Мера Дирака

Диаграмма, показывающая все возможные подмножества трехточечного множества { x , y , z } . Мера Дирака δ _x присваивает размер 1 всем множествам в верхней левой половине диаграммы и 0 всем множествам в нижней правой половине.

В математике , А мера Дирака присваивает размер к набору исключительно на основании того, содержит ли он фиксированный элемент х или нет. Это один из способов формализации идеи дельта-функции Дирака , важного инструмента в физике и других технических областях.

Определение [ править ]

Мера Дирака является мерой δ _х на множество X (с любым σ - алгеброй из подмножеств из X ) , определенных для данного х ∈ X и любого (измеримый) набор A ⊆ X с помощью

${\ displaystyle \ delta _ {x} (A) = 1_ {A} (x) = {\ begin {cases} 0, & x \ not \ in A; \\ 1, & x \ in A. \ end {cases} }}$

где 1 является функцией индикатора из A .

Мера Дирака является вероятностной мерой , так и с точки зрения вероятности представляет собой почти верный исход х в выборочном пространстве X . Мы также можем сказать, что мера - это отдельный атом в точке x ; однако рассматривать меру Дирака как атомарную меру неверно, когда мы рассматриваем последовательное определение дельты Дирака как предел дельта-последовательности . Меры Дирака являются крайними точками выпуклого множества вероятностных мер на X .

Название является бэк-формацией дельта-функции Дирака , рассматриваемой как распределение Шварца , например, на реальной линии ; меры могут быть особым видом распределения. Личность

${\displaystyle \int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),}$

который в виде

${\displaystyle \int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),}$

часто считается частью определения «дельта-функции», как теоремы интегрирования Лебега .

Свойства меры Дирака [ править ]

Обозначим через δ _x меру Дирака с центром в некоторой фиксированной точке x некоторого измеримого пространства ( X , Σ ) .

• δ _x - вероятностная мера и, следовательно, конечная мера .

Предположим , что ( Х , Т ) является топологическое пространство и что Σ , по крайней мере так хорошо , как в борелевском сг - алгебры сг ( Т ) на X .

• δ _x является строго положительной мерой тогда и только тогда, когда топология T такова, что x лежит внутри любого непустого открытого множества, например, в случае тривиальной топологии {∅, X } .
• Поскольку δ _x - вероятностная мера, она также является локально конечной мерой .
• Если X - хаусдорфово топологическое пространство со своей борелевской σ -алгеброй, то δ _x удовлетворяет условию того, чтобы быть внутренней регулярной мерой , поскольку одноэлементные множества, такие как { x } , всегда компактны . Следовательно, δ _x также является мерой Радона .
• Предполагая , что топология Т отлично достаточно того, что { х } замкнуто, что имеет место в большинстве приложений, то поддержка из δ _х является { х } . (В противном случае supp ( δ _x ) является замыканием { x } в ( X , T ) .) Кроме того, δ _x - единственная вероятностная мера, носитель которой равен { x } .
• Если X - это n -мерное евклидово пространство ℝ ⁿ с его обычной σ- алгеброй и n -мерной мерой Лебега λ ⁿ , то δ _x - особая мера относительно λ ⁿ : просто разложите ℝ ⁿ как A = ℝ ⁿ \ { x } и B = { x } и заметим, что δ _x ( A ) = λ ⁿ( В ) = 0 .
• Мера Дирака - это сигма-конечная мера

Обобщения [ править ]

Дискретная мера аналогична мера Дирака, за исключением того, что оно сосредоточено на счетно многие точках вместо одной точки. Более формально мера на вещественной прямой называется дискретной мерой (по отношению к мере Лебега ), если ее носитель - не более чем счетное множество .

См. Также [ править ]

• Дискретная мера
• Дельта-функция Дирака

Ссылки [ править ]

• Дьедонне, Жан (1976). «Примеры мер». Трактат по анализу, часть 2 . Академическая пресса. п. 100. ISBN 0-12-215502-5.
• Бенедетто, Джон (1997). «§2.1.3 Определение, δ ». Гармонический анализ и приложения . CRC Press. п. 72. ISBN 0-8493-7879-6.