Сходимость по мере

Сходимость по мере - это одно из двух различных математических понятий, каждое из которых обобщает понятие сходимости по вероятности .

Определения [ править ]

Позвольте быть измеримыми функциями на пространстве меры . Последовательность называется сходятся во всем мире в меру , чтобы , если для каждого ,${\displaystyle f,f_{n}\ (n\in \mathbb {N} ):X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0}$,

и сходиться локально в меру к if для всех и каждого с ,${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle F\in \Sigma }$${\displaystyle \mu (F)<\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in F:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0}$.

Сходимость по мере может относиться либо к глобальной сходимости по мере, либо к локальной сходимости по мере, в зависимости от автора.

Свойства [ править ]

Всюду, е и ф _п ( п N ) измеримы функции X → R .${\displaystyle \in }$

• Глобальная сходимость по мере подразумевает локальную сходимость по мере. Обратное, однако, неверно; т. е. локальная сходимость по мере, вообще говоря, строго слабее, чем глобальная сходимость по мере.
• Если, однако, или, в более общем смысле, если f и все f _n обращаются в нуль вне некоторого набора конечной меры, то различие между локальной и глобальной сходимостью по мере исчезает.${\displaystyle \mu (X)<\infty }$
• Если μ является σ -конечной и ( е _п ) сходится (локально или глобально) , чтобы е в меру, существует подпоследовательность , сходящаяся к е почти всюду . Предположение о σ -конечности не обязательно в случае глобальной сходимости по мере.
• Если μ является σ -конечной ( е _п ) сходится к е локально в меру тогда и только тогда , когда каждая подпоследовательность в свою очередь подпоследовательность , которая сходится к ф почти всюду.
• В частности, если ( f _n ) сходится к f почти всюду, то ( f _n ) сходится к f локально по мере. Обратное неверно.
• Лемма Фату и теорема о монотонной сходимости верны, если почти всюду сходимость заменить сходимостью (локальной или глобальной) сходимостью по мере. ^{[ требуется разъяснение ]}
• Если μ является σ -конечной, Лебега мажорируемой сходимости теорема также имеет место , если сходимость почти всюду заменяется (локальной или глобальной) сходимости по мере. ^{[ требуется разъяснение ]}
• Если X = [ a , b ] ⊆ R и μ - мера Лебега , существуют последовательности ( g _n ) ступенчатых функций и ( h _n ) непрерывных функций, глобально сходящиеся по мере к f . ^{[ требуется разъяснение ]}
• Если f и f _n ( n ∈ N ) лежат в L ^p ( μ ) для некоторого p > 0 и ( f _n ) сходится к f по p -норме, то ( f _n ) сходится к f глобально по мере. Обратное неверно.
• Если f _n сходится к f по мере и g _n сходится к g по мере, то f _n + g _n сходится к f + g по мере. Кроме того, если пространство с мерой конечно, f _n g _n также сходится к fg .

Контрпримеры [ править ]

Пусть , μ быть мера Лебега, а е постоянной функции с нулевым значением.${\displaystyle X=\mathbb {R} }$

• Последовательность сходится к f локально по мере, но не сходится к f глобально по мере.${\displaystyle f_{n}=\chi _{[n,\infty )}}$
• Последовательность где и (первые пять членов которой равны ) сходится к 0 глобально по мере; но для любого x не сходится ли f _n (x) к нулю. Следовательно, (f _n ) почти всюду не сходится к f .${\displaystyle f_{n}=\chi _{\left[{\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}\right]}}$${\displaystyle k=\lfloor \log _{2}n\rfloor }$${\displaystyle j=n-2^{k}}$${\displaystyle \chi _{\left[0,1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{2}},1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]}}$

• Последовательность сходится к f почти всюду и глобально по мере, но не по p -норме ни при каких .${\displaystyle f_{n}=n\chi _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}}$${\displaystyle p\geq 1}$

Топология [ править ]

На наборе измеримых функций из X существует топология , называемая топологией (локальной) сходимости по мере , такая, что локальная сходимость по мере соответствует сходимости по этой топологии. Эта топология определяется семейством псевдометрики

${\displaystyle \{\rho _{F}:F\in \Sigma ,\ \mu (F)<\infty \},}$

где

${\displaystyle \rho _{F}(f,g)=\int _{F}\min\{|f-g|,1\}\,d\mu }$.

В общем, можно ограничиться некоторым подсемейством множеств F (вместо всех возможных подмножеств конечной меры). Достаточно, чтобы для каждой конечной меры и в семействе существовала F такая, что Когда , мы можем рассматривать только одну метрику , поэтому топология сходимости в конечной мере метризуема. Если - произвольная мера конечна или нет, то${\displaystyle G\subset X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \mu (G\setminus F)<\varepsilon .}$${\displaystyle \mu (X)<\infty }$${\displaystyle \rho _{X}}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle d(f,g):=\inf \limits _{\delta >0}\mu (\{|f-g|\geq \delta \})+\delta }$

по-прежнему определяет метрику, которая порождает глобальную сходимость по мере. ^[1]

Поскольку эта топология порождается семейством псевдометрики, она униформизуема . Работа с единообразными структурами вместо топологий позволяет нам формулировать единообразные свойства, такие как Кошинесс .

См. Также [ править ]

• Пространство конвергенции

Ссылки [ править ]

• Д.Х. Фремлин, 2000. Теория меры . Торрес Фремлин.
• HL Royden, 1988. Реальный анализ . Прентис Холл.
• GB Folland 1999, раздел 2.4. Реальный анализ . Джон Вили и сыновья.