В математике , точнее в теории меры , теорема Лебега о разложении [1] [2] [3] утверждает, что для любых двух σ-конечных мер со знаком а также на измеримом пространстве существуют две σ-конечные знаковые меры а также такой, что:
- (это, является абсолютно непрерывна относительно)
- (это, а также являются сингулярными ).
Эти две меры однозначно определяются а также .
Уточнение
Теорема Лебега о разложении может быть уточнена несколькими способами.
Во-первых, можно уточнить разложение особой части регулярной борелевской меры на вещественной прямой : [4]
где
- ν cont - абсолютно непрерывная часть
- ν sing - особая непрерывная часть
- ν pp - чисто точечная часть ( дискретная мера ).
Во-вторых, абсолютно непрерывные меры классифицируются теоремой Радона – Никодима , и дискретные меры легко понять. Следовательно (не считая сингулярных непрерывных мер) разложение Лебега дает очень явное описание мер. Мера Кантор ( вероятностная мера на вещественной оси которой совокупная функция распределения является функцией Кантора ) является примером сингулярного непрерывного измерения.
Связанные понятия
Разложение Леви – Ито
Аналогично [ править ] разложение в течение стохастических процессов является разложение Леви-Ито : дан процесс Леви X, она может быть разложена в виде суммы трех независимых процессов Леви где:
- - броуновское движение со сносом, соответствующее абсолютно непрерывной части;
- - сложный пуассоновский процесс , соответствующий чисто точечной части;
- представляет собой суммируемый с квадратом мартингал чистого скачка, который почти наверняка имеет счетное число скачков на конечном интервале, соответствующем сингулярной непрерывной части.
Смотрите также
- Разложение спектра
- Теорема Хана о разложении и соответствующая теорема Жордана о разложении
Цитаты
- ^ ( Халмос 1974 , раздел 32, теорема C)
- ^ ( Хьюитт и Стромберг 1965 , глава V, § 19, (19.42) Теорема Лебега о разложении)
- ^ ( Рудин 1974 , раздел 6.9, Теорема Лебега-Радона-Никодима)
- ^ ( Хьюитт и Стромберг 1965 , глава V, § 19, (19.61) теорема)
Рекомендации
- Халмос, Пол Р. (1974) [1950], Теория меры , Тексты для выпускников по математике , 18 , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, Руководство по ремонту 0033869 , Zbl 0283.28001
- Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ. Современное рассмотрение теории функций действительной переменной , Тексты для выпускников по математике, 25 , Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, Руководство по ремонту 0188387 , Zbl 0137.03202
- Рудин, Вальтер (1974), Реальный и комплексный анализ , Серия Макгроу-Хилла по высшей математике (2-е изд.), Нью-Йорк, Дюссельдорф, Йоханнесбург: Макгроу-Хилл Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, Руководство по ремонту 0344043 , Zbl 0278.26001
Эта статья включает материал из теоремы разложения Лебега по PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .