Сингулярная мера

В математике две положительные (или знаковые, или комплексные ) меры μ и ν, определенные на измеримом пространстве (Ω, Σ), называются сингулярными, если существуют два непересекающихся множества A и B в Σ, объединение которых есть Ω, такое, что μ равен нулю на всех измеримых подмножеств B , а ν равна нулю на всех измеримых подмножеств A . Это обозначается ${\ displaystyle \ mu \ perp \ nu.}$

Уточненная форма теоремы Лебега о разложении разлагает особую меру на сингулярную непрерывную меру и дискретную меру . См. Примеры ниже.

Примеры на R ⁿ [ править ]

Как частный случай, мера, определенная на евклидовом пространстве , называется особой , если она сингулярна относительно меры Лебега на этом пространстве. Например, дельта-функция Дирака - особая мера.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пример. Дискретная мера .

Ступенчатую функцию Хевисайда на вещественной прямой ,

${\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}}$

имеет дельта-распределение Дирака в качестве производной по распределению . Это мера на вещественной прямой, « точечная масса » в 0. Однако мера Дирака не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега и не является абсолютно непрерывной относительно : но ; если есть любое открытое множество, не содержащее 0, то но .${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \delta _{0}}$${\displaystyle \lambda (\{0\})=0}$${\displaystyle \delta _{0}(\{0\})=1}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \lambda (U)>0}$${\displaystyle \delta _{0}(U)=0}$

Пример. Особая непрерывная мера.

Распределение Кантора имеет кумулятивную функцию распределения, которая является непрерывной, но не абсолютно непрерывной , и действительно, ее абсолютно непрерывная часть равна нулю: она сингулярно непрерывна.

Пример. Особая непрерывная мера на R ² .

Верхняя и нижняя границы Фреше – Хёффдинга являются сингулярными распределениями в двух измерениях.

См. Также [ править ]

• Теорема разложения Лебега
• Абсолютно непрерывный
• Сингулярное распределение

Ссылки [ править ]

• Эрик Вайсштейн, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-347-2 .
• Дж. Тейлор, Введение в измерение и вероятность , Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9 . 

Эта статья включает в себя материал из единственной меры по PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .