если T не является плоским, то тензорное произведение не остается точным. Например, рассмотрим короткую точную последовательность -модулей . Тензорное выполнение с помощью дает последовательность, которая больше не является точной, поскольку она не свободна от кручения и, следовательно, не является плоской. $\mathbf {Z}$ $5\mathbf {Z} \;\;{\hookrightarrow }\;\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ $\mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$

Если A - абелева категория, а C - произвольная малая категория , мы можем рассматривать категорию функторов A ^C, состоящую из всех функторов из C в A ; это абелева. Если X является данным объектом С , то мы получим функтор Х _X от A ^C к A по оценке функторов на X . Этот функтор E _X точен.

Хотя тензор не может быть точным слева, можно показать, что тензор является точным справа функтором:

Теорема: Пусть A, B, C и P - R- модули для коммутативного кольца R, имеющего мультипликативную единицу. Позволять $A{\stackrel {f}{\to }}B{\stackrel {g}{\to }}C\to 0$

быть короткая точная последовательность из R модулей, то

A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0

также короткая точная последовательность из R модулей. (Поскольку R коммутативно, эта последовательность является последовательностью модулей R, а не просто абелевых групп). Здесь мы определяем: .

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

Отсюда можно сделать полезное следствие: если I - идеал в R, а P такой же, как указано выше, то $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$

Доказательство:: , где f - включение, а g - проекция, является точной последовательностью R модулей. В силу сказанного выше мы получаем , что: также короткая точная последовательность из R модулей. По точности, поскольку f - включение. Теперь рассмотрим гомоморфизм модулей R из заданного R, линейно расширяющего отображение, заданное на чистых тензорах: влечет это . Итак, ядро этого отображения не может содержать никаких ненулевых чистых тензоров. состоит только из чистых тензоров: For . Итак, эта карта инъективна. Это явно на. Так, . По аналогии, $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$ $I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0$ $R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)$ $R\otimes _{R}P\rightarrow P$ $r\otimes p\mapsto rp.rp=0$ $0=rp\otimes 1=r\otimes p$ $R\otimes _{R}P$ $x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})$ $R\otimes _{R}P\cong P$ $I\otimes _{R}P\cong IP$ . Следствие доказано.

В качестве другого приложения мы покажем, что для, где и n - наибольшая степень двойки, делящей m . Докажем частный случай: m = 12 . $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ $k=m/2^{n}$

Доказательство. Рассмотрим чистый тензор . Также для . Это показывает это . Пусть , A, B, C, P являются модулями R = Z посредством обычного действия умножения и удовлетворяют условиям основной теоремы. По точности, вытекающей из теоремы, и из упомянутого выше замечания мы получаем это . Последнее сравнение следует из рассуждений, аналогичных рассуждению в доказательстве следствия, показывающего это . $(12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})$ $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ $(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)$ $P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z}$ $:\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P$ $I\otimes _{R}P\cong IP$

Свойства и теоремы [ править ]

Функтор точен тогда и только тогда, когда он точен как слева, так и справа.

Ковариантный (не обязательно аддитивный) функтор остается точным тогда и только тогда, когда он превращает конечные пределы в пределы; ковариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в копределы; контравариантный функтор остается точным тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в пределы; Контравариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он превращает конечные пределы в копределы.

Степень, в которой точный левый функтор не может быть точным, может быть измерена с помощью его правых производных функторов ; степень, в которой точный правый функтор не может быть точным, может быть измерена с помощью его левых производных функторов .

Левый и правый функторы вездесущи в основном из следующего факта: если функтор F является левым сопряженным к G , то F является точным справа и G остается точным.

Обобщения [ править ]

В SGA4 , том I, раздел 1, понятие левых (правых) точных функторов определено для общих категорий, а не только для абелевых. Определение следующее:

Пусть C - категория с конечными проективными (соответственно индуктивными) пределами . Тогда функтор из C в другую категорию C ′ точен слева (соответственно справа), если он коммутирует с конечными проективными (соответственно индуктивными) пределами.

Несмотря на свою абстракцию, это общее определение имеет полезные последствия. Например, в разделе 1.8, Гротендик доказывает , что функтор про представим тогда и только тогда , когда он остается точным, в некоторых мягких условиях на категорию C .

Точные функторы между точными категориями Квиллена обобщают точные функторы между абелевыми категориями, обсуждаемыми здесь.

Регулярные функторы между регулярными категориями иногда называют точными функторами и обобщают обсуждаемые здесь точные функторы.

Заметки [ править ]

^ Якобсон (2009), стр. 98, теорема 3.1.
^ Якобсон (2009), стр. 149, Предложение 3.9.
^ Якобсон (2009), стр. 99, теорема 3.1.
^ Якобсон (2009), стр. 156.

Ссылки [ править ]

Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.

[1] Якобсон (2009), стр. 98, теорема 3.1.

[2] Якобсон (2009), стр. 149, Предложение 3.9.

[3] Якобсон (2009), стр. 99, теорема 3.1.

[4] Якобсон (2009), стр. 156.

[1]