В алгебраической топологии , ветвь математики , спектр является объектом , представляющий собой обобщенную теорию когомологий (что следует из теоремы Брауна представимости ). Это означает, что с учетом теории когомологий
Есть места такие, что оценка теории когомологий в степени на пространстве эквивалентно вычислению гомотопических классов отображений в пространство , это
Обратите внимание, что существует несколько различных категорий спектров, приводящих к множеству технических трудностей [1], но все они определяют одну и ту же гомотопическую категорию , известную как стабильная гомотопическая категория . Это один из ключевых моментов для введения спектров, потому что они образуют естественный дом для устойчивой теории гомотопий.
Определение спектра
Есть много вариантов определения: в общем, спектр - это любая последовательность. точечных топологических пространств или точечных симплициальных множеств вместе со структурными отображениями дающие гомотопические эквивалентности.
Лечение здесь принадлежит Фрэнку Адамсу (1974): спектр (или CW-спектр) - это последовательностьиз CW комплексов вместе с включениямииз суспензии как подкомплекс .
Для других определений см симметричный спектр и симплициальный спектр .
Гомотопические группы спектра
Одним из важнейших инвариантов спектров являются гомотопические группы спектра. Эти группы отражают определение стабильных гомотопических групп пространств, поскольку структура отображений надстройки является целостной по своему определению. Учитывая спектр определить гомотопическую группу как копредел
где карты индуцированы из композиции карты подвеса
и структурная карта
Спектр называется связным, если егоравны нулю при отрицательном k .
Примеры
Спектр Эйленберга – Маклейна.
Рассмотрим особые когомологии с коэффициентами в абелевой группе . Для комплекса CW , группа можно отождествить с множеством гомотопических классов отображений из к , пространство Эйленберга – Маклейна с гомотопией, сосредоточенной по степени. Мы пишем это как
Тогда соответствующий спектр имеет -й пробел ; он называется спектром Эйленберга – Маклейна . Обратите внимание, эту конструкцию можно использовать для встраивания любого кольца.в разряд спектров. Это вложение составляет основу используемой спектральной геометрии как модели производной алгебраической геометрии . Одним из важных свойств этого вложения являются изоморфизмы
отображение категории спектров отслеживает производную информацию о коммутативных кольцах, где произведение разбиения действует как производное тензорное произведение . Более того, спектр Эйленберга – Маклейна можно использовать для определения теорий, таких как топологические гомологии Хохшильда для коммутативных колец, что дает более тонкую теорию классических гомологий Хохшильда.
Топологическая комплексная K-теория
В качестве второго важного примера рассмотрим топологическую K-теорию . По крайней мере, для X compactопределяется , чтобы быть группой Гротендик из моноиде комплексных векторных расслоений на X . Также,- группа, соответствующая векторным расслоениям на надстройке X. Топологическая K-теория - это обобщенная теория когомологий, поэтому она дает спектр. Нулевое пространство в то время как первое пространство . Здесьбесконечная унитарная группа иэто его классифицирующее пространство . По периодичности Ботта получаем а также для всех n , поэтому все пространства в спектре топологической K-теории задаются либо или же . Существует соответствующая конструкция с использованием вещественных векторных расслоений вместо комплексных векторных расслоений, которая дает 8- периодический спектр .
Спектр сферы
Одним из типичных примеров спектра является сферический спектр. . Это спектр, гомотопические группы которого задаются стабильными гомотопическими группами сфер, поэтому
Мы можем явно записать этот спектр как где . Обратите внимание, что продукт Smash дает структуру продукта в этом спектре.
индуцирует кольцевую структуру на . Более того, если рассматривать категорию симметричных спектров , это образует исходный объект, аналогичный в категории коммутативных колец.
Спектры Тома
Другой канонический пример спектров - спектры Тома, представляющие различные теории кобордизмов. Это включает в себя настоящий кобордизм, сложный кобордизм , обрамленный кобордизм, спиновый кобордизм , струнный кобордизм и так далее . Фактически для любой топологической группы есть спектр Тома .
Спектр подвески
Спектр может быть построен из пространства. Подвески спектр пространства, обозначенный это спектр (структурные карты идентичны.) Например, спектр подвеса 0-сферы - это спектр сферы, описанный выше. Гомотопические группы этого спектра тогда являются стабильными гомотопическими группами, так
Из построения спектра надстройки следует, что каждое пространство можно рассматривать как теорию когомологий. Фактически, он определяет функтор
от гомотопической категории CW-комплексов к гомотопической категории спектров. Морфизмы задаются
что, согласно теореме о приостановке Фрейденталя, в конечном итоге стабилизируется. Под этим мы подразумеваем
а также
для некоторого конечного целого числа . Для комплекса CW есть обратная конструкция который берет спектр и образует пространство
называется бесконечным пространством петель спектра. Для комплекса CW
и эта конструкция имеет включение для каждого , поэтому дает отображение
что инъективно. К сожалению, эти две структуры с добавлением продукта разбиения приводят к значительной сложности в теории спектров, потому что не может существовать единой категории спектров, которая удовлетворяла бы списку из пяти аксиом, связывающих эти структуры. [1] Приведенное выше присоединение действительно только в гомотопических категориях пространств и спектров, но не всегда с определенной категорией спектров (не гомотопической категорией).
Ω-спектр
Ω-спектр представляет собой спектр таким образом, что сопряженные структуры карты () является слабой эквивалентностью. К-теории спектра кольца является примером Q-спектра.
Спектр кольца
Кольцевой спектр представляет собой спектр Х , такие , что диаграммы , которые описывают кольцевые аксиомы в терминах разбить продукты коммутируют «до гомотопности» (соответствует тождеству.) Например, спектр топологической K -теории является кольцевым спектром. Спектр модуля может быть определен аналогичным образом .
Для многих других примеров см. Список теорий когомологий .
Функции, отображения и гомотопии спектров
Есть три естественные категории, объектами которых являются спектры, морфизмами которых являются функции, отображения или гомотопические классы, определенные ниже.
Функция между двумя спектрами E и F представляет собой последовательность отображений из Е п к F п , коммутирующих с картами Σ Е п → Е п + 1 и Σ Р п → Р п + 1 .
Учитывая спектр , подспектр представляет собой последовательность подкомплексов, которая также является спектром. Поскольку каждая i- ячейка вприостанавливается к ( i + 1) -ячейке в, конфинальный подспектр - это подспектр, для которого каждая ячейка родительского спектра в конечном итоге содержится в подспектре после конечного числа приостановок. Затем спектры можно превратить в категорию, определив карту спектров. быть функцией от кофинального подспектра из к , где две такие функции представляют одно и то же отображение, если они совпадают на некотором конфинальном подспектре. Интуитивно такое отображение спектров не нужно определять всюду, просто в конечном итоге оно становится определенным, и два отображения, совпадающие на конфинальном подспектре, называются эквивалентными. Это дает категорию спектров (и карт), которая является основным инструментом. Категория точечных комплексов CW естественным образом встраивается в эту категорию: она принимаетк спектру суспензии, в котором n- й комплекс является.
Разбивали продукт спектра и остроконечный комплекс это спектр, задаваемый (ассоциативность продукта разбивания сразу дает, что это действительно спектр). Гомотопические отображения между спектрами соответствуют на карту, где дизъюнктный союз с участием принято за базовую точку.
Стабильная гомотопическая категория , или гомотопическая категория (CW) спектры определяются как категория, объекты которой спектры и морфизмы гомотопических классы отображений между спектрами. Многие другие определения спектра, некоторые из которых кажутся очень разными, приводят к эквивалентным стабильным гомотопическим категориям.
Наконец, мы можем определить приостановку спектра следующим образом: . Эта приостановка трансляции обратима, так как мы также можем отключить приостановку, установив.
Триангулированная гомотопическая категория спектров
Категория стабильной гомотопии является аддитивной: карты могут быть добавлены с использованием варианта добавления треков, используемого для определения гомотопических групп. Таким образом, гомотопические классы от одного спектра к другому образуют абелеву группу. Кроме того, стабильная гомотопическая категория триангулируется (Vogt (1970)), сдвиг задается подвешиванием, а выделенные треугольники - конусными последовательностями отображений спектров.
- .
Разбить продукты спектров
Продукт столкновения спектров расширяет продукт разрушения комплексов CW. Он превращает стабильную гомотопическую категорию в моноидальную ; другими словами, он ведет себя как (производное) тензорное произведение абелевых групп. Основная проблема с продуктом огромного успеха состоит в том, что очевидные способы его определения делают его ассоциативным и коммутативным только до гомотопии. Некоторые более свежие определения спектров, такие как симметричные спектры , устраняют эту проблему и дают симметричную моноидальную структуру на уровне отображений перед переходом к гомотопическим классам.
Продукт Smash совместим с триангулированной категориальной структурой. В частности, произведение разбива выделенного треугольника со спектром - это выделенный треугольник.
Обобщенные гомологии и когомологии спектров.
Мы можем определить (стабильные) гомотопические группы спектра как группы, заданные формулой
- ,
где - спектр сферы и - множество гомотопических классов отображений из к . Определим обобщенную теорию гомологий спектра E следующим образом:
и определим ее обобщенную теорию когомологий формулой
Здесь может быть спектром или (используя его спектр подвешивания) пространством.
Технические сложности со спектрами
Одна из канонических сложностей при работе со спектрами и определении категории спектров проистекает из того факта, что каждая из этих категорий не может удовлетворять пяти, казалось бы, очевидным аксиомам, касающимся бесконечного пространства петель спектра.
отправка
пара сопряженных функторов , и продукт разгрома как в категории пространств, так и в категории спектров. Если мы позволим обозначают категорию базируемых компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств, а обозначают категорию спектров, следующие пять аксиом никогда не могут быть удовлетворены конкретной моделью спектров: [1]
- является симметричной моноидальной категорией относительно разбивающего произведения
- Функтор слева сопряжена с
- Агрегат для разрушения продукта спектр сферы
- Либо есть естественная трансформация или естественная трансформация который коммутирует с единичным объектом в обеих категориях, а также с коммутативным и ассоциативным изоморфизмами в обеих категориях.
- Существует естественная слабая эквивалентность для что есть коммутирующая диаграмма
где - это единичная карта в примыкании.
Из-за этого исследование спектров ломается в зависимости от используемой модели. Для обзора ознакомьтесь с цитированной выше статьей.
История
Вариант концепции спектра был представлен в докторской диссертации Илона Лагеса Лимы в 1958 году . Его советник Эдвин Спаниер написал дальше на эту тему в 1959 году. Спектры были приняты Майклом Атьей и Джорджем Уайтхедом в их работе по обобщенным теориям гомологии в начале 1960-х годов. Докторская диссертация Дж. Майкла Бордмана 1964 г. дала работоспособное определение категории спектров и отображений (а не только гомотопических классов) между ними, столь же полезного в стабильной теории гомотопий, как категория комплексов CW в нестабильном случае. (По сути, это категория, описанная выше, и она до сих пор используется для многих целей: по другим сведениям см. Адамс (1974) или Райнер Фогт (1970).) Однако с 1990 года были сделаны важные дальнейшие теоретические успехи, значительно улучшившие формальные свойства спектров. Следовательно, во многих недавних публикациях используются модифицированные определения спектра : см. Michael Mandell et al. (2001) для единой трактовки этих новых подходов.
Смотрите также
- Спектр кольца
- Симметричный спектр
- G-спектр
- Отображение спектра
- Подвеска (топология)
- Спектральная последовательность Адамса
Рекомендации
- ^ a b c Льюис, Л. Гаунс (1991-08-30). "Есть ли удобная категория спектров?" . Журнал чистой и прикладной алгебры . 73 (3): 233–246. DOI : 10.1016 / 0022-4049 (91) 90030-6 . ISSN 0022-4049 .
Вводный
- Адамс, Дж. Франк (1974). Стабильная гомотопия и обобщенные гомологии . Издательство Чикагского университета . ISBN 9780226005249.
- Элмендорф, Энтони Д .; Кржиж, Игорь; Mandell, Michael A .; Мэй, Дж. Питер (1995), «Современные основы стабильной теории гомотопий» (PDF) , в Джеймс., Иоан М. (редактор), Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 213–253, CiteSeerX 10.1.1.55.8006 , DOI : 10.1016 / B978-044481779-2 / 50007-9 , ISBN 978-0-444-81779-2, Руководство по ремонту 1361891
Современные статьи, развивающие теорию
- Mandell, Michael A .; Мэй, Дж. Питер ; Шведе, Стефан; Шипли, Brooke (2001), "Типовые категории диаграмма спектров", Труды Лондонского математического общества , 3 -й серии, 82 (2): 441-512, CiteSeerX 10.1.1.22.3815 , DOI : 10,1112 / S0024611501012692 , MR 1806878
Исторически актуальные статьи
- Атья, Майкл Ф. (1961). «Бордизм и кобордизм». Труды Кембриджского философского общества . 57 (2): 200–8. DOI : 10.1017 / s0305004100035064 .
- Лима, Илон Лагес (1959), "Двойственность Спаниера – Уайтхеда в новых гомотопических категориях", Summa Brasil. Математика. , 4 : 91–148, MR 0116332
- Лима, Илон Лагес (1960), "Стабильные инварианты Постникова и их двойники", Summa Brasil. Математика. , 4 : 193–251
- Фогт, Райнер (1970), стабильная гомотопическая категория Бордмана , Серия конспектов лекций, № 21, Математический институт, Орхусский университет, Орхус, MR 0275431
- Уайтхед, George W. (1962), "Обобщенная гомологии теории", Труды Американского математического общества , 102 (2): 227-283, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1962-0137117-6
Внешние ссылки
- Spectral Sequences - Allen Hatcher - содержит отличное введение в спектры и приложения для построения спектральной последовательности Адамса.
- Безымянный книжный проект о симметричных спектрах
- «Действительно ли спектры - это то же самое, что теории когомологий?» .