Подвеска (топология)

В топологии , ветвь математики , то подвеска из топологического пространства X интуитивно получается путем растяжения X в цилиндр , а затем разрушаются оба торцевых поверхностей к точкам. Один рассматривает X как «подвешенный» между этими конечными точками.

Пространство SX иногда называют неприведенную , unbased или свободную подвеску из X , чтобы отличить его от пониженной подвески Σ X в А заостренные пространство описано ниже.

Уменьшена суспензия может быть использована для построения гомоморфизма из гомотопических групп , к которым теорема подвеска Фройденталь применяется. В теории гомотопии явления, которые сохраняются в подвешенном состоянии, в подходящем смысле составляют стабильную теорию гомотопии .

Подвес по кругу . Исходное пространство выделено синим цветом, а свернутые конечные точки - зеленым.

Определение и свойства приостановки [ править ]

Для топологического пространства X надстройка X определяется как

${\displaystyle SX=(X\times I)/\sim }$

фактор - пространство от продукта из X с единичным интервалом I = [0, 1] по модулю отношения эквивалентности , порожденное ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle (x_{1},0)\sim (x_{2},0){\mbox{ and }}(x_{1},1)\sim (x_{2},1){\mbox{ for all }}x_{1},x_{2}\in X.}$

Подвес можно рассматривать как два конуса на X, склеенных вместе у их основания; он также гомеоморфно к присоединиться , где это дискретное пространство с двумя точками.${\displaystyle X\star S^{0},}$${\displaystyle S^{0}}$

Грубо говоря, S увеличивает размерность пространства на единицу: она превращает n - сферу в ( n + 1) - сферу при n ≥ 0.

Для данной непрерывной карты существует непрерывная карта, определяемая тем, где квадратные скобки обозначают классы эквивалентности . Это превращается в функтор из категории топологических пространств в себя. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y,}$${\displaystyle Sf:SX\rightarrow SY}$${\displaystyle Sf([x,t]):=[f(x),t],}$${\displaystyle S}$

Сниженная блокировка [ править ]

Если X - заостренное пространство с базовой точкой x ₀ , существует вариант подвески, который иногда бывает более полезным. Приведенная подвеска или базовая подвеска Σ X пространства X является фактор-пространством:

${\displaystyle \Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)}$.

Это эквивалентно взятию SX и свертыванию линии ( x ₀ × I  ), соединяющей два конца в одну точку. Базовая точка отмеченного пространства Σ X считается классом эквивалентности ( x ₀ , 0).

Можно показать , что приведенная суспензию X гомеоморфно разбивал продукт из X с единичной окружностью ˙s ¹ .

${\displaystyle \Sigma X\cong S^{1}\wedge X}$

Для хорошо себя пространств, таких как CW комплексов , приведенная суспензия X является гомотопически эквивалентно к unbased суспензии.

Сочетание функторов сокращенной приостановки и пространства цикла [ править ]

Σ порождает функтор из категории отмеченных пространств в себя. Важным свойством этого функтора является то, что он сопряжен слева с функтором, переводящим отмеченное пространство в свое пространство цикла . Другими словами, мы имеем естественный изоморфизм${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}\left(\Sigma X,Y\right)\cong \operatorname {Maps} _{*}\left(X,\Omega Y\right)}$

где и - отмеченные пространства, а обозначает непрерывные отображения, сохраняющие базовые точки. Это присоединение можно понять геометрически следующим образом: возникает, если заостренный круг присоединен к каждой не базовой точке , а базовые точки всех этих кругов идентифицированы и приклеены к базовой точке . Теперь, чтобы указать заостренную карту от до , нам нужно дать заостренные карты от каждого из этих заостренных кругов до . Это означает, что нам нужно связать каждый элемент цикла в (элемент пространства цикла ), и тривиальный цикл должен быть связан с базовой точкой : это точечная карта от до${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}}$${\displaystyle \Sigma X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Omega Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega Y}$. (Необходимо проверить целостность всех задействованных карт.)

Присоединение, таким образом, похоже на каррирование , преобразование карт декартовых произведений в каррированную форму, и является примером двойственности Экмана – Хилтона .

Эта добавка - частный случай присоединения, описанного в статье о продуктах массового уничтожения .

Desuspension [ править ]

Отпускание - это операция, частично обратная приостановке. ^[1]

См. Также [ править ]

• Конус (топология)
• Присоединиться (топология)

Ссылки [ править ]

• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0  
• Эта статья включает материал из Suspension on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .