В геометрии , топологии и смежные отраслях математики , А замкнутое множество является множество которых дополнение является открытым множеством . [1] [2] В топологическом пространстве замкнутое множество можно определить как множество, которое содержит все его предельные точки . В полном метрическом пространстве замкнутое множество - это множество, которое замкнуто при выполнении предельной операции. Его не следует путать с закрытым коллектором .
Эквивалентные определения замкнутого множества
По определению подмножество из топологического пространства называется закрытым, если его дополнение открытое подмножество ; то есть, если Набор закрыт в тогда и только тогда, когда он равен его закрытию вЭквивалентно, набор является замкнутым тогда и только тогда, когда он содержит все свои предельные точки . Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки . Каждое подмножествовсегда содержится в его (топологическом) замыкании в который обозначается то есть, если тогда Более того, является замкнутым подмножеством если и только если
Альтернативная характеристика замкнутых множеств доступна через последовательности и сети . Подмножество топологического пространства закрыт в тогда и только тогда, когда каждый предел каждой сети элементов также принадлежит В пространстве с первым счетом (таком как метрическое пространство) достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности , а не все сети. Одно из достоинств этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать в качестве определения в контексте пространств сходимости , которые являются более общими, чем топологические пространства. Обратите внимание, что эта характеристика также зависит от окружающего пространства. потому что сходится ли последовательность или сеть в зависит от того, какие точки присутствуют в Точка в считается близким к подмножеству если (или, что то же самое, если принадлежит закрытию в топологическом подпространстве имея в виду где наделено топологией подпространств, индуцированной на нем[примечание 1] ). Потому что закрытие в таким образом, множество всех точек в которые близки к эта терминология позволяет описывать закрытые подмножества на простом английском языке:
- подмножество закрыто тогда и только тогда, когда оно содержит все близкие к нему точки.
С точки зрения чистой сходимости точка близок к подмножеству тогда и только тогда, когда существует некоторая сеть (оцененная) в что сходится к Если является топологическим подпространством некоторого другого топологического пространства в таком случае называется топологическим супер-пространство изтогда может быть какая-то точка в это близко к (хотя и не является элементом ), что возможно для подмножества быть закрытым в но чтобы не быть замкнутым в "большом" окружающем суперпространстве Если и если является любым топологическим супер-пространство тогда всегда является (потенциально правильным) подмножеством что означает закрытие в действительно, даже если является замкнутым подмножеством (что происходит тогда и только тогда, когда ), тем не менее, все еще возможно быть правильным подмножеством Тем не мение, является замкнутым подмножеством если и только если для некоторого (или, что то же самое, для любого) топологического суперпространства из
Замкнутые множества могут также использоваться для характеристики непрерывных функций : картаявляется непрерывным , если и только если для каждого подмножества ; это можно переформулировать на простом английском языке как: непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества отображает точки, которые близки к к точкам, которые близки к По аналогии, непрерывна в фиксированной данной точке тогда и только тогда, когда близок к подмножеству тогда близко к
Подробнее о закрытых наборах
Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств , концепция, которая имеет смысл для топологических пространств , а также для других пространств, которые несут топологические структуры, такие как метрические пространства , дифференцируемые многообразия , равномерные пространства и калибровочные пространства .
Будет ли набор замкнутым, зависит от пространства, в которое он встроен. Однако компактные хаусдорфовы пространства « абсолютно замкнуты » в том смысле, что если вы вложите компактное хаусдорфово пространство в произвольном хаусдорфовом пространстве тогда всегда будет закрытым подмножеством ; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна – Чеха , процесс, который превращает полностью регулярное хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, может быть описан как примыкающие к пространству пределы некоторых несходящихся сетей.
Кроме того, каждое замкнутое подмножество компакта компактно, и каждое компактное подпространство хаусдорфова пространства замкнуто.
Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый набор непустых замкнутых подмножеств с пустым пересечением допускает конечную подколлекцию с пустым пересечением.
Топологическое пространство будет отключен , если существуют непересекающиеся, непустое, открытые подмножества а также из чей союз Более того, будет полностью отключен , если он имеет открытую базу , состоящую из замкнутых множеств.
Свойства замкнутых множеств
Замкнутый набор содержит свою границу . Другими словами, если вы находитесь «вне» закрытого набора, вы можете немного переместиться в любом направлении и все равно оставаться за пределами набора. Обратите внимание, что это также верно, если граница является пустым набором, например, в метрическом пространстве рациональных чисел, для набора чисел, квадрат которого меньше, чем
- Любое пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто (включая пересечения бесконечного числа замкнутых множеств).
- Объединение из конечного множества замкнутых множеств замкнуто.
- Пустое множество замкнуто.
- Весь набор закрыт.
Фактически, если задан набор и коллекция подмножеств такие, что элементы обладают перечисленными выше свойствами, то существует уникальная топология на такие, что замкнутые подмножества это именно те множества, которые принадлежат Свойство пересечения также позволяет определить замыкание множества в космосе который определяется как наименьшее замкнутое подмножество что является надстройкой из В частности, закрытие можно построить как пересечение всех этих замкнутых надмножеств.
Множества, которые могут быть построены как объединение счетного числа замкнутых множеств, обозначаются F σ множеств. Эти наборы не нужно закрывать.
Примеры замкнутых множеств
- Закрытый интервал из действительных чисел замкнуто. (См. Раздел Интервал (математика) для объяснения обозначений скобок и скобок.)
- Единичный интервал замкнуто в метрическом пространстве действительных чисел, а множество из рациональных чисел между а также (включительно) замкнуто в пространстве рациональных чисел, но не закрывается в реальных числах.
- Некоторые наборы ни открыты, ни закрыты, например, полуоткрытый интервал в реальных числах.
- Некоторые наборы бывают как открытыми, так и закрытыми и называются закрытыми наборами .
- луч закрыто.
- Множество Кантора является необычным замкнутым множеством в том смысле , что она целиком состоит из точек границы и нигде не плотно.
- Одноэлементные точки (и, следовательно, конечные множества) замкнуты в хаусдорфовых пространствах .
- Набор целых чисел - бесконечное и неограниченное замкнутое множество действительных чисел.
- Если функция между топологическими пространствами, то является непрерывным тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств в закрыты в
Смотрите также
- Clopen set - подмножество одновременно открытого и закрытого
- Закрытая карта
- Открытый набор - базовое подмножество топологического пространства.
- Район
- Регион (математика) - Математическое подмножество пространства
- Обычный закрытый набор
Заметки
- ^ В частности, независимо от того, близко к зависит только от подпространства а не во всем окружающем пространстве (например, или любое другое пространство, содержащее как топологическое подпространство).
Рекомендации
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Макгроу-Хилл . ISBN 0-07-054235-X.
- ^ Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). [Прентис Холл]]. ISBN 0-13-181629-2.
- Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .