Непрерывное равномерное распределение

Униформа

Функция плотности вероятности Используя максимальное соглашение
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} (а, б)}$ или же ${\ Displaystyle \ mathrm {unif} (а, б)}$
Параметры	${\ displaystyle - \ infty <a <b <\ infty \,}$
Служба поддержки	${\ Displaystyle х \ в [а, б]}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\1&{\text{for }}x>b\end{cases}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Медиана	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Режим	любое значение в ${\displaystyle (a,b)}$
Дисперсия	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}}$
Асимметрия	0
Бывший. эксцесс	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}$
Энтропия	${\displaystyle \ln(b-a)\,}$
MGF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}}$
CF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}}$

В теории вероятностей и статистике , то непрерывное равномерное распределение или прямоугольное распределение представляет собой семейство симметричных распределений вероятностей . Распределение описывает эксперимент, в котором есть произвольный результат, находящийся в определенных пределах. ^[1] Границы определяются параметрами a и b , которые являются минимальным и максимальным значениями. Интервал может быть либо закрытым (например, [a, b]), либо открытым (например, (a, b)). ^[2] Поэтому распределение часто обозначают сокращенно U ( a ,б ), где U означает равномерное распределение. ^[1] Разница между границами определяет длину интервала; все интервалы одинаковой длины на опоре распределения равновероятны. Это максимальное распределение вероятностей энтропии для случайной величины X без каких-либо ограничений, кроме тех, которые содержатся в опоре распределения. ^[3]

Определения [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Функция плотности вероятности непрерывного равномерного распределения:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}}$

Значения f ( x ) на двух границах a и b обычно не важны, потому что они не изменяют значения интегралов f ( x )  dx на любом интервале, а также x  f ( x )  dx или любой более высокий момент. Иногда их выбирают равными нулю, а иногда -1/б  -  а. Последнее уместно в контексте оценки методом максимального правдоподобия . В контексте анализа Фурье можно принять значение f ( a ) или f ( b ) как1/2 ( б  -  а ), с тех пор обратное преобразование многих интегральных преобразований этой равномерной функции вернет саму функцию, а не функцию, которая равна « почти всюду », то есть кроме набора точек с нулевой мерой . Кроме того, это согласуется со знаковой функцией, в которой нет такой двусмысленности.

Графически функция плотности вероятности изображается в виде прямоугольника, где - основание, а - высота. По мере увеличения расстояния между a и b плотность при любом конкретном значении в границах распределения уменьшается. ^[4] Поскольку функция плотности вероятности интегрируется до 1, высота функции плотности вероятности уменьшается с увеличением длины основания. ^[4]${\displaystyle b-a}$${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{b-a}}}$

В терминах среднего μ и дисперсии σ ² плотность вероятности может быть записана как:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\mbox{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Пример 1. Использование функции равномерной плотности вероятности ^[5] [ править ]

Для случайной величины X

${\displaystyle X\sim U(0,23)}$

Найдите :${\displaystyle \scriptstyle P(2<X<18)}$

${\displaystyle P(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}}$.

В графическом представлении функции равномерного распределения [f (x) vs x] область под кривой в указанных границах отображает вероятность (заштрихованная область отображается в виде прямоугольника). В этом конкретном примере, приведенном выше, будет основание, а высота - . ^[5]${\displaystyle \scriptstyle 18-2}$${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{23}}}$

Пример 2. Использование функции равномерной плотности вероятности (условная) ^[5] [ править ]

Для случайной величины X

${\displaystyle X\sim U(0,23)}$

Найдите :${\displaystyle \scriptstyle P(X>12\ |\ X>8)}$

${\displaystyle P(X>12\ |\ X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}}$.

Приведенный выше пример относится к случаю условной вероятности для равномерного распределения: задано верно, какова вероятность этого . Условная вероятность изменяет пространство выборки, поэтому необходимо рассчитать новую длину интервала , где b равно 23, а a равно 8. ^[5] Графическое представление все равно будет соответствовать примеру 1, где область под кривой в указанных границах отображает вероятность и основание прямоугольника будет и высотой . ^[5]${\displaystyle \scriptstyle X>8}$${\displaystyle \scriptstyle X>12}$${\displaystyle b-a}$${\displaystyle \scriptstyle 23-12}$${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{15}}}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Кумулятивная функция распределения является:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b\\[8pt]1&{\text{for }}x>b\end{cases}}}$

Его обратное:

${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\,\,{\text{ for }}0<p<1}$

В обозначениях среднего и дисперсии кумулятивная функция распределения имеет вид:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}}\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}}\end{cases}}}$

и обратное:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \,\,{\text{ for }}0\leq p\leq 1}$

Генерация функций [ править ]

Функция создания моментов [ править ]

Функция создания момента : ^[6]

${\displaystyle M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!}$ ^[7]

из которых мы можем вычислить исходные моменты m _k

${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},\,\!}$

${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\,\!}$

${\displaystyle m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\,\!}$

Для частного случая a  = - b , т. Е. Для

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{for}}\ -b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

функции, производящие момент, сводятся к простому виду

${\displaystyle M_{x}={\frac {\sinh bt}{bt}}.}$

Для случайной величины ниже этого распределения, то ожидаемое значение затем т ₁ = (  +  б ) / 2 , а дисперсия является м ₂  -  м ₁ ² = ( б  -  ) ² /12.

Кумулянт-генерирующая функция [ править ]

Для п  ≥ 2 , на п - й кумулянта распределения равномерной на интервале [-1/2, 1/2] является В _п / п , где Б _п является п - го числа Бернулли . ^[8]

Стандартная форма [ править ]

Ограничивая и , полученное распределение U (0,1) называется стандартным равномерным распределением .${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=1}$

Одно интересное свойство стандартного равномерного распределения состоит в том, что если u ₁ имеет стандартное равномерное распределение, то также и 1- u ₁ . Это свойство можно использовать , среди прочего, для генерации противоположных переменных . Другими словами, это свойство известно как метод инверсии, при котором непрерывное стандартное равномерное распределение может использоваться для генерации случайных чисел для любого другого непрерывного распределения. ^[4] Если u - равномерное случайное число со стандартным равномерным распределением (0,1), то генерирует случайное число x из любого непрерывного распределения с указанным${\displaystyle x=F^{-1}(u)}$Интегральная функция распределения F . ^[4]

Связь с другими функциями [ править ]

Пока те же соглашения соблюдаются в точках перехода, функция плотности вероятности также может быть выражена в терминах ступенчатой ​​функции Хевисайда :

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},\,\!}$

или в терминах функции прямоугольника

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-\left({\frac {a+b}{2}}\right)}{b-a}}\right).}$

В точке перехода знаковой функции нет двусмысленности . Используя соглашение о половине максимума в точках перехода, равномерное распределение можно выразить через знаковую функцию как:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$

Свойства [ править ]

Моменты [ править ]

Среднее значение (первый момент ) распределения:

${\displaystyle E(X)={\frac {1}{2}}(b+a).}$

Второй момент раздачи:

${\displaystyle E(X^{2})={\frac {b^{3}-a^{3}}{3b-3a}}.}$

В общем, n-й момент равномерного распределения равен:

${\displaystyle E(X^{n})={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}.}$

Дисперсия (второй центральный момент ) составляет:

${\displaystyle V(X)={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}}$

Статистика заказов [ править ]

Пусть X ₁ , ..., X _n - образец идентификатора из U (0,1). Пусть X _{( k )} будет статистикой k- го порядка из этой выборки. Тогда распределение вероятностей X _{( k )} является бета-распределением с параметрами k и n - k + 1 . Ожидаемое значение

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.}$

Этот факт полезен при принятии Q-Q участков .

Расхождения

${\displaystyle \operatorname {V} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

См. Также: Статистика заказов § Распределения вероятностей статистики заказов.

Единообразие [ править ]

Вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина попадает в любой интервал фиксированной длины, не зависит от местоположения самого интервала (но зависит от размера интервала), пока интервал содержится в опоре распределения.

Чтобы убедиться в этом, если X ~ U ( a , b ) и [ x , x + d ] - подынтервал в [ a , b ] с фиксированным d > 0, то

${\displaystyle P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!}$которое не зависит от x . Этот факт мотивирует название дистрибутива.

Обобщение на борелевские множества [ править ]

Это распределение можно обобщить на более сложные наборы, чем интервалы. Если S является борелевское множество положительной, конечной мерой, то равномерное распределение вероятностей на S может быть определено путем определения PDF равным нулю вне S и постоянно равна 1 / K на S , где K является мерой Лебега на S .

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Если X имеет стандартное равномерное распределение, то по методу выборки с обратным преобразованием Y = - λ ⁻¹ ln (X) имеет экспоненциальное распределение с параметром (скоростью) λ.
• Если X имеет стандартное равномерное распределение, то Y = X ⁿ имеет бета-распределение с параметрами ( 1 / n, 1) . Как таковой,
• Стандартное равномерное распределение - это частный случай бета-распределения с параметрами ( 1,1) .
• Распределение Ирвина – Холла представляет собой сумму распределений n i.id U (0,1) .
• Сумма двух независимых, одинаково распределенных, равномерных распределений дает симметричное треугольное распределение .
• Расстояние между двумя однородными случайными величинами iid также имеет треугольное распределение , хотя и не симметричное.

Статистический вывод [ править ]

Оценка параметров [ править ]

Оценка максимума [ править ]

Несмещенная оценка с минимальной дисперсией [ править ]

Учитывая равномерное распределение на [0,  Ь ] с неизвестным б, минимальной дисперсии несмещенной оценкой (UMVUE) для максимума задается

${\displaystyle {\hat {b}}_{\text{UMVU}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}}}$

где m - максимум выборки, а k - размер выборки, выборка без замены (хотя это различие почти наверняка не имеет значения для непрерывного распределения). Это следует по тем же причинам, что и оценка дискретного распределения , и может рассматриваться как очень простой случай оценки максимального разнесения . Эта проблема широко известна как проблема немецких танков из-за применения максимальной оценки к оценке производства немецких танков во время Второй мировой войны .

Оценщик максимального правдоподобия [ править ]

Оценка максимального правдоподобия определяется по формуле:

${\displaystyle {\hat {b}}_{ML}=m}$

где m - максимум выборки , также обозначаемый как статистика максимального порядка выборки.${\displaystyle m=X_{(n)}}$

Метод оценки момента [ править ]

Метод моментов оценки определяется по формуле:

${\displaystyle {\hat {b}}_{MM}=2{\bar {X}}}$

где - выборочное среднее.${\displaystyle {\bar {X}}}$

Оценка середины [ править ]

Середина распределения ( a  +  b ) / 2 является как средним, так и медианным значением равномерного распределения. Хотя и среднее значение выборки, и медиана выборки являются несмещенными оценками средней точки, ни одна из них не так эффективна, как средний диапазон выборки , то есть среднее арифметическое максимума выборки и минимум выборки, который является UMVU- оценкой средней точки ( также оценка максимального правдоподобия ).

Доверительный интервал [ править ]

По максимуму [ править ]

Пусть X ₁ , X ₂ , X ₃ , ..., X _n будет выборкой из U (0, L ), где L - максимум совокупности. Тогда X _{( n )} = max ( X ₁ , X ₂ , X ₃ , ..., X _n ) имеет плотность ^[9]

${\displaystyle f_{n}(X_{(n)})=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {X_{(n)}}{L}}\right)^{n-1}=n{\frac {X_{(n)}^{n-1}}{L^{n}}},0<X_{(n)}<L}$

Тогда доверительный интервал для расчетного максимума совокупности равен ( X _{( n )} , X _{( n )} / α ^{1 / n} ), где 100 (1 -  α )% - это искомый уровень достоверности. В символах

${\displaystyle X_{(n)}\leq L\leq X_{(n)}/\alpha ^{1/n}}$

Проверка гипотез [ править ]

В статистике , когда p-значение используется в качестве тестовой статистики для простой нулевой гипотезы и распределение тестовой статистики является непрерывным, то p-значение равномерно распределяется между 0 и 1, если нулевая гипотеза верна.

Возникновение и применение [ править ]

Вероятности для функции равномерного распределения легко вычислить из-за простоты формы функции. ^[2] Таким образом, существуют различные приложения, для которых это распределение может использоваться, как показано ниже: ситуации проверки гипотез, случаи случайной выборки, финансы и т. Д. Кроме того, в целом эксперименты физического происхождения следуют равномерному распределению (например, выброс радиоактивных частиц ). ^[1] Однако важно отметить, что в любом приложении есть неизменное предположение, что вероятность попадания в интервал фиксированной длины постоянна. ^[2]

Пример экономики для равномерного распределения [ править ]

В области экономики обычно спрос и пополнение могут не соответствовать ожидаемому нормальному распределению. В результате для лучшего прогнозирования вероятностей и тенденций используются другие модели распределения, такие как процесс Бернулли . ^[10] Но, согласно Ванке (2008), в частном случае исследования времени выполнения заказа для управления запасами в начале жизненного цикла, когда анализируется совершенно новый продукт, равномерное распределение оказывается более полезным. ^[10]В этой ситуации другое распределение может оказаться нежизнеспособным, поскольку нет существующих данных о новом продукте или что история спроса недоступна, поэтому на самом деле нет подходящего или известного распределения. ^[10] Равномерное распределение было бы идеальным в этой ситуации, поскольку случайная переменная времени выполнения заказа (связанная со спросом) для нового продукта неизвестна, но результаты, вероятно, будут находиться в диапазоне между правдоподобным диапазоном двух значений. ^[10] свинцово-время , таким образом , представляет собой случайную величину. На основе модели равномерного распределения можно было рассчитать другие факторы, связанные со временем выполнения заказа, такие как уровень обслуживания цикла и дефицит за цикл.. Также было отмечено, что равномерное распределение также использовалось из-за простоты расчетов. ^[10]

Выборка из произвольного дистрибутива [ править ]

Равномерное распределение полезно для выборки из произвольных распределений. Общий метод - это метод выборки с обратным преобразованием, который использует кумулятивную функцию распределения (CDF) целевой случайной величины. Этот метод очень полезен в теоретической работе. Поскольку моделирование с использованием этого метода требует инвертирования CDF целевой переменной, были разработаны альтернативные методы для случаев, когда cdf неизвестен в закрытой форме. Одним из таких методов является отбраковочная выборка .

Нормальное распределение является важным примером , где обратное преобразование метод не является эффективным. Однако существует точный метод, преобразование Бокса – Мюллера , которое использует обратное преобразование для преобразования двух независимых однородных случайных величин в две независимые нормально распределенные случайные величины.

Ошибка квантования [ править ]

При аналого-цифровом преобразовании возникает ошибка квантования. Эта ошибка возникает из-за округления или усечения. Когда исходный сигнал намного больше, чем один младший значащий бит (LSB) , ошибка квантования существенно не коррелирует с сигналом и имеет приблизительно равномерное распределение. Следовательно, среднеквадратичная ошибка следует из дисперсии этого распределения.

Вычислительные методы [ править ]

Выборка из равномерного распределения [ править ]

Есть много приложений, в которых полезно проводить имитационные эксперименты. Многие языки программирования поставляются с реализациями для генерации псевдослучайных чисел, которые эффективно распределяются в соответствии со стандартным равномерным распределением.

Если u является значением, выбранным из стандартного равномерного распределения, тогда значение a + ( b - a ) u следует за равномерным распределением, параметризованным a и b , как описано выше.

История [ править ]

Хотя исторические истоки концепции равномерного распределения неубедительны, предполагается, что термин «равномерный» возник из концепции равновероятности в играх в кости (обратите внимание, что игры в кости будут иметь дискретное, а не непрерывное однородное пространство выборки). Равновероятность была упомянута в Liber de Ludo Aleae Джероламо Кардано , руководстве, написанном в 16 веке и подробно описывающем продвинутое исчисление вероятностей применительно к играм в кости. ^[11]

См. Также [ править ]

• Равномерное распределение (дискретное)
• Бета-распространение
• Преобразование Бокса – Мюллера
• График вероятности
• График QQ
• Прямоугольная функция
• Распределение Ирвина – Холла. В вырожденном случае, когда n = 1, распределение Ирвина – Холла дает равномерное распределение между 0 и 1.
• Распределение Бейтса - аналогично распределению Ирвина-Холла, но с измененным масштабом для n. Как и распределение Ирвина-Холла, в вырожденном случае, когда n = 1, распределение Бейтса порождает равномерное распределение между 0 и 1.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Казелла, Джордж; Роджер Л. Бергер (2001), Статистический вывод (2-е изд.), ISBN 978-0-534-24312-8, LCCN  2001025794

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-калькулятор равномерного распределения (непрерывного)