Пространство конвергенции

В математике , конвергенция пространства , также называется обобщенная сходимость , представляет собой набор вместе с соотношением называется конвергенция , которая удовлетворяет определенные свойства , связанные элементы X с семьей из фильтров на X . Пространства сходимости обобщают понятия сходимости , которые встречаются в точечной топологии , включая метрическую сходимость и равномерную сходимость. Каждое топологическое пространство приводит к канонической сходимости, но есть сходимости, известные как нетопологические сходимости., которые не возникают из какого-либо топологического пространства. ^[1] Примеры сходимостей, которые в общем случае не являются топологическими, включают сходимость по мере и сходимость почти всюду . Многие топологические свойства имеют обобщение на пространства сходимости.

Помимо способности описывать понятия сходимости, недоступные для топологий , категория пространств сходимости обладает важным категориальным свойством, отсутствующим в категории топологических пространств . Категория топологических пространств не является экспоненциальной категорией (или, что то же самое, не декартово замкнутой ), хотя она содержится в экспоненциальной категории псевдотопологических пространств , которая сама является подкатегорией (также экспоненциальной) категории пространств сходимости. ^[2]

Определение и обозначения [ править ]

Предварительные сведения и обозначения [ править ]

Обозначим набор мощности набора с помощью The вверх закрытия или изотонизации в ^[3] в виде семейства подмножеств определяется как${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ WP (X).}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ substeq \ wp (X)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ uparrow X}: = \ left \ {S \ substeq X ~: ~ B \ substeq S {\ text {для некоторых}} B \ in {\ mathcal {B} } \, \ right \} = \ bigcup _ {B \ in {\ mathcal {B}}} \ left \ {S ~: ~ B \ substeq S \ substeq X \ right \}}$

и подобным образом вниз замыкание на это Если (соотв. ) , то , как говорят, вверх закрытым (соответственно. вниз закрыта ) в${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ downarrow}: = \ left \ {S \ substeq B ~: ~ B \ in {\ mathcal {B}} \, \ right \} = \ bigcup _ {B \ in {\ mathcal {B}}} \ wp (B).}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ uparrow X} = {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ downarrow} = {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle X.}$

Для любых семей и заявляем, что ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}},}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$тогда и только тогда, когда для каждого существует такое, что${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F\subseteq C}$

или , что эквивалентно, если то тогда и только тогда , когда отношение определяет предпорядок на If , который с помощью определения , то , как говорят, подчиняется , а также тоньше и , как говорят, грубее Отношение называется подчинением . Два семейства и называются эквивалентными ( по подчинению ), если и${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \,\geq \,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}.}$

Фильтр на множестве${\displaystyle X}$ является непустым подмножеством , которое вверх замкнуто в замкнутых относительно конечных пересечениях, и не имеет пустое множество в качестве элемента (то есть ). Предварительный фильтр - это любое семейство наборов, которое эквивалентно (в отношении подчинения) некоторому фильтру или, что эквивалентно, это любое семейство наборов, закрытие которых вверх является фильтром. Семья является предфильтр, также называемый базис фильтра , тогда и только тогда , когда и для любого существует некоторые такие , что фильтр подоснова любое непустое семейство множеств с конечным свойством пересечения${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$; эквивалентно, это любое непустое семейство , которое содержится как подмножество некоторого фильтра (или предварительного фильтра), и в этом случае наименьший (относительно или ) содержащий фильтр называется фильтром ( on ), созданным с помощью . Набор всех фильтров (соответственно предварительных фильтров, суббазов фильтров, ультрафильтров ) будет обозначен (соответственно ). Основнымы или дискретный фильтр на в точке , является фильтром${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X),}$ ${\displaystyle \operatorname {FilterSubbases} (X),}$ ${\displaystyle \operatorname {UltraFilters} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$

Определение пространств (до) сходимости [ править ]

Для любого, если тогда определим${\displaystyle \xi \subseteq X\times \wp (\wp (X)),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\left\{x\in X~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}}$

а если затем определить${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }^{-1}(x):=\left\{{\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}}$

поэтому , если затем , если и только если Множество называется основным множеством из и обозначается ^[1]${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in X\times \wp (\wp (X))}$${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \left|\xi \right|:=X.}$

Preconvergence ^{[1] [+2] [4]} на непустое множестве является бинарным отношением со следующим свойством:${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$

1. Изотон : еслитоподразумевает${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}}$
   • На словах любая предельная точка обязательно является предельной точкой любого более тонкого / подчиненного семейства.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\geq {\mathcal {F}}.}$

и если дополнительно он обладает следующим свойством:

2. По центру : если то${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)}$
   • Другими словами, для любого главного / дискретного ультрафильтра at сходится к${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

