Копула (теория вероятностей)

В теории вероятностей и статистике , копула является многомерной функцией распределения , для которых предельной вероятности распределение каждого переменного равномерное на интервале [0, 1]. Копулы используются для описания зависимости между случайными величинами . Их название происходит от латинского слова «ссылка» или «галстук», похоже , но не связанной с грамматическими связками в лингвистике ^{[ править ]} . Копулы широко используются в количественном финансировании для моделирования и минимизации хвостового риска ^[1] иприложения для оптимизации портфолио . ^[2]

Теорема Склара утверждает, что любое многомерное совместное распределение может быть записано в терминах одномерных функций маргинального распределения и копулы, которая описывает структуру зависимости между переменными.

Копулы популярны в высокоразмерных статистических приложениях, поскольку они позволяют легко моделировать и оценивать распределение случайных векторов, оценивая маргиналы и копулы отдельно. Доступно множество семейств параметрических связок, которые обычно имеют параметры, контролирующие силу зависимости. Некоторые популярные параметрические модели копул описаны ниже.

Двумерные связки известны в некоторых других областях математики под названиями перестановок и двустохастических мер .

Математическое определение [ править ]

Рассмотрим случайный вектор . Предположим, что его маргинальные функции непрерывны, т.е. маргинальные CDF являются непрерывными функциями . Применяя интегральное преобразование вероятности к каждому компоненту, случайный вектор${\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {d})}$ ${\ Displaystyle F_ {я} (х) = \ Pr [X_ {i} \ leq x]}$

${\ displaystyle (U_ {1}, U_ {2}, \ dots, U_ {d}) = \ left (F_ {1} (X_ {1}), F_ {2} (X_ {2}), \ dots , F_ {d} (X_ {d}) \ right)}$

имеет маргиналы, равномерно распределенные на отрезке [0, 1].

Копула из определяются как совместная интегральная функция распределения из :${\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {d})}$${\ displaystyle (U_ {1}, U_ {2}, \ dots, U_ {d})}$

${\ displaystyle C (u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {d}) = \ Pr [U_ {1} \ leq u_ {1}, U_ {2} \ leq u_ {2}, \ точки, U_ {d} \ leq u_ {d}].}$

Копула C содержит всю информацию о структуре зависимости между компонентами, тогда как функции предельного кумулятивного распределения содержат всю информацию о предельных распределениях .${\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {d})}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\displaystyle X_{i}}$

Обратные эти шаги могут использоваться для генерации псевдослучайных выборок из общих классов многомерных распределений вероятностей . То есть, учитывая процедуру генерации выборки из функции копулы, требуемая выборка может быть построена как${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).}$

Обратное не вызывает проблем, поскольку предполагается, что они непрерывны. Кроме того, приведенная выше формула для функции копулы может быть переписана как:${\displaystyle F_{i}^{-1}}$${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].}$

Определение [ править ]

В вероятностных терминах, является d - мерный копула , если С представляет собой совместное Интегральная функция распределения из г - мерного случайного вектора на единичный куб с равномерными маргинальными . ^[3]${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]^{d}}$

В аналитических терминах является d- мерной копулой, если${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$

• ${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0}$, копула равна нулю, если любой из аргументов равен нулю,
• ${\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}$, копула равна u, если один аргумент равен u, а все остальные - 1,
• С является д -нон убывает, то есть для каждого hyperrectangle С -VOLUME из B является неотрицательным:${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}}$

  ${\displaystyle \int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}$

где .${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}}$

Например, в двумерном случае - это двумерная связка if , and for all and .${\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0}$${\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u}$${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0}$${\displaystyle 0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1}$${\displaystyle 0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1}$

Теорема Склара [ править ]

Теорема Склара, названная в честь Эйба Склара , обеспечивает теоретическую основу для применения связок. ^{[4] [5]} Теорема Склара утверждает, что каждая многомерная кумулятивная функция распределения

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]}$

случайного вектора можно выразить через его маргиналы и связку . В самом деле:${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$${\displaystyle F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).}$

В случае, если многомерное распределение имеет плотность , и если она доступна, далее выполняется${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),}$

где - плотность связки.${\displaystyle c}$

Теорема утверждает , что, учитывая , копула единственно на , которая является декартовым произведением из диапазонов маргинальной CDF - х. Это означает, что копула уникальна, если маргиналы непрерывны.${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})}$${\displaystyle F_{i}}$

Обратное также верно: с учетом копула и маргинальные затем определяет г - мерный Интегральная функция распределения с маргинальными распределениями .${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle F_{i}(x)}$${\displaystyle C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)}$${\displaystyle F_{i}(x)}$

Условие стационарности [ править ]

Копулы в основном работают, когда временные ряды стационарны ^[6] и непрерывны. ^[7] Таким образом, очень важным этапом предварительной обработки является проверка автокорреляции , тренда и сезонности во временных рядах.

Когда временные ряды автокоррелированы, они могут создавать зависимость отсутствия существования между наборами переменных и приводить к неправильной структуре зависимости Copula. ^[8]

Границы связки Фреше – Хёффдинга [ править ]

Теорема Фреше – Хёффдинга (после Мориса Рене Фреше и Василия Хёффдинга ^[9] ) утверждает, что для любой Копулы и любых следующих оценок справедливы:${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}}$

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

Функция W называется нижней границей Фреше – Хёффдинга и определяется как

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.}$

Функция M называется верхней границей Фреше – Хёффдинга и определяется как

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.}$

Верхняя граница точна : M всегда копула, она соответствует комонотонным случайным величинам .

Нижняя граница является точной в том смысле, что для фиксированного u существует такая копула , что . Однако W является копулой только в двух измерениях, и в этом случае она соответствует контрмонотонным случайным величинам.${\displaystyle {\tilde {C}}}$${\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)}$

В двух измерениях, то есть в двумерном случае, теорема Фреше – Хёффдинга утверждает

${\displaystyle \max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}}$.

Семейства связок [ править ]

Описано несколько семейств связок.

Гауссова связка [ править ]

Копула Гаусса - это распределение по единичному кубу . Она построена из многомерного нормального распределения через , используя вероятность интегрального преобразования .${\displaystyle [0,1]^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Для данной корреляционной матрицы гауссова копула с матрицей параметров может быть записана как${\displaystyle R\in [-1,1]^{d\times d}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),}$

где - обратная кумулятивная функция распределения стандартного нормального и - совместная кумулятивная функция распределения многомерного нормального распределения с нулевым средним вектором и ковариационной матрицей, равной корреляционной матрице . Хотя простой аналитической формулы для функции копулы не существует , она может быть ограничена сверху или снизу и приближена с помощью численного интегрирования. ^{[10] [11]} Плотность можно записать как ^[12]${\displaystyle \Phi ^{-1}}$${\displaystyle \Phi _{R}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)}$

${\displaystyle c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-I\right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}\right),}$

где - единичная матрица.${\displaystyle \mathbf {I} }$

Архимедовы связки [ править ]

Архимедовы связки - это ассоциативный класс связок. Наиболее распространенные архимедовы связки допускают явную формулу, что невозможно, например, для гауссовой связки. На практике архимедовы связки популярны, потому что они позволяют моделировать зависимость в произвольно больших измерениях только с одним параметром, определяющим силу зависимости.

Копула C называется архимедовой, если она допускает представление ^[13]

${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{d};\theta )=\psi ^{[-1]}\left(\psi (u_{1};\theta )+\cdots +\psi (u_{d};\theta );\theta \right)}$

где - непрерывная, строго убывающая и выпуклая функция такая, что . - параметр в некотором пространстве параметров . является так называемой функцией генератора и является ее псевдообратной функцией, определяемой формулой${\displaystyle \psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )}$${\displaystyle \psi (1;\theta )=0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{[-1]}}$

${\displaystyle \psi ^{[-1]}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.}$

Более того, приведенная выше формула для C дает копулу для тогда и только тогда, когда она d-монотонна на . ^[14] То есть, если она дифференцируема раз и производные удовлетворяют${\displaystyle \psi ^{-1}}$${\displaystyle \psi ^{-1}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle d-2}$

${\displaystyle (-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0}$

для всех и и является невозрастающей и выпуклой .${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle k=0,1,\dots ,d-2}$${\displaystyle (-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )}$

Важнейшие архимедовы связки [ править ]

В следующих таблицах выделены наиболее известные двумерные архимедовы связки с их соответствующим генератором. Не все они полностью монотонны , т.е. d -монотонны для всех или d -монотонны только для некоторых .${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \theta \in \Theta }$

Таблица с важнейшими архимедовыми связками ^[13]

Название связки	Двумерная связка ${\displaystyle \;C_{\theta }(u,v)}$	параметр ${\displaystyle \,\theta }$
Али- Михаил-Хак [15]	${\displaystyle {\frac {uv}{1-\theta (1-u)(1-v)}}}$	${\displaystyle \theta \in [-1,1]}$
Клейтон [16]	${\displaystyle \left[\max \left\{u^{-\theta }+v^{-\theta }-1;0\right\}\right]^{-1/\theta }}$	${\displaystyle \theta \in [-1,\infty )\backslash \{0\}}$
откровенный	${\displaystyle -{\frac {1}{\theta }}\log \!\left[1+{\frac {(\exp(-\theta u)-1)(\exp(-\theta v)-1)}{\exp(-\theta )-1}}\right]}$	${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \backslash \{0\}}$
Гамбель	${\textstyle \exp \!\left[-\left((-\log(u))^{\theta }+(-\log(v))^{\theta }\right)^{1/\theta }\right]}$	${\displaystyle \theta \in [1,\infty )}$
Независимость	${\textstyle uv}$
Джо	${\textstyle {1-\left[(1-u)^{\theta }+(1-v)^{\theta }-(1-u)^{\theta }(1-v)^{\theta }\right]^{1/\theta }}}$	${\displaystyle \theta \in [1,\infty )}$

Таблица соответственно наиболее важных генераторов ^[13]

имя	генератор ${\displaystyle \,\psi _{\theta }(t)}$	генератор инверсный ${\displaystyle \,\psi _{\theta }^{-1}(t)}$
Али- Михаил-Хак [15]	${\displaystyle \log \!\left[{\frac {1-\theta (1-t)}{t}}\right]}$	${\displaystyle {\frac {1-\theta }{\exp(t)-\theta }}}$
Клейтон [16]	${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\,(t^{-\theta }-1)}$	${\displaystyle \left(1+\theta t\right)^{-1/\theta }}$
откровенный	${\textstyle -\log \!\left({\frac {\exp(-\theta t)-1}{\exp(-\theta )-1}}\right)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\theta }}\,\log(1+\exp(-t)(\exp(-\theta )-1))}$
Гамбель	${\displaystyle \left(-\log(t)\right)^{\theta }}$	${\displaystyle \exp \!\left(-t^{1/\theta }\right)}$
Независимость	${\displaystyle -\log(t)}$	${\displaystyle \exp(-t)}$
Джо	${\displaystyle -\log \!\left(1-(1-t)^{\theta }\right)}$	${\displaystyle 1-\left(1-\exp(-t)\right)^{1/\theta }}$

Ожидание моделей копул и интеграции Монте-Карло [ править ]

В статистических приложениях многие задачи можно сформулировать следующим образом. Один интересует ожидание функции ответа, примененной к некоторому случайному вектору . ^[17] Если мы обозначим cdf этого случайного вектора с , интересующая величина может быть записана как${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

Если дается моделью связки, т. Е.${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))}$

это ожидание можно переписать как

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

В случае , если копула С является абсолютно непрерывным , т.е. С имеет плотность C , это уравнение можно записать в виде

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},}$

и если каждое маргинальное распределение имеет плотность, то${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.}$

Если копула и поля известны (или если они были оценены), это ожидание можно приблизительно оценить с помощью следующего алгоритма Монте-Карло:

1. Нарисуйте образец размера n из связки C${\displaystyle (U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)}$
2. Применяя обратный маргинальный cdf, создайте образец , установив${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$${\displaystyle (X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}$
3. Примерно по эмпирическому значению:${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})}$

Эмпирические связки [ править ]

Изучая многомерные данные, можно исследовать лежащую в основе связку. Предположим, у нас есть наблюдения

${\displaystyle (X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}$

из случайного вектора с непрерывными полями. Соответствующие "истинные" наблюдения связки будут${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

${\displaystyle (U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

Однако функции предельного распределения обычно не известны. Следовательно, можно построить наблюдения псевдокопулы, используя эмпирические функции распределения${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)}$

вместо. Тогда наблюдения псевдокопулы определяются как

${\displaystyle ({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

Соответствующая эмпирическая связка определяется как

${\displaystyle C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).}$

Компоненты выборки псевдокопулы также можно записать как , где - ранг наблюдения :${\displaystyle {\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n}$${\displaystyle R_{k}^{i}}$${\displaystyle X_{k}^{i}}$

${\displaystyle R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})}$

Таким образом, эмпирическую связку можно рассматривать как эмпирическое распределение данных, преобразованных в ранг.

Приложения [ править ]

Количественные финансы [ править ]

В количественном финансировании связки применяются для управления рисками , для управления и оптимизации портфеля , а также для ценообразования производных финансовых инструментов .

В первом случае связки используются для выполнения стресс-тестов и проверок устойчивости, что особенно важно во время «режимов спада / кризиса / паники», когда могут иметь место экстремальные отрицательные явления (например, глобальный финансовый кризис 2007–2008 годов). Формула была также адаптирована для финансовых рынков и использовалась для оценки распределения вероятности убытков по пулам ссуд или облигаций .

В период спада большое количество инвесторов, которые занимали позиции в более рискованных активах, таких как акции или недвижимость, могут искать убежища в «более безопасных» инвестициях, таких как наличные деньги или облигации. Это также известно как эффект бегства к качеству, и инвесторы, как правило, закрывают свои позиции в более рискованных активах в большом количестве за короткий период времени. В результате в режимах спада корреляция между акциями больше при движении вниз, чем при движении вверх, и это может иметь катастрофические последствия для экономики. ^{[20] [21]}Например, как ни странно, мы часто читаем заголовки финансовых новостей, в которых сообщается о потере сотен миллионов долларов на фондовой бирже за один день; однако мы редко читаем отчеты о положительном приросте фондового рынка такой же величины и в те же короткие сроки.

Копулы помогают анализировать эффекты отрицательных режимов, позволяя отдельно моделировать маргинальные значения и структуру зависимости многомерной вероятностной модели. Например, рассмотрите фондовую биржу как рынок, состоящий из большого количества трейдеров, каждый из которых работает со своими собственными стратегиями для максимизации прибыли. Индивидуалистическое поведение каждого трейдера можно описать путем моделирования маргиналов. Однако, поскольку все трейдеры работают на одной бирже, действия каждого трейдера влияют на взаимодействие с другими трейдерами. Этот эффект взаимодействия можно описать путем моделирования структуры зависимости. Таким образом, связки позволяют нам анализировать эффекты взаимодействия, которые представляют особый интерес во время понижательных режимов, поскольку инвесторы склонны ограничивать свое торговое поведение и решения.. (См. Также основанную на агентах вычислительную экономику , в которой цена рассматривается как возникающее явление , возникающее в результате взаимодействия различных участников рынка или агентов.)

Пользователи формулы подвергались критике за создание «культуры оценки», которая продолжала использовать простую совокупность, несмотря на то, что простые версии признавались неадекватными для этой цели. ^[22] Таким образом, ранее масштабируемые модели копул для больших измерений позволяли моделировать только структуры эллиптических зависимостей (т. Е. Гауссовские и t-копулы Стьюдента), которые не допускали корреляционную асимметрию, когда корреляции различаются в зависимости от режима вверх или вниз. Однако недавняя разработка связок виноградных лоз ^[23] (также известных как парные связки) позволяет гибко моделировать структуру зависимости для портфелей больших размеров. ^[24]Каноническая связка виноградной лозы Клейтона допускает возникновение экстремальных неблагоприятных событий и успешно применяется в приложениях для оптимизации портфеля и управления рисками. Модель способна уменьшить эффекты экстремальных обратных корреляций и дает улучшенные статистические и экономические показатели по сравнению с масштабируемыми связками эллиптической зависимости, такими как копула Гаусса и Стьюдента. ^[25]

Другие модели, разработанные для приложений управления рисками, представляют собой панические связки, склеенные с рыночными оценками маржинальных распределений для анализа воздействия панических режимов на распределение прибылей и убытков портфеля. Панические связки создаются с помощью моделирования Монте-Карло , смешанного с повторным взвешиванием вероятности каждого сценария. ^[26]

Что касается ценообразования деривативов , моделирование зависимости с функциями копулы широко используется в приложениях для оценки финансовых рисков и актуарного анализа - например, при ценообразовании по обеспеченным долговым обязательствам (CDO). ^[27] Некоторые считают, что методология применения копулы Гаусса для кредитных деривативов является одной из причин мирового финансового кризиса 2008–2009 годов ; ^{[28] [29] [30]} см. Дэвид X. Ли § CDO и гауссовская связка .

Несмотря на такое восприятие, в финансовой индустрии до кризиса предпринимались попытки устранить ограничения гауссовой связки и функций связки в более общем плане, в частности, отсутствие динамики зависимости. Копула Гаусса отсутствует, поскольку она допускает только эллиптическую структуру зависимости, поскольку зависимость моделируется только с использованием матрицы вариации-ковариации. ^[25] Эта методология ограничена, так что она не позволяет зависимости развиваться, поскольку финансовые рынки демонстрируют асимметричную зависимость, в результате чего корреляции между активами значительно увеличиваются во время спадов по сравнению с подъемами. Следовательно, подходы к моделированию с использованием гауссовой связки плохо отражают экстремальные явления . ^{[25] [31]}Были попытки предложить модели, устраняющие некоторые ограничения связки. ^{[31] [32] [33]}

Помимо CDO, копулы применялись к другим классам активов в качестве гибкого инструмента для анализа производных продуктов с несколькими активами. Первым таким применением вне кредита было использование связки для построения поверхности подразумеваемой волатильности корзины ^[34], принимая во внимание улыбку волатильности компонентов корзины. С тех пор копулы приобрели популярность в ценообразовании и управлении рисками ^[35] опционов на несколько активов при наличии волатильности в производных финансовых инструментах на акции , иностранную валюту и фиксированный доход .

Гражданское строительство [ править ]

Недавно функции связки были успешно применены к формулировке базы данных для анализа надежности автомобильных мостов, а также к различным исследованиям многомерного моделирования в гражданском строительстве, ^[36] надежности ветроэнергетики и сейсмической инженерии ^[37], а также механической и морской инженерии. ^[38] Исследователи также пробуют эти функции в области транспорта, чтобы понять взаимодействие между поведением отдельных водителей, которое в совокупности формирует транспортный поток.

Техника надежности [ править ]

Копулы используются для анализа надежности сложных систем компонентов машин с конкурирующими видами отказов.^[39]

Анализ данных о гарантии [ править ]

Копулы используются для анализа данных о гарантии, в котором анализируется хвостовая зависимость ^[40]

Турбулентное горение [ править ]

Копулы используются при моделировании турбулентного горения с частичным предварительным смешиванием, которое является обычным в практических камерах сгорания.^{[41] [42]}

Медицина [ править ]

Копула имеет множество применений в области медицины , например,

1. Связка была использована в области магнитно - резонансной томографии (МРТ), например, для изображений сегмента , ^[43] для заполнения вакансии в графических моделях в визуализации генетики в исследовании по шизофрении , ^[44] , и провести различие между нормальным и Пациенты с болезнью Альцгеймера . ^[45]
2. Copula была в области исследования мозга на основе сигналов ЭЭГ , например, для обнаружения сонливости во время дневного сна ^[46], для отслеживания изменений мгновенной эквивалентной полосы пропускания (IEBW), ^[47] для получения синхронности для ранней диагностики болезни Альцгеймера. , ^[48], чтобы охарактеризовать зависимость колебательной активности между каналами ЭЭГ, ^[49] и оценить надежность использования методов захвата зависимости между парами каналов ЭЭГ с использованием их изменяющихся во времени огибающих . ^[50] Функции копулы были успешно применены для анализа нейронных зависимостей ^[51]и количество всплесков в нейробиологии. ^[52]
3. Модель копулы была разработана в области онкологии , например, для совместного моделирования генотипов , фенотипов и путей для реконструкции клеточной сети с целью выявления взаимодействий между конкретным фенотипом и множественными молекулярными особенностями (например, мутациями и изменением экспрессии генов ). Бао и др. ^[53] использовали данные линии раковых клеток NCI60, чтобы идентифицировать несколько подмножеств молекулярных признаков, которые вместе выступают в качестве предикторов клинических фенотипов. Предлагаемая связка может иметь влияние на биомедицинские исследования, начиная от ракалечение к профилактике заболеваний. Копула также использовалась для прогнозирования гистологического диагноза колоректальных поражений по изображениям колоноскопии ^[54] и для классификации подтипов рака. ^[55]

Геодезия [ править ]

Комбинация методов на основе SSA и Copula была впервые применена в качестве нового стохастического инструмента для прогнозирования EOP. ^{[56] [57]}

Гидрологические исследования [ править ]

Копулы использовались как в теоретическом, так и в прикладном анализе гидроклиматических данных. В теоретических исследованиях была принята методология, основанная на связках, например, для лучшего понимания структур зависимости температуры и осадков в разных частях мира. ^{[8] [58] [59]} Прикладные исследования использовали методологию, основанную на связках, для изучения, например, сельскохозяйственных засух ^[60] или совместного воздействия экстремальных температур и осадков на рост растительности. ^[61]

Климатические и погодные исследования [ править ]

Копулы широко используются в исследованиях, связанных с климатом и погодой. ^{[62] [63]}

Изменчивость солнечного излучения [ править ]

Копулы использовались для оценки изменчивости солнечного излучения в пространственных сетях и во времени для отдельных местоположений.^{[64] [65]}

Генерация случайных векторов [ править ]

Большие синтетические трассы векторов и стационарные временные ряды могут быть сгенерированы с использованием эмпирической связки, сохраняя при этом всю структуру зависимостей небольших наборов данных. ^[66] Такие эмпирические трассировки полезны в различных исследованиях производительности на основе моделирования. ^[67]

Рейтинг электродвигателей [ править ]

Копулы использовались для оценки качества при производстве двигателей с электронной коммутацией. ^[68]

Обработка сигнала [ править ]

Копулы важны, потому что они представляют структуру зависимости без использования маргинальных распределений . Копулы широко используются в области финансов , но их использование в обработке сигналов относительно новое. Копулы использовались в области беспроводной связи для классификации радиолокационных сигналов, обнаружения изменений в приложениях дистанционного зондирования и обработки сигналов ЭЭГ в медицине . В этом разделе представлен краткий математический вывод для получения функции плотности копул, за которым следует таблица, содержащая список функций плотности копул с соответствующими приложениями обработки сигналов.

Математический вывод функции плотности копулы [ править ]

Для любых двух случайных величин X и Y непрерывная совместная функция распределения вероятностей может быть записана как

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},}$

где и - предельные кумулятивные функции распределения случайных величин X и Y соответственно.${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$

то функция распределения копул может быть определена с помощью теоремы Склара ^{[69] [70]} как:${\displaystyle C(u,v)}$

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v)}$,

где и - функции предельного распределения, совместное и .${\displaystyle u=F_{X}(x)}$${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$${\displaystyle F_{XY}(x,y)}$${\displaystyle u,v\in (0,1)}$

Мы начнем с использования взаимосвязи между совместной функцией плотности вероятности (PDF) и совместной интегральной функцией распределения (CDF) и ее частными производными.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}}$

где - функция плотности копулы, и - предельные функции плотности вероятности X и Y соответственно. Важно понимать, что в этом уравнении четыре элемента, и если известны какие-либо три элемента, можно рассчитать четвертый элемент. Например, его можно использовать,${\displaystyle c(u,v)}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle f_{Y}(y)}$

• когда известна совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, известна функция плотности копулы и известна одна из двух маргинальных функций, тогда может быть вычислена другая маргинальная функция, или
• если известны две маргинальные функции и функция плотности копулы, то можно вычислить совместную функцию плотности вероятности между двумя случайными величинами, или
• когда известны две маргинальные функции и совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, можно рассчитать функцию плотности копулы.

Список функций и приложений плотности копул [ править ]

В области обработки сигналов важны различные двумерные функции плотности копул. и являются функциями предельного распределения, а и являются функциями предельной плотности. Было показано, что расширение и обобщение связок для статистической обработки сигналов позволяет построить новые двумерные связки для экспоненциальных распределений, распределений Вейбулла и Райса. ^[71] Zeng et al. ^[72] представили алгоритмы, моделирование, оптимальный выбор и практическое применение этих связок в обработке сигналов.${\displaystyle u=F_{X}(x)}$${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle f_{Y}(y)}$

	Плотность копулы: c ( u , v )	Использовать
Гауссовский	${\displaystyle {\begin{aligned}={}&{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(a^{2}+b^{2})\rho ^{2}-2ab\rho }{2(1-\rho ^{2})}}\right)\\&{\text{where }}\rho \in (-1,1)\\&{\text{where }}a={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}({2u-1})\\&{\text{where }}b={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}({2v-1})\\&{\text{where }}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{z}\exp(-t^{2})\,dt\end{aligned}}}$	контролируемая классификация изображений радаров с синтезированной апертурой (SAR), [73] подтверждение биометрической аутентификации [74] моделирование стохастической зависимости в крупномасштабной интеграции ветроэнергетики [75] неконтролируемая классификация радиолокационных сигналов [76]
Экспоненциальный	${\displaystyle {\begin{aligned}={}&{\frac {1}{1-\rho }}\exp \left({\frac {\rho (\ln(1-u)+\ln(1-v))}{1-\rho }}\right)\cdot I_{0}\left({\frac {2{\sqrt {\rho \ln(1-u)\ln(1-v)}}}{1-\rho }}\right)\\&{\text{where }}x=F_{X}^{-1}(u)=-\ln(1-u)/\lambda \\&{\text{where }}y=F_{Y}^{-1}(v)=-\ln(1-v)/\mu \end{aligned}}}$	система массового обслуживания с бесконечным числом серверов [77]
Рэлей	двумерные экспоненты, копулы Рэлея и Вейбулла доказали свою эквивалентность [78] [79] [80]	обнаружение изменений по изображениям SAR [81]
Weibull	двумерные экспоненты, копулы Рэлея и Вейбулла доказали свою эквивалентность [78] [79] [80]	цифровая связь по каналам с замиранием [82]
Лог-нормальный	двумерная логнормальная копула и гауссова копула эквивалентны [80] [79]	затухание тени вместе с эффектом многолучевого распространения в беспроводном канале [83] [84]
Фарли-Гамбель-Моргенштерн (КОЖПО)	${\displaystyle {\begin{aligned}={}&1+\theta (1-2u)(1-2v)\\&{\text{where }}\theta \in [-1,1]\end{aligned}}}$	обработка информации о неопределенности в системах, основанных на знаниях [85]
Clayton	${\displaystyle {\begin{aligned}={}&(1+\theta )(uv)^{(-1-\theta )}(-1+u^{-\theta }+v^{-\theta })^{(-2-1/\theta )}\\&{\text{where }}\theta \in (-1,\infty ),\theta \neq 0\end{aligned}}}$	оценка местоположения источника случайного сигнала и проверка гипотез с использованием разнородных данных [86] [87]
откровенный	${\displaystyle {\begin{aligned}={}&{\frac {\theta e^{\theta (u+v)}(e^{\theta }-1)}{(e^{\theta }-e^{\theta u}-e^{\theta v}+e^{\theta (u+v)})^{2}}}\\&{\text{where }}\theta \in (-\infty ,+\infty ),\theta \neq 0\end{aligned}}}$	обнаружение изменений в приложениях дистанционного зондирования [88]
Студенческий т	${\displaystyle {\begin{aligned}={}&{\frac {\Gamma (0.5v)\Gamma (0.5v+1)(1+(t_{v}^{-2}(u)+t_{v}^{-2}(v)-2\rho t_{v}^{-1}(u)t_{v}^{-1}(v))/(v(1-\rho ^{2})))^{-0.5(v+2)})}{{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\cdot \Gamma (0.5(v+1))^{2}(1+t_{v}^{-2}(u)/v)^{-0.5(v+1)}(1+t_{v}^{-2}(v)/v)^{-0.5(v+1)}}}\\&{\text{where }}\rho \in (-1,1)\\&{\text{where }}\phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{z}\exp \left({\frac {-t^{2}}{2}}\right)\,dt\\&{\text{where }}t_{v}(x\mid v)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {\Gamma {(0.5(v+1))}}{{\sqrt {v\pi }}(\Gamma {0.5v})(1+v^{-1}t^{2})^{0.5(v+1)}}}dt\\&{\text{where }}v={\text{degrees of freedom}}\\&{\text{where }}\Gamma {\text{ is the Gamma function}}\end{aligned}}}$	контролируемая классификация изображений SAR, [81] слияние коррелированных сенсорных решений [89]
Накагами-м
Rician

См. Также [ править ]

• Связь (вероятность)

Ссылки [ править ]