n -связное пространство

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «N-связанное пространство»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математической ветви алгебраической топологии , в частности в теории гомотопий , n -связность (иногда n- простая связность ) обобщает концепции линейной связности и простой связности . Сказать, что пространство n -связно, значит сказать, что его первые n гомотопических групп тривиальны, а сказать, что отображение n -связно, означает, что это изоморфизм «до размерности n в гомотопии ».

n -связное пространство [ править ]

Топологическое пространство X называется п - связными (для положительного п ) , когда оно не пусто, линейно связным , и его первых п гомотопических групп тождественно равны нулю, то есть

${\ Displaystyle \ пи _ {я} (Икс) \ конг 0, \ четырехъядерный 1 \ Leq я \ Leq п,}$

где обозначает i -ю гомотопическую группу, а 0 обозначает тривиальную группу. ^[1]${\ Displaystyle \ pi _ {я} (Х)}$

Требования быть непустыми и связанными по путям можно интерпретировать как (-1) -связные и 0-связанные , соответственно, что полезно при определении 0-связанных и 1-связанных карт, как показано ниже. 0th Гомотопический набор может быть определен как:

${\ displaystyle \ pi _ {0} (X, *): = [(S ^ {0}, *), (X, *)].}$

Это только точечное множество , а не группа, если только X не является топологической группой ; отмеченная точка является классом тривиальной карты, отправка S ⁰ к базовой точке X . Используя этот набор, пространство 0-связно тогда и только тогда, когда 0-е гомотопическое множество является одноточечным множеством. Определение гомотопических групп и этого гомотопического множества требует, чтобы X был указан (имел выбранную базовую точку), что не может быть выполнено, если X пусто.

Топологическое пространство X является линейно связным тогда и только тогда , когда его 0th гомотопическая группа тождественно равна нулю, так как линейная связность означает , что любые две точки х ₁ и х ₂ в X может быть связано с непрерывным путем , который начинается в х ₁ и заканчивается в x ₂ , что эквивалентно утверждению, что любое отображение из S ⁰ ( дискретное множество из двух точек) в X может быть непрерывно деформировано в постоянное отображение. С помощью этого определения мы можем определить X какn -связно тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ pi _ {i} (X) \ simeq 0, \ quad 0 \ leq i \ leq n.}$

Примеры [ править ]

• Пространство X (−1) -связно тогда и только тогда, когда оно непусто.
• Пространство X 0-связно тогда и только тогда, когда оно непусто и линейно связно .
• Пространство односвязно тогда и только тогда, когда оно односвязно .

n- связная карта [ править ]

Соответствующее относительное понятие к абсолютному понятию n- связного пространства - это n- связное отображение , которое определяется как отображение, гомотопический слой Ff которого является ( n  - 1) -связным пространством. С точки зрения гомотопических групп, то это означает , что карта является п - связным , если и только если:${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$

• ${\ displaystyle \ pi _ {i} (f) \ двоеточие \ pi _ {i} (X) {\ overset {\ sim} {\ to}} \ pi _ {i} (Y)}$является изоморфизмом для , и${\ Displaystyle я <п}$
• ${\displaystyle \pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y)}$ это сюръекция.

Последнее условие часто сбивает с толку; это потому, что обращение в нуль ( n  - 1) -й гомотопической группы гомотопического слоя Ff соответствует сюръекции на n- ^й гомотопической группе в точной последовательности:

${\displaystyle \pi _{n}(X){\overset {\pi _{n}(f)}{\to }}\pi _{n}(Y)\to \pi _{n-1}(Ff).}$

Если группа справа обращается в нуль, то карта слева является сюръекцией.${\displaystyle \pi _{n-1}(Ff)}$

Низкоразмерные примеры:

• Связное отображение (0-связное отображение) - это отображение на компоненты пути (0-я гомотопическая группа); это соответствует непустому гомотопическому слою.
• Односвязное отображение (1-связное отображение) - это отображение, которое является изоморфизмом на компонентах пути (0-я гомотопическая группа) и на фундаментальную группу (1-я гомотопическая группа).

n -связность для пространств, в свою очередь, может быть определена в терминах n -связности карт: пространство X с базовой точкой x ₀ является n -связным пространством тогда и только тогда, когда включение базовой точки является n -связной картой. Единственное точечное множество стягиваемо, поэтому все его гомотопические группы обращаются в нуль, и, таким образом, «изоморфизм ниже n и на точку n » соответствует исчезновению первых n гомотопических групп X.${\displaystyle x_{0}\hookrightarrow X}$

Интерпретация [ править ]

Это полезно для подмножества: п -связного включения является одним из таких , что вплоть до размерности п  - 1, гомотопии в большем пространстве X могут быть homotoped в гомотопии в подмножестве A .${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

Например, чтобы карта включения была односвязной, она должна быть:${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

• на ${\displaystyle \pi _{0}(X),}$
• один на один и${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),}$
• на ${\displaystyle \pi _{1}(X).}$

Взаимно однозначный on означает, что если существует путь, соединяющий две точки , проходя через X, существует путь в A, соединяющий их, в то время как on означает, что фактически путь в X гомотопен пути в A.${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)}$${\displaystyle a,b\in A}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Другими словами, функция, являющаяся изоморфизмом в X , подразумевает, что любые элементы , гомотопные в X , абстрактно гомотопны в A - гомотопия в A может быть не связана с гомотопией в X - при этом будучи n- связной (то же самое и с ) означает , что (до размерности п  - 1) гомотопии в X может быть выдвинут в гомотопиях в A .${\displaystyle \pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)}$${\displaystyle \pi _{n-1}(A)}$${\displaystyle \pi _{n}(X)}$

Это дает более конкретное объяснение полезности определения n -связности: например, пространство, в котором включение k -скелета является n- связным (для n  >  k ) - например, включение точки в n -сфера - обладает тем свойством, что любые ячейки в размерностях от k до n не влияют на гомотопические типы более низкой размерности.

Приложения [ править ]

Понятие n -связности используется в теореме Гуревича, которая описывает связь между сингулярными гомологиями и высшими гомотопическими группами.

В геометрической топологии случаи, когда включение геометрически определенного пространства, такого как пространство погружений, в более общее топологическое пространство, такое как пространство всех непрерывных отображений между двумя ассоциированными пространствами, являются n- связными, называются удовлетворяющими гомотопии. принцип или «h-принцип». Существует ряд мощных общих методов доказательства h-принципов.${\displaystyle M\to N,}$${\displaystyle X(M)\to X(N),}$

См. Также [ править ]

• Подключенное пространство
• Соединительный спектр
• Связанный по пути
• Просто подключено

Ссылки [ править ]