Безусловная сходимость

В математике , особенно в функциональном анализе , ряд безусловно сходится, если все переупорядочения ряда сходятся к одному и тому же значению. Напротив, ряд является условно сходящимся, если он сходится, но не все различные упорядочения сходятся к одному и тому же значению. Безусловная сходимость эквивалентна абсолютной сходимости в конечномерных векторных пространствах , но является более слабым свойством в бесконечных измерениях.

Определение [ править ]

Позвольте быть топологическое векторное пространство . Позвольте быть индексный набор и для всех .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x_ {i} \ in X}$${\ displaystyle i \ in I}$

Ряд называется безусловно сходящимся к , если${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {я \ in I} x_ {i}}$${\ displaystyle x \ in X}$

• множество индексов является счетным и${\ displaystyle I_ {0}: = \ {i \ in I \ mid x_ {i} \ neq 0 \}}$
• для каждой перестановки ( биекция ) из следующего соотношения имеет место:${\ displaystyle \ sigma: I_ {0} \ to I_ {0}}$${\ displaystyle I_ {0} = \ {i_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{\sigma (i_{k})}=x}$

Альтернативное определение [ править ]

Безусловная сходимость часто определяется эквивалентным образом: ряд безусловно сходится, если для каждой последовательности с , ряд${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$

сходится.

Если X - банахово пространство , любой абсолютно сходящийся ряд безусловно сходится, но обратная импликация в общем случае неверна. Действительно, если X - бесконечномерное банахово пространство, то по теореме Дворецкого – Роджерса всегда существует безусловно сходящийся ряд в этом пространстве, который не является абсолютно сходящимся. Однако, когда X = R ⁿ , по теореме о рядах Римана , ряд безусловно сходится тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно.${\textstyle \sum _{n}x_{n}}$

См. Также [ править ]

• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Теорема рядов Римана
• Теорема Дворецкого – Роджерса
• Перестановки и безусловная сходимость

Ссылки [ править ]

• Гл. Heil: учебник по основам теории
• Кнопп, Конрад (1956). Бесконечные последовательности и серии . Dover Publications. ISBN 9780486601533.
• Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов . Dover Publications. ISBN 9780486661650.
• Войтащик П. (1996). Банаховы пространства для аналитиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521566759.

Эта статья включает материал из Безусловной конвергенции по PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .