Опора (теория меры)

В математике , то поддержка (иногда топологическая поддержка или спектр ) из меры ц на измеримое топологическом пространстве ( X , Борель ( Х )) является точным понятием , где в пространстве X Мера «живет». Она определяется как наибольшее ( замкнутое ) подмножество в X , для которого каждая открытая окрестность каждой точки множества имеет положительную меру.

Мотивация [ править ]

(Неотрицательная) мера на измеримом пространстве на самом деле является функцией . Поэтому, с точки зрения обычного определения в поддержке , поддержка является подмножеством сг-алгебры :${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,+\infty ]}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\bigcap \{A={\overline {A}}\in \Sigma \mid \mu (A^{c})=0\},}$

где черта сверху означает закрытие множества . Однако это определение несколько неудовлетворительно: мы используем понятие замыкания, но у нас даже нет топологии . Что мы действительно хотим знать, так это где в пространстве мера отлична от нуля. Рассмотрим два примера:${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$

1. Мера Лебега на прямой . Кажется очевидным, что «живет» вся реальная линия.${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \lambda }$
2. В какой-то момент мера Дирака . Опять же, интуиция подсказывает, что мера «живет» в одной точке и больше нигде.${\displaystyle \delta _{p}}$${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \delta _{p}}$${\displaystyle p}$

В свете этих двух примеров мы можем отклонить следующие определения кандидатов в пользу того, что приведено в следующем разделе:

1. Мы могли бы удалить точки, где равно нулю, и принять опору за остаток . Это может сработать для меры Дирака , но определенно не сработает : поскольку мера Лебега любого синглтона равна нулю, это определение даст пустую поддержку.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X\setminus \{x\in X\mid \mu (\{x\})=0\}}$${\displaystyle \delta _{p}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$
2. По сравнению с понятием строгой положительности мер, мы могли бы принять за носитель множество всех точек с окрестностью положительной меры:

${\displaystyle \{x\in X\mid {\text{for some open }}N_{x}\ni x,\mu (N_{x})>0\}}$

(или закрытие этого). Это также слишком упрощенно: взяв за все точки , это сделает поддержку каждой меры, кроме нулевой меры, всей .${\displaystyle N_{x}=X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$

Однако идея «локальной строгой позитивности» не так уж далека от рабочего определения:

Определение [ править ]

Пусть ( Х ,  Т ) есть топологическое пространство ; пусть B ( T ) обозначит Борель а-алгебру на X , то есть наималейшая сигма - алгебра на X , который содержит все открытые множества U  ∈  T . Пусть μ - мера на ( X , B ( T )). Тогда поддержка (или спектр ) от ц определяется как множество всех точек х в X , для которых каждое открытое окрестность Н _х из х имеетположительная мера:

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\{x\in X\mid x\in N_{x}\in T\implies \mu (N_{x})>0\}.}$

Некоторые авторы предпочитают брать замыкание из вышеперечисленного. Однако в этом нет необходимости: см. «Свойства» ниже.

Эквивалентное определение носителя - это наибольшее C  ∈ B ( T ) (относительно включения) такое, что каждое открытое множество, имеющее непустое пересечение с C, имеет положительную меру, т. Е. Наибольшее C такое, что:

${\displaystyle (\forall U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).}$

Свойства [ править ]

• ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu _{1}+\mu _{2})=\operatorname {supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})}$
• Мера μ на X строго положительно тогда и только тогда , когда она имеет поддержку Supp ( М ) =  X . Если μ строго положительно и x  ∈  X произвольно, то любая открытая окрестность x , поскольку это открытое множество , имеет положительную меру; следовательно, х  ∈ Supp ( μ ), так что Supp ( ц ) =  X . Наоборот, если supp ( μ ) =  X, то каждое непустое открытое множество (являющееся открытой окрестностью некоторой точки внутри себя, которая также является точкой опоры) имеет положительную меру; следовательно, μ строго положительно.
• Носитель меры замкнут в X, так как его дополнение есть объединение открытых множеств меры 0.
• В общем случае носитель ненулевой меры может быть пустым: см. Примеры ниже. Однако, если X - топологическое хаусдорфово пространство, а μ - мера Радона , измеримое множество A вне носителя имеет нулевую меру :

${\displaystyle A\subseteq X\setminus \operatorname {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.}$

Обратное верно, если A открыто, но в целом неверно: это неверно, если существует точка x  ∈ supp ( μ ) такая, что μ ({ x }) = 0 (например, мера Лебега).

