В математике , точнее в теории меры , мера на вещественной прямой называется дискретной мерой (по отношению к мере Лебега ), если она сосредоточена на не более чем счетном множестве . Обратите внимание, что опора не обязательно должна быть дискретной . Геометрически дискретная мера (на вещественной прямой относительно меры Лебега) представляет собой набор точечных масс.
Определение и свойства
Мера на измеримых по Лебегу множествах вещественной прямой со значениями вназывается дискретным, если существует (возможно, конечная) последовательность чисел
такой, что
Простейшим примером дискретной меры на вещественной прямой является дельта-функция Дирака Надо а также
В более общем смысле, если представляет собой (возможно, конечную) последовательность действительных чисел, это последовательность чисел в такой же длины можно рассматривать меры Дирака определяется
для любого измеримого по Лебегу множества Тогда мера
дискретная мера. Фактически, можно доказать, что любая дискретная мера на вещественной прямой имеет такой вид для правильно выбранных последовательностей а также
Расширения
Можно распространить понятие дискретных мер на более общие пространства с мерой . Учитывая измеримое пространство и две меры а также в теме, называется дискретным относительно если существует не более чем счетное подмножество из такой, что
- Все синглтоны с участием в измеримы (что означает, что любое подмножество измеримо)
Обратите внимание, что первые два требования всегда выполняются для не более чем счетного подмножества реальной строки, если является мерой Лебега, поэтому в первом определении, приведенном выше, в них не было необходимости.
Как и в случае с мерами на действительной прямой, мера на дискретна относительно другой меры на том же пространстве тогда и только тогда, когда имеет форму
где синглтоны находятся в и их мера равна 0.
Можно также определить понятие дискретности для подписанных мер . Тогда вместо условий 2 и 3 следует спросить, что равняться нулю на всех измеримых подмножествах а также равняться нулю на измеримых подмножествах
Рекомендации
- Курбатов, В.Г. (1999). Функционально-дифференциальные операторы и уравнения . Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5624-1.
Внешние ссылки
- А.П. Терехин (2001) [1994], «Дискретная мера» , Энциклопедия математики , EMS Press