В математике , особенно в теории меры , комплексная мера обобщает понятие меры , позволяя ей иметь комплексные значения. Другими словами, можно использовать наборы , размер которых (длина, площадь, объем) является комплексным числом.
Определение [ править ]
Формально комплексная мера на измеримом пространстве - это комплексная функция
это сигма-аддитивный . Другими словами, для любой последовательности из множества непересекающихся , принадлежащих к , имеет один
Что касается любой перестановки ( биекции ) , отсюда следует, что она сходится безусловно (а значит, абсолютно ).
Интеграция по сложной мере [ править ]
Можно определить интеграл от комплекснозначной измеримой функции относительно комплексной меры таким же образом , как интеграл Лебега о реальном -значном измеримой функции относительно неотрицательной меры , аппроксимируя измеримую функцию с простыми функциями . Как и в случае обычного интегрирования, этот более общий интеграл может не существовать или его значение может быть бесконечным ( комплексная бесконечность ).
Другой подход состоит в том, чтобы не разрабатывать теорию интегрирования с нуля, а использовать уже имеющуюся концепцию интеграла действительной функции по неотрицательной мере. С этой целью это быстрая проверка того, что действительная и мнимая части μ 1 и μ 2 комплексной меры μ являются конечнозначными мерами со знаком . К этим мерам можно применить разложение Хана-Жордана, чтобы разбить их как
и
где μ 1 + , μ 1 - , μ 2 + , μ 2 - - конечнозначные неотрицательные меры (в некотором смысле единственные). Тогда для измеримой функции f, которая на данный момент является действительной , можно определить
до тех пор, пока выражение в правой части определено, то есть все четыре интеграла существуют и при их сложении не встречается неопределенное ∞ − ∞.
Учитывая теперь комплекснозначную измеримую функцию, можно отдельно интегрировать ее действительную и мнимую составляющие, как показано выше, и определить, как и ожидалось,
Вариация комплексной меры и полярное разложение [ править ]
Для комплексной меры μ определяется ее вариация или абсолютное значение | μ | по формуле
где в Е и Supremum пробегает все последовательности множеств непересекающихся ( А п ) п , чей союз является . Разбирая только конечные разбиения множества A на измеримые подмножества , получаем эквивалентное определение.
Оказывается, | μ | неотрицательная конечная мера. Точно так же, как комплексное число может быть представлено в полярной форме , есть полярное разложение для комплексной меры: существует измеримая функция θ с действительными значениями такая, что
смысл
для любой абсолютно интегрируемой измеримой функции f , т. е. f такой, что
Можно использовать теорему Радона – Никодима, чтобы доказать, что вариация является мерой и существование полярного разложения .
Пространство сложных мер [ править ]
Сумма двух сложных мер является сложной мерой, как и произведение сложной меры на комплексное число. Другими словами, множество всех комплексных мер на пространстве с мерой ( X , Σ) образует векторное пространство над комплексными числами. Более того, полная вариация, определяемая как
- норма , относительно которой пространство комплексных мер является банаховым пространством .
См. Также [ править ]
- Теорема Рисса о представлении
- Подписанная мера
- Векторная мера
Внешние ссылки [ править ]
- Комплексная мера в MathWorld