В топологии , ветвь математики , то пространство петель Ω X из заостренного топологического пространства X является пространством ( на основе) петель в X , т.е. непрерывные заостренные карты из заостренной окружности S 1 к X , наделенная компактно-открытой топологии . Две петли можно умножить конкатенацией . Благодаря этой операции пространство петель становится A ∞ -пространством . То есть умножение гомотопически-когерентно ассоциативно .
Набор из компонентов пути из Ом X , т.е. множества на основе-гомотопических классов эквивалентности петель , основанных на X , является группой , то фундаментальная группа π 1 ( X ).
В итерированных пространствах петель из X формируется путем применения Ом несколько раз.
Аналогичная конструкция существует для топологических пространств без базовой точки. Пространство свободных петель топологического пространства X - это пространство отображений окружности S 1 в X с компактно-открытой топологией. Свободное пространство петель X часто обозначается как.
Как функтор , конструкция свободного пространства петель сопряжена справа с декартовым произведением на окружность, а конструкция пространства петель сопряжена справа с приведенной надстройкой . Это присоединение во многом объясняет важность пространств петель в стабильной теории гомотопий . (Родственное явление в информатике - каррирование , когда декартово произведение присоединяется к функтору hom .) Неформально это называется двойственностью Экмана – Хилтона .
Двойственность Экмана – Хилтона
Петлевое пространство является двойным подвесу того же самого пространства; эту двойственность иногда называют двойственностью Экмана – Хилтона . Основное наблюдение состоит в том, что
где - множество гомотопических классов отображений , а также является приостановкой A, и обозначает естественный гомеоморфизм . Этот гомеоморфизм по сути является гомеоморфизмом каррирования по модулю частных, необходимых для преобразования продуктов в восстановленные продукты.
В общем, не имеет групповой структуры для произвольных пространств а также . Однако можно показать, что а также имеют естественную групповую структуру, когда а также являются остроконечными , и вышеупомянутым изоморфизм этих групп. [1] Таким образом, полагая (в сфера) дает отношения
- .
Это следует из того, что гомотопическая группа определяется как и сферы могут быть получены путем подвешивания друг друга, т. е. . [2]
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ May, JP (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , U. Chicago Press, Чикаго , получено 27 августа 2016 г. (См. Главу 8, раздел 2)
- ^ Topospaces wiki - Пространство петель основанного топологического пространства
- Адамс, Джон Франк (1978), Бесконечные пространства петель , Анналы математических исследований, 90 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, Руководство по ремонту 0505692
- Мэй, Дж. Питер (1972), Геометрия итерированных пространств петель , Конспект лекций по математике, 271 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0067491 , ISBN 978-3-540-05904-2, Руководство по ремонту 0420610