В топологии и смежных отраслей математики , А связное пространство является топологическим пространством , которое не может быть представлено в виде объединения двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств . Связность - одно из основных топологических свойств , используемых для различения топологических пространств.
Подмножество топологического пространства X является связным множеством , если это связное пространство , когда рассматриваются как подпространство в X .
Некоторые связанные, но более сильные условия - это линейно связанные , односвязные и n-связанные условия . Другое родственное понятие - это локально связное понятие , которое не подразумевает и не следует из связности.
Формальное определение
Топологическое пространство X называется отсоединен , если он является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств. В противном случае X называется связным . Подмножество топологического пространства называется связным , если он подключен под его подпространством топологии. Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) как связное пространство, но эта статья не следует этой практике.
Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:
- X связно, то есть его нельзя разделить на два непересекающихся открытых множества.
- X нельзя разделить на два непересекающихся непустых замкнутых множества .
- Единственные подмножества X, которые одновременно открыты и закрыты ( закрытые множества ), - это X и пустое множество.
- Единственные подмножества X с пустой границей - это X и пустое множество.
- X нельзя записать как объединение двух непустых разделенных множеств (наборов, каждое из которых не пересекается с замыканием другого).
- Все непрерывные функции от X до постоянны, где - двухточечное пространство с дискретной топологией.
Исторически эта современная формулировка понятия связности (в терминах отсутствия разделения X на два отдельных множества) впервые появилась (независимо) у Н. Дж. Леннеса, Фриджеса Рисса и Феликса Хаусдорфа в начале 20 века. Подробнее см. [1] .
Подключенные компоненты
В максимальных связных подмножеств (заказанные включения ) из непустого топологического пространства называются компоненты связности пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение на X : они не пересекаются , не пусто, и их объединение есть все пространство. Каждый компонент представляет собой замкнутое подмножество исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их количество конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, компоненты связности множества рациональных чисел являются одноточечными множествами ( синглетонами ), которые не являются открытыми.
Позволять - связная компонента x в топологическом пространстве X , апересечение всех замкнутых множеств , содержащих х ( так называемые квази-компонент из х .) Тогдагде равенство выполняется, если X компактно хаусдорфово или локально связно.
Отключенные пространства
Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полностью несвязным . В связи с этим свойством, пространство Х называется полностью отделены , если для любых двух различных элементов х и у из X , существуют непересекающиеся открытые множества U , содержащее х и V , содержащие у , такие , что X является объединением U и V . Ясно, что любое полностью разделенное пространство полностью отключено, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и определите их в каждой точке, кроме нуля. Результирующее пространство с фактор-топологией полностью отключено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не разделено полностью. Фактически, это даже не Хаусдорф , и условие полной отделенности строго сильнее, чем условие быть Хаусдорфом.
Примеры
- Закрытый интервал в стандартном подпространстве топология связна; хотя его можно, например, записать как объединение а также второй набор не открыт в выбранной топологии
- Союз а также отключен; оба этих интервала открыты в стандартном топологическом пространстве
- отключен.
- Выпуклое подмножество из R п соединен; на самом деле это просто связано .
- Евклидовой плоскости , исключая начало координат,связано, но не просто связано. Трехмерное евклидово пространство без начала координат связано и даже односвязно. Напротив, одномерное евклидово пространство без начала координат не связано.
- Евклидова плоскость с удаленной прямой не соединена, так как состоит из двух полуплоскостей.
- ℝ, Пространство действительных чисел с обычной топологией, связно.
- Если удалить хотя бы одну точку из ℝ, остальная часть отключается. Однако, если убрать даже счетное бесконечное количество точек из, где остальная часть связана. Если n ≥ 3 , то остается односвязным после удаления счетного числа точек.
- Любое топологическое векторное пространство , например, любое гильбертово пространство или банахово пространство над связным полем (например, или же ), односвязно.
- Каждое дискретное топологическое пространство, содержащее по крайней мере два элемента, отключено, фактически такое пространство полностью отключено . Самый простой пример - дискретное двухточечное пространство . [2]
- С другой стороны, конечное множество может быть связным. Например, спектр кольца дискретной оценки состоит из двух точек и связан. Это пример пространства Серпинского .
- Набор Кантора полностью отключен; поскольку набор содержит несчетное количество точек, он имеет несчетное количество компонентов.
- Если пространство X является гомотопической эквивалент в связное пространство, то X само по себе связано.
- В синусоидальной кривой тополога в пример набора , который подсоединен , но не является ни пути , ни подключен локально подключен.
- Линейная группа (то есть, группа п матрицы с размерностью п действительной, обратимые матриц) состоит из двух соединенных между собой компонентов: один с матрицами положительного определителя , а других отрицательного определителя. В частности, это не связано. В отличие,подключен. В более общем смысле, множество обратимых ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве связно.
- Спектры коммутативного локального кольца и областей целостности связаны. В более общем смысле следующие эквиваленты [3]
- Спектр коммутативного кольца R связен
- Каждый конечно порожденный проективный модуль над R имеет постоянный ранг.
- R не имеет идемпотента (т.е. R не является произведением двух колец нетривиальным образом).
Пример несвязанного пространства - это плоскость с удаленной из нее бесконечной линией. Другие примеры несвязных пространств (то есть несвязных пространств) включают плоскость с удаленным кольцом , а также объединение двух непересекающихся замкнутых дисков , где все примеры этого абзаца имеют топологию подпространства, индуцированную двумерным евклидовым пространством. космос.
Связность путей
Линейно связное пространство является более сильным понятием связности, требующим структуру пути. Пути от точки х до точки у в топологическом пространстве X является непрерывной функцией ƒ от единичного интервала [0,1] к X с ƒ (0) = х и ƒ (1) = у . Путь-компонент из X представляет собой класс эквивалентности из X под отношением эквивалентности , что делает й эквивалентно у , если существует путь от й до у . Пространство Х называется линейно связным (или потраекторных подключен или 0-подключенное ) , если существует ровно один путь-компонента, то есть , если существует путь , соединяющий любые две точки в X . Опять же, многие авторы исключают пустое пространство (обратите внимание, однако, что по этому определению пустое пространство не линейно связно, потому что оно имеет нулевые компоненты пути; существует уникальное отношение эквивалентности на пустом множестве, которое не имеет классов эквивалентности).
Каждое линейно связное пространство связано. Обратное не всегда верно: примеры связанных пространств, которые не связаны между собой, включают удлиненную длинную линию L * и синусоидальную кривую тополога .
Подмножества реальной линии R связаны тогда и только тогда, когда они связаны по путям; эти подмножества являются интервалами из R . Кроме того, открытые подмножества R n или C n связаны тогда и только тогда, когда они линейно связаны. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств .
Связность дуги
Пространство X называется дуго-связным или дугово-связным, если любые две различные точки могут быть соединены дугой , которая по определению является путемэто тоже топологическое вложение . Явно путьназывается дугой, если сюръективное отображение является гомеоморфизмом , где его образ наделено топологией подпространств, индуцированной на нем
Любое линейно связное хаусдорфово пространство также является дуговым. Пример помещения, соединенного по пути, но не соединенного дугой, предоставляется путем добавления второй копии из к неотрицательным действительным числам Один наделяет этот набор частичным порядком , указав, что для любого положительного числа но уходя а также несравненный. Затем наделяют этот набор топологией порядка . То есть брать открытые интервалы и полуоткрытые интервалы в качестве основы для топологии. Полученное пространство является пространством T 1, но не хаусдорфовым . Точки а также могут быть соединены путем, но не дугой в этом пространстве.
Локальная связанность
Топологическое пространство называется локально связным в точке x, если каждая окрестность точки x содержит связную открытую окрестность. Он локально связан, если имеет базу связанных множеств. Можно показать, что пространство X локально связно тогда и только тогда, когда каждая компонента каждого открытого множества X открыта.
Аналогично топологическое пространство называется локально линейно связно, если у него есть база линейно связанных множеств. Открытое подмножество локально линейно связанного пространства связано тогда и только тогда, когда оно линейно связано. Это обобщает предыдущее утверждение оR n иC n , каждое из которых локально линейно связано. Вообще говоря, любоетопологическое многообразиелокально линейно связно.
Локальное соединение не означает соединение, а локальное соединение по пути не подразумевает соединение по пути. Простым примером локально связного (и локально линейно связанного) пространства, которое не связано (или линейно связного), является объединение двух разделенных интервалов в, такой как .
Классическим примером связного пространства, которое не является локально связным, является так называемая синусоидальная кривая тополога , определяемая как, с евклидовой топологией, индуцированной включением в.
Установить операции
Пересечение связных множеств не обязательно связано.
Объединение связных множеств не обязательно связано, как можно видеть, рассматривая.
Каждый эллипс является связным множеством, но объединение не связано, так как его можно разбить на два непересекающихся открытых множества. а также .
Это означает, что если союз отключается, то сборник может быть разделен на две подгруппы, так что объединения подколлекций не пересекаются и открываются в (см. картинку). Это означает , что в ряде случаев, объединение связных множеств является обязательно связано. В частности:
- Если общее пересечение всех множеств не пусто (), то очевидно, что их нельзя разбить на коллекции с непересекающимися объединениями . Следовательно, объединение связных множеств с непустым пересечением связно .
- Если пересечение каждой пары множеств не пусто (), то снова они не могут быть разделены на коллекции с непересекающимися объединениями, поэтому их объединение должно быть связано.
- Если наборы могут быть упорядочены как «связанная цепочка», то есть проиндексированы целочисленными индексами и , то снова их союз должен быть связан.
- Если множества попарно не пересекаются и фактор-пространство подключен, то должен быть подключен X. В противном случае, еслиявляется разделением X, то является разделением факторпространства (поскольку не пересекаются и открыты в фактор-пространстве). [4]
Установленная разница подключенных наборов не обязательно связана. Однако если и их отличие отключен (и, таким образом, может быть записан как объединение двух открытых множеств а также ), то объединение с каждым таким компонентом связан (т. е. подключен для всех ).
Доказательство [5] |
---|
От противного предположим, что не связано. Таким образом, его можно записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, например. Так как связан, он должен полностью содержаться в одном из этих компонентов, скажем , и поэтому содержится в . Теперь мы знаем, что: Два множества в последнем объединении не пересекаются и открыты в , поэтому есть разделение , что противоречит тому, что подключен. |
Теоремы
- Основная теорема о связности : пусть X и Y - топологические пространства, а ƒ : X → Y - непрерывная функция. Если X (линейно) связно, то образ ƒ ( X ) является (путевым) связным. Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы о промежуточном значении .
- Каждое линейно связное пространство связано.
- Каждое локально линейно связное пространство локально связно.
- Пространство, связанное локально, линейно связно тогда и только тогда, когда оно связано.
- Замыкание связной подгруппы связано. Более того, любое подмножество между подключенным подмножеством и его замыканием связано.
- Подключенные компоненты всегда закрыты (но, как правило, не открыты)
- Связные компоненты локально связного пространства также открыты.
- Компоненты связности пространства являются непересекающимися объединениями компонент линейной связности (которые в общем случае не являются ни открытыми, ни замкнутыми).
- Каждый фактор связного (соответственно, локально связного, линейно связного, локально линейно связного) пространства связан (соответственно, локально связного, линейно связного, локально линейно связного).
- Каждое произведение семейства связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно).
- Каждое открытое подмножество локально связного (соответственно, локально линейно связного) пространства локально связно (соответственно, локально линейно связно).
- Каждое многообразие локально линейно связно.
- Связанное по дуге пространство соединено по пути, но связанное по дуге пространство не может быть соединено по дуге
- Непрерывный образ дугообразно связного множества дугообразно связан.
Графики
Графы имеют подмножества, соединенные путями, а именно те подмножества, для которых каждая пара точек имеет путь из ребер, соединяющих их. Но не всегда можно найти топологию на множестве точек, которая индуцирует одни и те же связные множества. Граф с 5 циклами (и любой n -цикл с нечетным n > 3) является одним из таких примеров.
Как следствие, понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с наборами связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмы - это те функции, которые отображают связанные множества в связанные множества ( Muscat & Buhagiar 2006 ). Топологические пространства и графы являются частными случаями связных пространств; действительно, конечные связные пространства - это в точности конечные графы.
Однако любой граф можно канонически превратить в топологическое пространство, рассматривая вершины как точки и ребра как копии единичного интервала (см. Теорию топологических графов # Графы как топологические пространства ). Тогда можно показать, что граф связен (в теоретическом смысле графа) тогда и только тогда, когда он связан как топологическое пространство.
Более сильные формы связи
Существуют более сильные формы связности для топологических пространств , например:
- Если не существует двух непересекающихся непустых открытых множеств в топологическом пространстве, X , X должны быть связными, и, следовательно, гиперсвязные пространства также связаны.
- Поскольку односвязное пространство по определению также должно быть связано путями, любое односвязное пространство также связано. Обратите внимание, однако, что если требование «связности пути» исключено из определения простой связности, односвязное пространство в подключении не требуется.
- Еще более сильные версии связности включают понятие сжимаемого пространства . Каждое стягиваемое пространство связано путями и, следовательно, также связано.
В общем, обратите внимание, что любое пространство, связанное по пути, должно быть связано, но существуют связанные пространства, которые не связаны по пути. Удаляется расческой пространство дает такой пример, как это делает упомянутой выше синусоидальной кривой тополога в .
Смотрите также
- Связанный компонент (теория графов)
- Локус связности
- Крайне отключенное пространство
- Локально связанное пространство
- n -связанный
- Равномерно связанное пространство
- Пиксельная связь
Рекомендации
- Перейти ↑ Wilder, RL (1978). «Эволюция топологического понятия« связное » ». Американский математический ежемесячник . 85 (9): 720–726. DOI : 10.2307 / 2321676 .
- ^ Джордж Ф. Симмонс (1968). Введение в топологию и современный анализ . Книжная компания McGraw Hill. п. 144. ISBN 0-89874-551-9.
- ^ Чарльз Вейбель , K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию
- ^ Брандсма, Хенно (13 февраля 2013 г.). «Как доказать этот результат с использованием факторных отображений и связности?» . Обмен стеками .
- ^ Марек (13 февраля 2013 г.). «Как доказать этот результат о связности?» . Обмен стеками .
дальнейшее чтение
- Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология, второе издание . Прентис Холл. ISBN 0-13-181629-2.
- Вайсштейн, Эрик В. «Подключенный набор» . MathWorld .
- В.И. Малыхин (2001) [1994], «Связанное пространство» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Маскат, Дж; Бухагиар, Д. (2006). «Соединительные пространства» (PDF) . Mem. Фак. Sci. Англ. Shimane Univ., Series B: Math. Sc . 39 : 1–13. Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 17 мая 2010 ..