Теория стабильной гомотопии

В математике , стабильная гомотопическая теория представляет собой ту часть теории гомотопий (и , таким образом , алгебраической топологии ) со всеми заинтересованными структуры и явлений , которые остаются после того, как достаточно много применений подвески функтора . Основополагающим результатом была теорема Фрейденталя о подвешивании , которая утверждает, что для любого точечного пространства гомотопические группы стабилизируются для достаточно больших. В частности, гомотопические группы сфер стабилизируются при . Например,${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ пи _ {п + к} (\ Sigma ^ {п} X)}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ пи _ {п + к} (S ^ {п})}$${\ Displaystyle п \ geq k + 2}$

${\ displaystyle \ langle {\ text {id}} _ {S ^ {1}} \ rangle = \ mathbb {Z} = \ pi _ {1} (S ^ {1}) \ cong \ pi _ {2} (S ^ {2}) \ cong \ pi _ {3} (S ^ {3}) \ cong \ cdots}$

${\ displaystyle \ langle \ eta \ rangle = \ mathbb {Z} = \ pi _ {3} (S ^ {2}) \ to \ pi _ {4} (S ^ {3}) \ cong \ pi _ { 5} (S ^ {4}) \ cong \ cdots}$

В двух приведенных выше примерах все отображения между гомотопическими группами являются приложениями функтора надстройки . Первый пример - стандартное следствие теоремы Гуревича , что . Во втором примере отображение Хопфа , , отображается на его подвеске , который генерирует .${\ displaystyle \ pi _ {n} (S ^ {n}) \ cong \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ Sigma \ eta}$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$

Одна из важнейших проблем теории стабильных гомотопий - вычисление стабильных гомотопических групп сфер . Согласно теореме Фрейденталя, в стабильном диапазоне гомотопические группы сфер зависят не от конкретных размеров сфер в области и мишени, а от разницы в этих размерах. Имея это в виду, k -я стабильная основа

${\displaystyle \pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}$.

Это абелева группа для всех k . По теореме Жан-Пьера Серра ^[1] эти группы конечны для . Фактически композиция превращается в ступенчатое кольцо. Теорема Горо Нисиды ^[2] утверждает, что все элементы положительной градуировки в этом кольце нильпотентны. Таким образом, единственными простыми идеалами являются простые числа в . Так что структура довольно сложная.${\displaystyle k\neq 0}$${\displaystyle \pi _{*}^{S}}$${\displaystyle \pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi _{*}^{s}}$

В современной трактовке теории стабильной гомотопии пространства обычно заменяются спектрами . Следуя этой мысли, можно создать целую стабильную гомотопическую категорию . Эта категория имеет много хороших свойств, которых нет в (нестабильной) гомотопической категории пространств, что следует из того факта, что функтор надстройки становится обратимым. Так , например, понятие последовательности корасслоения и последовательности расслоения эквивалентны.

См. Также [ править ]

• Фильтрация Адамса
• Спектральная последовательность Адамса
• Теория хроматической гомотопии
• Эквивариантная стабильная теория гомотопий
• Теорема о нильпотентности

Ссылки [ править ]

• Адамс, Дж. Франк (1966), Стабильная теория гомотопий , Второе исправленное издание. Лекции, прочитанные в Калифорнийском университете в Беркли, 1961 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0196742 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Мэй, Дж. Питер (1999), «Стабильная алгебраическая топология, 1945–1966» (PDF) , Стабильная алгебраическая топология, 1945–1966 , Амстердам: Северная Голландия, стр. 665–723, CiteSeerX  10.1.1.30.6299 , DOI : 10.1016 / B978-044482375-5 / 50025-0 , ISBN 9780444823755, MR  1721119
• Равенел, Дуглас С. (1992), Нильпотентность и периодичность в стабильной теории гомотопий , Анналы математических исследований, 128 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-02572-8, MR  1192553 CS1 maint: discouraged parameter (link)