В математике (в частности, в теории меры ) мера Радона , названная в честь Иоганна Радона , представляет собой меру на σ-алгебре борелевских множеств хаусдорфова топологического пространства X , которая конечна на всех компактах , внешне регулярна на всех борелевских множествах, и внутренний регуляр на открытых множествах. [1] Эти условия гарантируют, что мера «совместима» с топологией пространства и большинством мер, используемых в математическом анализе и теории чисел .действительно являются мерами Радона.
Общая проблема состоит в том, чтобы найти хорошее понятие меры на топологическом пространстве , которое в некотором смысле совместимо с топологией. Один из способов сделать это — определить меру на борелевских множествах топологического пространства. В целом с этим связано несколько проблем: например, такая мера может не иметь четко определенной поддержки . Другой подход к теории меры состоит в том, чтобы ограничиться локально компактными хаусдорфовыми пространствами и рассматривать только те меры, которые соответствуют положительным линейным функционалам на пространстве непрерывных функций .с компактным носителем (некоторые авторы используют это как определение меры Радона). Это дает хорошую теорию без патологических проблем, но неприменимо к пространствам, которые не являются локально компактными. Если нет ограничений на неотрицательные меры и разрешены комплексные меры, то меры Радона можно определить как непрерывное двойственное пространство на пространстве непрерывных функций с компактным носителем. Если такая мера Радона действительна, то ее можно разложить на разность двух положительных мер. Кроме того, произвольную меру Радона можно разложить на четыре положительные меры Радона, где действительная и мнимая части функционала представляют собой разности двух положительных мер Радона.
Теория мер Радона обладает большинством хороших свойств обычной теории для локально компактных пространств, но применима ко всем хаусдорфовым топологическим пространствам. Идея определения меры Радона состоит в том, чтобы найти некоторые свойства, характеризующие меры на локально компактных пространствах, соответствующих положительным функционалам, и использовать эти свойства в качестве определения меры Радона на произвольном хаусдорфовом пространстве.
Мера m называется внутренней регулярной или тесной , если для любого открытого множества U m ( U ) является супремумом m ( K ) по всем компактным подмножествам K множества U.
Мера m называется внешней регулярной , если для любого борелевского множества B m ( B ) является инфимумом m ( U ) по всем открытым множествам U , содержащим B.
Мера m называется локально конечной , если каждая точка X имеет окрестность U , для которой m ( U ) конечно.