Способы сходимости (аннотированный указатель)

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Поиск источников:  аннотированный указатель «Способы конвергенции»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Цель этой статьи - служить аннотированным указателем различных способов конвергенции и их логических взаимосвязей. Для пояснительной статьи см. Способы конвергенции . Для быстрого ознакомления указываются простые логические взаимосвязи между различными способами конвергенции (например, если один подразумевает другой), скорее в виде формулировок, чем в прозе, а подробные описания и обсуждения зарезервированы для соответствующих статей.

Путеводитель по этому индексу. Чтобы избежать излишнего многословия, обратите внимание, что каждый из следующих типов объектов является частным случаем предшествующих ему типов: множества , топологические пространства , равномерные пространства , топологические абелевы группы (TAG), нормированные векторные пространства , евклидовы пространства и вещественные / комплексные числа. Также обратите внимание, что любое метрическое пространство является однородным пространством. Наконец, подзаголовки всегда указывают на особые случаи их надзаголовков.

Ниже приводится список режимов конвергенции для:

Последовательность элементов { a _n } в топологическом пространстве ( Y ) [ править ]

• Сходимость , или «топологическая конвергенция» для акцента (т.е. существование предела).

... в едином пространстве ( U ) [ править ]

• Сходимость по Коши

Подразумеваемое:

  - Сходимость -сходимость по Коши${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Сходимость по Коши и сходимость подпоследовательности вместе сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  -   U называется "полной", если сходимость по Коши (для сетей) сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

Примечание. Последовательность, демонстрирующая сходимость по Коши, называется последовательностью Коши, чтобы подчеркнуть, что она не может быть сходящейся.

Серия элементов Σ b _k в TAG ( G ) [ править ]

• Сходимость (последовательности частичных сумм)
• Сходимость по Коши (последовательности частичных сумм)
• Безусловная сходимость

Подразумеваемое:

  - Безусловная сходимость сходимость (по определению).${\ displaystyle \ Rightarrow}$

... в нормированном пространстве ( N ) [ править ]

• Абсолютная сходимость (сходимость)${\ displaystyle \ sum | b_ {k} |}$

Подразумеваемое:

  - Абсолютная сходимость. Сходимость по Коши. Абсолютная сходимость некоторой группировки ¹ .${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Поэтому: N является банахово (полным) , если абсолютная сходимость- сходимости.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Абсолютная сходимость и сходимость вместе безусловная сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Безусловная сходимость - абсолютная сходимость, даже если N банахово.${\ displaystyle \ not \ Rightarrow}$

  - Если N - евклидово пространство, то сходимость безусловная абсолютная сходимость.${\ Displaystyle \ Equiv}$

¹ Примечание: «группировка» относится к серии, полученной путем группирования (но не переупорядочивания) терминов исходной серии. Таким образом, группировка ряда соответствует подпоследовательности его частичных сумм.

Последовательность функций { f _n } из множества ( S ) в топологическое пространство ( Y ) [ править ]

• Поточечная сходимость

... из множества ( S ) в однородное пространство ( U ) [ править ]

• Равномерная сходимость
• Поточечная сходимость по Коши
• Равномерная сходимость по Коши

Последствия - это случаи более ранних, за исключением:

  - Равномерная сходимость и поточечная сходимость, и равномерная сходимость по Коши.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Равномерная сходимость по Коши и поточечная сходимость равномерной сходимости подпоследовательностей .${\ displaystyle \ Rightarrow}$

... из топологического пространства ( X ) в однородное пространство ( U ) [ править ]

Для многих «глобальных» способов сходимости существуют соответствующие понятия а ) «локальная» и б ) «компактная» сходимость, которые задаются требованием, чтобы сходимость имела место а ) в некоторой окрестности каждой точки или б ) во всех компактных точках. подмножества X . Примеры:

• Локальная равномерная сходимость (т.е. равномерная сходимость в окрестности каждой точки)
• Компактная (равномерная) сходимость (т.е. равномерная сходимость на всех компактных подмножествах)
• другие примеры этого шаблона ниже.

Подразумеваемое:

  - «Глобальные» режимы сходимости подразумевают соответствующие «локальные» и «компактные» режимы сходимости. Например:

      Равномерная сходимость и локальная равномерная сходимость, и компактная (равномерная) сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - «Локальные» режимы сходимости обычно подразумевают «компактные» режимы сходимости. Например,

      Локальная равномерная сходимость. Компактная (равномерная) сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Если локально компактно, обратное к такому имеет тенденцию к выполнению:${\ displaystyle X}$

      Локальная равномерная сходимость. Компактная (равномерная) сходимость.${\ Displaystyle \ Equiv}$

... от пространства меры (S, μ) до комплексных чисел (C) [ править ]

• Почти везде конвергенция
• Почти равномерная сходимость
• L p сходимость
• Сходимость по мере
• Конвергенция в распределении

Подразумеваемое:

  - Поточечная сходимость почти всюду сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Равномерная сходимость почти равномерная сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Почти всюду сходимость сходимость по мере. (В пространстве с конечной мерой)${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Сходимость почти равномерная сходимость по мере.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - L ^p сходимость сходимость по мере.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Сходимость по мере Сходимость по распределению, если μ - вероятностная мера и функции интегрируемы.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

Серия функций Σ g _k из набора ( S ) в TAG ( G ) [ править ]

• Поточечная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Равномерная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Поточечная сходимость по Коши (последовательности частичных сумм)
• Равномерная сходимость по Коши (последовательности частичных сумм)
• Безусловная поточечная сходимость
• Безусловная равномерная сходимость

Последствия - все случаи более ранних.

... из множества ( S ) в нормированное пространство ( N ) [ править ]

Как правило, замена «сходимости» на «абсолютную сходимость» означает, что вместо .${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$${\ displaystyle \ Sigma g_ {k}}$

• Поточечная абсолютная сходимость (поточечная сходимость )${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$
• Равномерная абсолютная сходимость (равномерная сходимость)${\ Displaystyle \ Sigma | g_ {k} |}$
• Нормальная сходимость (сходимость ряда равномерных норм )${\ Displaystyle \ Sigma || g_ {k} || _ {u}}$

Последствия - это случаи более ранних, за исключением:

  - Нормальная сходимость, равномерная абсолютная сходимость${\ displaystyle \ Rightarrow}$

... из топологического пространства ( X ) в TAG ( G ) [ править ]

• Локальная равномерная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Компактная (равномерная) сходимость (последовательности частичных сумм)

Последствия - все случаи более ранних.

... из топологического пространства ( X ) в нормированное пространство ( N ) [ править ]

• Локальная равномерная абсолютная сходимость
• Компактная (равномерная) абсолютная сходимость
• Локальная нормальная конвергенция
• Компактная нормальная сходимость

Последствия (в основном, более ранние):

  - Равномерная абсолютная сходимость и локальная равномерная абсолютная сходимость и компактная (равномерная) абсолютная сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

      Нормальная сходимость и локальная нормальная сходимость, и компактная нормальная сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Локальная нормальная сходимость. Локальная равномерная абсолютная сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

      Компактная нормальная сходимость, компактная (равномерная) абсолютная сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Локальная равномерная абсолютная сходимость, компактная (равномерная) абсолютная сходимость.${\ displaystyle \ Rightarrow}$

      Локальная нормальная сходимость Компактная нормальная сходимость${\ displaystyle \ Rightarrow}$

  - Если X локально компактно:

      Локальная равномерная абсолютная сходимость, компактная (равномерная) абсолютная сходимость.${\ Displaystyle \ Equiv}$

      Локальная нормальная сходимость Компактная нормальная сходимость${\ Displaystyle \ Equiv}$

См. Также [ править ]

• Предел последовательности
• Конвергенция мер
• Сходимость по мере
• Сходимость случайных величин :
  • в распределении
  • по вероятности
  • почти уверен
  • Конечно
  • в среднем