Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с полуоткрытым интервалом .
Граф с несколькими замкнутых множеств. Каждая из трех больших частей (то есть компонентов ) представляет собой замкнутый набор, как и объединение любых двух или всех трех.

В топологии , А замкнутое множество (а портманто из замкнутых открытого множества ) в топологическом пространстве представляет собой набор , который является одновременно открытым и закрытым . То, что это возможно, может показаться нелогичным, поскольку общие значения открытых и закрытых являются антонимами, но их математические определения не исключают друг друга . Набор является закрытым, если его дополнение открыто, что оставляет возможность открытого набора, дополнение которого также открыто, что делает оба набора одновременно открытыми и закрытыми и, следовательно, закрытыми.

Примеры [ править ]

В любом топологическом пространстве X , то пустое множество и все пространство X является замкнутым. [1] [2]

Теперь рассмотрим пространство X , которое состоит из объединения двух открытых интервалов (0,1) и (2,3) от R . Топология на X наследуется как топологией подпространства из обычной топологии на вещественной прямой R . В X множество (0,1) открыто, как и множество (2,3). Это довольно типичный пример: всякий раз, когда пространство составлено из конечного числа непересекающихся компонентов связности таким образом, компоненты будут открытыми.

Теперь пусть X - бесконечное множество с дискретной метрикой, то есть две точки p , q в X имеют расстояние 1, если они не совпадают, и 0 в противном случае. Под результирующим метрическим пространством открыто любое одноэлементное множество; следовательно, любое множество, являющееся объединением отдельных точек, открыто. Поскольку дополнение любого множества, следовательно, замкнуто, все множества в метрическом пространстве открыто-замкнуты.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство Q всех рациональных чисел с их обычной топологией и множество A всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя тот факт, что нет в Q , можно довольно легко показать, что является замкнутым подмножеством Q . ( Это не открыто - замкнутое подмножество вещественной прямой R ; она не является ни открытой , ни замкнуто в R .)

Свойства [ править ]

  • Топологическое пространство X является связано тогда и только тогда , когда только замкнутыми множества являются пустым множеством и X .
  • Множество открыто тогда и только тогда, когда его граница пуста. [3]
  • Любое открыто-замкнутое множество представляет собой объединение (возможно, бесконечного множества) компонент связности .
  • Если все компоненты связности X являются открытыми (например, если X имеет только конечное число компонент, или если X является локально связным ), то множество в открыто - замкнутым X тогда и только тогда , когда оно является объединением связных компонент.
  • Топологическое пространство X является дискретным тогда и только тогда , когда все его подмножества открыто - замкнутым.
  • Используя объединение и пересечение как операции, открытые подмножества данного топологического пространства X образуют булеву алгебру . Каждую булеву алгебру можно получить таким образом из подходящего топологического пространства: см . Теорему Стоуна о представлении для булевых алгебр .

Заметки [ править ]

  1. ^ Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 348. (относительно действительных чисел и пустого множества в R)
  2. ^ Хокинг, Джон G .; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 56. (относительно топологических пространств)
  3. ^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 87. ISBN 0-486-66352-3. Пусть A - подмножество топологического пространства. Докажите, что Bdry ( A ) = ∅ тогда и только тогда, когда A открыто и замкнуто. (Из упражнения 7)

Ссылки [ править ]