то preconvergence называется сходимость ^[1] по А обобщенной сходимости или сходимости пространства (соответственно. preconvergence пространство ) является пара , состоящая из набора вместе с сходимости (соотв. preconvergence) на ^[1]${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Предсходимость может быть канонически расширена до отношения на, также обозначаемого посредством определения ^[1]${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle X\times \operatorname {Prefilters} (X),}$${\displaystyle \xi ,}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\lim {}_{\xi }\left({\mathcal {F}}^{\uparrow X}\right)}$

для всех Эта расширенная предварительная сходимость будет изотонной в том смысле, что если то влечет${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Prefilters} (X).}$${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X),}$${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Prefilters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}.}$

Примеры [ править ]

Сходимость, вызванная топологическим пространством [ править ]

Пусть будет топологическое пространство с If , то говорят, сходится к точке в письменном в случае , где обозначает окрестность фильтр из в множестве всех такое , что в обозначаемой или просто и элементах этого множества называются предельными точки из в ( канонический ) сходимость , связанная с или индуцированный является сходимость по обозначаться определена для всех${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X\neq \varnothing .}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {F}},}$${\displaystyle \lim {\mathcal {F}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \xi _{\tau },}$${\displaystyle x\in X}$и все от:${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}}$если и только если в${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

В равной степени он определяется для всех${\displaystyle \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}:=\lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$

(Пред) сходимость, индуцированная некоторой топологией на , называется топологической (пред) сходимостью ; в противном случае это называется нетопологической (пред) сходимостью . ${\displaystyle X}$

Мощность [ править ]

Пусть и топологические пространства , и пусть обозначит множество непрерывных отображений мощности относительно и является грубой топологией на том , что делает естественную связь в непрерывное отображение ^[2] Проблема нахождения власти не имеет решения , если не локально компактно . Однако, если искать сходимость вместо топологии, то всегда существует сходимость, которая решает эту проблему (даже без локальной компактности). ^[2] Другими словами, категория топологических пространств не является экспоненциальной категорией (т. Е. Или, что то же самое, не декартово замкнутой категорией).${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (Z,\sigma )}$${\displaystyle C:=C\left((X,\tau );(Z,\sigma )\right)}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Z,\sigma ).}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle =f(x)}$${\displaystyle (X,\tau )\times \left(C,\theta \right)\to (Z,\sigma ).}$${\displaystyle (X,\tau )}$), хотя он содержится в экспоненциальной категории псевдотопологий , которая сама является подкатегорией (также экспоненциальной) категории сходимостей. ^[2]

Другие названные примеры [ править ]

Стандартная сходимость на ℝ

Стандарт конвергенция на вещественной прямой${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ является конвергенция на определенные для всех , и все ^[1] по:${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\nu }{\mathcal {F}}}$ если и только если ${\displaystyle {\mathcal {F}}~\geq ~\left\{\left(x-{\frac {1}{n}},x+{\frac {1}{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \right\}.}$

Дискретная сходимость

Дискретный preconvergence на множество непустого определен для всех и всего ^[1] по:${\displaystyle \iota _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\iota _{X}}{\mathcal {F}}}$ если и только если ${\displaystyle {\mathcal {F}}~=~\{x\}^{\uparrow X}.}$

Preconvergence на конвергенцию тогда и только тогда , когда ^[1]${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \xi \leq \iota _{X}.}$

Пустая конвергенция

Пустой preconvergence на множество непусто определено для всех ^[1] по:${\displaystyle \varnothing _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \lim {}_{\varnothing _{X}}{\mathcal {F}}:=\emptyset .}$

Хотя это preconvergence на нем не конвергенция на пустом preconvergence на не является топологическим preconvergence , потому что для каждой топологии на окрестности фильтра в любой заданной точке обязательно сходится к в${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X\neq \varnothing }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

Хаотическая конвергенция

Хаотичный preconvergence на множество непусто определен для всех ^[1] по: хаотичный preconvergence на равно канонической сходимости , индуцированной при наделено антидискретных топологии .${\displaystyle o_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \lim {}_{o_{X}}{\mathcal {F}}:=X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Свойства [ править ]

Предварительная сходимость на непустом множестве называется Хаусдорфовой или T _2, если это одноэлементное множество для всех ^[1] Она называется T _1, если для всех, и T _0, если для всех различных ^[1] Каждая предварительная сходимость T _{1 на} множестве конечное множество хаусдорфово. ^[1] Всякая T _1- сходимость на конечном множестве дискретна. ^[1]${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$${\displaystyle \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)\subseteq \{x\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(x)\neq \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$

Хотя категория топологических пространств не является экспоненциальной (т. Е. Декартовой замкнутой ), ее можно расширить до экспоненциальной категории с помощью подкатегории пространств сходимости. ^[2]

См. Также [ править ]

• Пространство Коши
• Конвергентный фильтр
• Пространство близости  - структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.
• Топологическое пространство  - Математическая структура с понятием близости.

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]