Аддитивность сигмы

В математике аддитивность (в частности, конечная аддитивность) и сигма-аддитивность (также называемая счетной аддитивностью) функции (часто меры ), определенной на подмножествах данного набора, являются абстракциями того, как интуитивно понятные свойства размера ( длины , площади , объема ) объекта установить сумму при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность - более слабое условие, чем σ-аддитивность; то есть σ-аддитивность влечет аддитивность.

Аддитивные (или конечно аддитивные) функции множества [ править ]

Позвольте быть функцией, определенной на алгебре множеств со значениями в [−∞, + ∞] (см. Расширенную строку вещественных чисел ). Функция называется аддитивной или конечно аддитивной, если, когда A и B являются непересекающимися множествами в , выполняется${\ displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle \ му (А \ чашка В) = \ му (А) + \ му (В). \,}$

(Следствием этого является то, что аддитивная функция не может принимать значения одновременно и −∞, и + ∞, поскольку выражение ∞ - ∞ не определено.) °

С помощью математической индукции можно доказать, что аддитивная функция удовлетворяет

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ mu (A_ {n})}$

для любых непересекающихся множеств .${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots, A_ {N}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$

σ-аддитивные функции множества [ править ]

Предположим, что это σ-алгебра . Если для любой последовательности множеств попарно непересекающихся в , один имеет${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots, A_ {n}, \ dots}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) }$,

мы говорим, что μ счетно аддитивна или σ-аддитивна.
Любая σ-аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот, как показано ниже.

τ-аддитивные функции множества [ править ]

Предположим, что помимо сигма-алгебры у нас есть топология τ. Если для любого направленного семейства измеримых открытых множеств ⊆ ∩ τ,${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup {\ mathcal {G}} \ right) = \ sup _ {G \ in {\ mathcal {G}}} \ mu (G)}$,

мы говорим, что μ является τ-аддитивным. В частности, если μ внутренне регулярное (относительно компактов), то оно τ-аддитивно. ^[1]

Свойства [ править ]

Основные свойства [ править ]

К полезным свойствам аддитивной функции μ можно отнести следующее:

1. Либо μ (∅) = 0, либо μ присваивает ∞ всем наборам в своей области определения, либо μ присваивает −∞ всем наборам в своей области определения.
2. Если μ неотрицательно и A ⊆ B , то μ ( A ) ≤ μ ( B ).
3. Если A ⊆ B и μ ( B ) - μ ( A ) определено, то μ ( B \ A ) = μ ( B ) - μ ( A ).
4. Для A и B имеем μ ( A ∪ B ) + μ ( A ∩ B ) = μ ( A ) + μ ( B ).

Примеры [ править ]

Примером σ-аддитивной функции является функция μ, определенная над множеством степеней действительных чисел , такая что

${\ displaystyle \ mu (A) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {if}} 0 \ in A \\ 0 & {\ mbox {if}} 0 \ notin A. \ end {cases}}}$

Если - последовательность непересекающихся наборов действительных чисел, то либо ни один из наборов не содержит 0, либо ровно одно из них содержит. В любом случае равенство ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots, A_ {n}, \ dots}$

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) }$

держит.

Дополнительные примеры σ-аддитивных функций см. В разделах «Мера» и « Мера со знаком».

Аддитивная функция, которая не является σ-аддитивной [ править ]

Пример аддитивной функции, которая не является σ-аддитивной, получается при рассмотрении μ, определенной над множествами Лебега действительных чисел формулой

${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda \left(A\cap \left(0,k\right)\right),}$

где λ обозначает меру Лебега, а lim - предел Банаха .

Аддитивность этой функции можно проверить, используя линейность предела. То, что эта функция не является σ-аддитивной, следует из рассмотрения последовательности непересекающихся множеств

${\displaystyle A_{n}=\left[n,n+1\right)}$

для n = 0, 1, 2, ... Объединение этих множеств является положительными действительными числами , и μ, примененный к объединению, тогда равен единице, в то время как μ, примененный к любому из отдельных наборов, равен нулю, поэтому сумма μ ( A _n ) также равен нулю, что доказывает контрпример.

Обобщения [ править ]

Можно определить аддитивные функции со значениями в любом аддитивном моноиде (например, в любой группе или, чаще, в векторном пространстве ). Для сигма-аддитивности необходимо дополнительно, чтобы на этом множестве было определено понятие предела последовательности . Например, спектральные меры - это сигма-аддитивные функции со значениями в банаховой алгебре . Другой пример, также из квантовой механики, - положительная операторная мера .

См. Также [ править ]

• подписанная мера
• мера (математика)
• аддитивная карта
• субаддитивная функция
• σ-конечная мера
• Теорема Хана – Колмогорова.
• τ-аддитивность

Эта статья включает материал из дополнения на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Ссылки [ править ]