Таким образом, нет необходимости «интегрировать за пределами поддержки»: для любой измеримой функции F  :  X  →  R или C ,

${\displaystyle \int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\operatorname {supp} (\mu )}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x).}$

• Концепция поддержки меры и что из спектра в виде линейного самосопряженного оператора на гильбертовом пространстве тесно связаны между собой . Действительно, если - регулярная борелевская мера на прямой , то оператор умножения самосопряжен в своей естественной области определения${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (Af)(x)=xf(x)}$

${\displaystyle D(A)=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}}$

и его спектр совпадает с существенным диапазоном тождественной функции , которая и является опорой . ^[1]${\displaystyle x\mapsto x}$${\displaystyle \mu }$

Примеры [ править ]

Мера Лебега [ править ]

В случае меры Лебега Х на вещественной прямой R , рассмотрим произвольную точку х  ∈  R . Тогда любая открытая окрестность N _х из х должен содержать некоторый открытый интервал ( х  -  ε ,  х  +  ε ) для некоторого ε  > 0. Этот интервал имеет меру Лебега 2 ε  > 0, так что λ ( N _х ) ≥ 2 ε  > 0. Так как х  ∈  R было произвольным, Supp ( λ ) =  R .

Мера Дирака [ править ]

В случае меры Дирака δ _p пусть x  ∈  R и рассмотрим два случая:

1. если х  =  р , то каждая открытая окрестность Н _х из й содержит р , так что δ _р ( Н _х ) = 1> 0;
2. с другой стороны, если x  ≠  p , то существует достаточно малый открытый шар B вокруг x , не содержащий p , поэтому δ _p ( B ) = 0.

Мы заключаем, что supp ( δ _p ) - это замыкание одноэлементного множества { p }, которое само является { p }.

Фактически, мера μ на вещественной прямой является мерой Дирака δ _p для некоторой точки p тогда и только тогда, когда носитель μ является одноэлементным множеством { p }. Следовательно, мера Дирака на действительной прямой является единственной мерой с нулевой дисперсией [при условии, что эта мера вообще имеет дисперсию].

Равномерное распределение [ править ]

Рассмотрим меру μ на вещественной прямой R, заданную формулой

${\displaystyle \mu (A):=\lambda (A\cap (0,1))}$

т.е. равномерная мера на открытом интервале (0, 1). Рассуждение, аналогичное примеру меры Дирака, показывает, что supp ( μ ) = [0, 1]. Обратите внимание, что граничные точки 0 и 1 лежат в опоре: любое открытое множество, содержащее 0 (или 1), содержит открытый интервал около 0 (или 1), который должен пересекать (0, 1), и поэтому должен иметь положительную μ -меру .

Нетривиальная мера, носитель которой пуст [ править ]

Пространство всех счетных ординалов с топологией, порожденной «открытыми интервалами», является локально компактным хаусдорфовым пространством. Мера («мера Дьедонне»), которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является вероятностной борелевской мерой, носитель которой пуст.

Нетривиальная мера, носитель которой имеет нулевую меру [ править ]

На компактном хаусдорфовом пространстве носитель ненулевой меры всегда непуст, но может иметь меру 0. Пример этого дается добавлением первого несчетного ординала Ω к предыдущему примеру: носитель меры - это единственная точка Ω, имеющая меру 0.

Подписанные и сложные меры [ править ]

Предположим, что μ  : Σ → [−∞, + ∞] - знаковая мера . Используйте теорему о разложении Хана, чтобы написать

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-},}$

где μ ^± - неотрицательные меры. Тогда поддержка от ц определяется как

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\operatorname {supp} (\mu ^{+})\cup \operatorname {supp} (\mu ^{-}).}$

Аналогичным образом , если μ  : Σ →  C является комплексной мерой , то поддержка от ц определяется быть объединением опора его действительным и мнимых части.

Ссылки [ править ]

• Амбросио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. ISBN 3-7643-2428-7.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Партасарати, КР (2005). Вероятностные меры на метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд. п. xii + 276. ISBN 0-8218-3889-X. Руководство по ремонту 2169627 (см. Главу 2, раздел 2.)
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы квантовой механики с приложениями к операторам Шредингера . AMS.(См. Главу 3, раздел 2)