Конвергенция мер

В математике , точнее в теории меры , существуют различные понятия сходимости мер . Для интуитивно понятного общего смысла того, что подразумевается под сходимостью по мере , рассмотрим последовательность мер μ _n на пространстве, разделяющую общий набор измеримых множеств. Такая последовательность может представлять собой попытку построить «все лучше и лучше» приближения к желаемой мере μ, которую трудно получить напрямую. Значение слова «лучше и лучше» подчинено всем обычным оговоркам в отношении ограничения ; для любой допустимой погрешности ε> 0 требуется, чтобы число N было достаточно большим для n ≥ Nчтобы «разница» между μ _n и μ была меньше ε. Различные понятия конвергенции точно определяют, что должно означать слово «различие» в этом описании; эти понятия не эквивалентны друг другу и различаются по силе.

Ниже описаны три наиболее распространенных понятия конвергенции.

Неофициальные описания [ править ]

В этом разделе делается попытка дать приблизительное интуитивное описание трех понятий конвергенции, используя терминологию, разработанную в курсах математического анализа; этот раздел обязательно является неточным, а также неточным, и читателю следует обратиться к формальным пояснениям в последующих разделах. В частности, описания здесь не касаются возможности того, что мера некоторых множеств может быть бесконечной или что лежащее в основе пространство может демонстрировать патологическое поведение, и для некоторых утверждений необходимы дополнительные технические предположения. Однако утверждения в этом разделе верны, если это последовательность вероятностных мер на польском пространстве .${\ displaystyle \ mu _ {n}}$

Различные понятия сходимости формализуют утверждение, что «среднее значение» каждой «достаточно хорошей» функции должно сходиться:

${\ Displaystyle \ int е \, d \ mu _ {n} \ to \ int f \, d \ mu}$

Чтобы формализовать это, требуется тщательная спецификация рассматриваемого набора функций и того, насколько равномерной должна быть сходимость.

Понятие слабой сходимости требует, чтобы эта сходимость имела место для любой непрерывной ограниченной функции . Это понятие рассматривает сходимость для разных функций f независимо друг от друга, т.е. разные функции f могут требовать, чтобы разные значения N  ≤  n были одинаково хорошо аппроксимированы (таким образом, сходимость неоднородна по ).${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Понятие множественной сходимости формализует утверждение, что мера каждого измеримого множества должна сходиться:

${\ Displaystyle \ му _ {п} (А) \ к \ му (А)}$

Опять же, не требуется единообразия по набору . Интуитивно, рассматривая интегралы от «хороших» функций, это понятие обеспечивает больше единообразия, чем слабая сходимость. Фактически, при рассмотрении последовательностей мер с равномерно ограниченной вариацией на польском пространстве из множественной сходимости следует сходимость для любой ограниченной измеримой функции . Как и раньше, эта сходимость неравномерна по${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ int е \, d \ mu _ {n} \ to \ int f \, d \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Понятие сходимости полной вариации формализует утверждение, что мера всех измеримых множеств должна сходиться равномерно , т. Е. Для каждого существует N такое, что для любого n> N и для любого измеримого множества . Как и раньше, это означает сходимость интегралов относительно ограниченных измеримых функций, но на этот раз сходимость равномерна по всем функциям, ограниченным любой фиксированной константой.${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle | \ mu _ {n} (A) - \ mu (A) | <\ epsilon}$${\ displaystyle A}$

Полная вариационная сходимость мер [ править ]

Это самое сильное понятие сходимости, показанное на этой странице, и определяется следующим образом. Позвольте быть измеримым пространством . Общее изменение расстояния между двумя (положительных) мер ц и ν затем дается${\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}})}$

${\displaystyle \left\|\mu -\nu \right\|_{\text{TV}}=\sup _{f}\left\{\int _{X}f\,d\mu -\int _{X}f\,d\nu \right\}.}$

Здесь супремум берется по f в пределах множества всех измеримых функций от X до [−1, 1]. Это контрастирует, например, с метрикой Вассерштейна , где определение имеет ту же форму, но супремум берется по f в пределах множества измеримых функций от X до [−1, 1], которые имеют константу Липшица в самый 1; а также в отличие от метрики Радона , где супремум берется по f в пределах множества непрерывных функций от X до [−1, 1]. В случае, когда X - польское пространство, метрика полной вариации совпадает с метрикой Радона.

Если μ и ν являются вероятностными мерами , то полное расстояние вариации также определяется выражением

${\displaystyle \left\|\mu -\nu \right\|_{\text{TV}}=2\cdot \sup _{A\in {\mathcal {F}}}|\mu (A)-\nu (A)|.}$

Эквивалентность этих двух определений можно рассматривать как частный случай двойственности Монжа-Канторовича . Из двух приведенных выше определений ясно, что общее расстояние вариации между вероятностными мерами всегда находится между 0 и 2.

Чтобы проиллюстрировать значение общей дистанции вариации, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Предположим , что заданы две вероятностные меры μ и v, а также случайная величина X . Мы знаем, что X имеет закон либо µ, либо ν, но не знаем, какой из них. Предположим , что эти два показателя имеют априорные вероятности 0,5 каждая быть истинным законом X . Предположим теперь, что нам дана одна единственная выборка, распределенная согласно закону X, и что затем нас просят угадать, какое из двух распределений описывает этот закон. Количество

${\displaystyle {2+\|\mu -\nu \|_{\text{TV}} \over 4}}$

затем дает точную верхнюю границу априорной вероятности того, что наше предположение будет правильным.

Учитывая вышеприведенное определение расстояния полной вариации, говорят , что последовательность мер μ _n, определенных в одном и том же пространстве мер, сходится к мере μ на расстоянии полной вариации, если для каждого ε  > 0 существует такое N , что для всех n  >  N , есть что ^[1]

${\displaystyle \|\mu _{n}-\mu \|_{\text{TV}}<\varepsilon .}$

Множественная сходимость мер [ править ]

Для получения более измеримого пространства , последовательность М _п сходится setwise к пределу ц , если${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A)=\mu (A)}$

за каждый комплект .${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

Например, как следствие леммы Римана – Лебега последовательность μ _n мер на интервале [−1, 1], заданная как μ _n ( dx ) = (1+ sin ( nx )) dx, множественно сходится к мере Лебега , но он не сходится в полной вариации.

Слабая сходимость мер [ править ]

В математике и статистике , слабая сходимость является одним из многих видов сходимости , относящихся к сходимости мер . Это зависит от топологии основного пространства и, следовательно, не является чисто теоретическим понятием.

Существует несколько эквивалентных определений слабой сходимости последовательности мер, некоторые из которых (по-видимому) более общие, чем другие. Эквивалентность этих условий иногда называют теоремой Портманто . ^[2]

Определение. Пусть - метрическое пространство со своей борелевской -алгеброй . Ограниченная последовательность положительных вероятностных мер на называется слабо сходящейся к конечной положительной мере (обозначается ), если выполняется любое из следующих эквивалентных условий (здесь обозначает математическое ожидание или норму относительно , а обозначает математическое ожидание или норму относительно ):${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P_{n}\,(n=1,2,\dots )}$${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}$${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}[f]\to \operatorname {E} [f]}$для всех ограниченных , непрерывных функций ;${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}[f]\to \operatorname {E} [f]}$для всех ограниченных и липшицевых функций ;${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \limsup \operatorname {E} _{n}[f]\leq \operatorname {E} [f]}$для каждой верхней полунепрерывной функции ограниченной сверху;${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \liminf \operatorname {E} _{n}[f]\geq \operatorname {E} [f]}$для любой ограниченной снизу полунепрерывной функции ;${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \limsup P_{n}(C)\leq P(C)}$для всех закрытых пространств ;${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle \liminf P_{n}(U)\geq P(U)}$для всех открытых пространств ;${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle \lim P_{n}(A)=P(A)}$для всех непрерывных множеств меры .${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$

В случае с его обычной топологией, если и обозначают кумулятивные функции распределения мер и , соответственно, то слабо сходится к тогда и только тогда, когда для всех точек, в которых является непрерывным.${\displaystyle S\equiv \mathbf {R} }$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$${\displaystyle x\in \mathbf {R} }$${\displaystyle F}$

Например, последовательность, где находится мера Дирака, расположенная в, слабо сходится к мере Дирака, расположенной в 0 (если мы рассматриваем их как меры on с обычной топологией), но она не сходится множественно. Это интуитивно понятно: мы знаем только то, что «близко» к, из-за топологии .${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

Это определение слабой сходимости можно распространить на любое метризуемое топологическое пространство . Он также определяет слабую топологию на множестве всех вероятностных мер, определенных на . Слабая топология порождается следующим базисом открытых множеств:${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle (S,\Sigma )}$

${\displaystyle \left\{U_{\phi ,x,\delta }\left|{\begin{array}{c}\phi \colon S\to \mathbf {R} {\text{ is bounded and continuous,}}\\x\in \mathbf {R} {\text{ and }}\delta >0\end{array}}\right.\right\},}$

куда

${\displaystyle U_{\phi ,x,\delta }:=\left\{\mu \in {\boldsymbol {P}}(S)\left|\left|\int _{S}\phi \,\mathrm {d} \mu -x\right|<\delta \right.\right\}.}$

Если также сепарабельно , то метризуемо и сепарабельно, например, по метрике Леви – Прохорова , если также компактно или польско , то является .${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

Если отделимо, то естественно вкладывается в качестве (закрытый) набор мер Дирак , и его выпуклая оболочка является плотной .${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

Для такого рода сходимости существует множество «обозначений стрелок»: наиболее часто используются , и .${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}$${\displaystyle P_{n}\rightharpoonup P}$${\displaystyle P_{n}{\xrightarrow {\mathcal {D}}}P.}$

Слабая сходимость случайных величин [ править ]

Позвольте быть вероятностным пространством и X быть метрическим пространством. Если X _n , X : Ω → X - последовательность случайных величин, то говорят, что X _n слабо сходится (либо по распределению, либо по закону ) к X при n → ∞, если последовательность прямых мер ( X _n ) _∗ ( P ) слабо сходится к X _∗ ( P${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$) в смысле слабой сходимости мер на X , как это определено выше.

См. Также [ править ]

• Сходимость случайных величин
• Теорема Прохорова
• Метрика Леви – Прохорова
• Жесткость мер

Ссылки [ править ]

• Амбросио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер . Базель: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-00710-2.
• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-19745-9.

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )