Атом (теория меры)

В математике , точнее в теории меры , атом - это измеримое множество, которое имеет положительную меру и не содержит множества меньших положительных мер. Мера , которая не имеет атомов, называется неатомической или безатомным .

Определение [ править ]

Учитывая измеримое пространство и меру на этом пространстве, множество в называется атомом, если ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle A \ подмножество X}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$

{\ displaystyle \ mu (A)> 0}

и для любого измеримого подмножества с ${\ Displaystyle B \ подмножество A}$

{\ Displaystyle \ му (В) <\ му (А)}

набор имеет нулевую меру. ${\ displaystyle B}$

Если есть атом, все подмножества в классе -эквивалентности из являются атомами, и называются атомным классом. Если - -конечная мера, существует счетное множество атомных классов. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle [A]}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle [A]}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Примеры [ править ]

Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10} , и пусть сигма-алгебра будет булеан из X . Определите меру набора как его мощность , то есть количество элементов в наборе. Тогда каждый из синглтонов { i } для i = 1,2, ..., 9, 10 является атомом. ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ mu}$
Рассмотрим меру Лебега на прямой . У этой меры нет атомов.

Атомарные меры [ править ]

-Конечная мера на измеримом пространстве , называется атомной или чисто атомной , если каждое измеримое множество положительной меры содержит атом. Это равносильно тому, чтобы сказать, что существует счетное разделение, образованное атомами. ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle X}$

Дискретные меры [ править ]

Атомарная мера называется дискретной, если пересечение атомов любого атомного класса непусто. Это равносильно тому, чтобы сказать, что это взвешенная сумма счетного числа мер Дирака, то есть существует последовательность точек в и последовательность положительных действительных чисел (весов) такие, что , что означает, что для каждого . Мы можем выбрать каждую точку как общую точку атомов в -м атомном классе. ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ...}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, ...}$ ${\ displaystyle \ mu = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} \ delta _ {x_ {k}}}$ $\mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)$ $A\in \Sigma$ $x_{k}$ $k$

Дискретная мера атомная , но обратные Подразумеваются терпит неудачу: взятие , в -алгебре счетны и со-счетных подмножеств, в счетных подмножествах и в со-счетными подмножествами. Тогда есть единственный атомарный класс, состоящий из счетных подмножеств. Мера является атомарной, но пересечение атомов в уникальном атомном классе пусто и не может быть представлено как сумма мер Дирака. $X=[0,1]$ $\Sigma$ $\sigma$ $\mu =0$ $\mu =1$ $\mu$ $\mu$

Если каждый атом эквивалентен одиночному элементу, он является дискретным, если он атомарен. В данном случае это синглтоны атомов, поэтому они уникальны. Любая конечная мера в сепарабельном метрическом пространстве, снабженном борелевскими множествами, удовлетворяет этому условию. ^[1] $\mu$ $x_{k}$

Неатомарные меры [ править ]

Мера, не имеющая атомов, называется неатомной или диффузной . Другими словами, мера неатомарна, если для любого измеримого множества с существует измеримое подмножество B в A такое, что $\mu$ $A$ $\mu (A)>0$

\mu (A)>\mu (B)>0.\,

Неатомарная мера по крайней мере с одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, так как, начиная с набора A с одним, можно построить убывающую последовательность измеримых наборов $\mu (A)>0$

A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots

такой, что

\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.

Это может быть неверно для мер, содержащих атомы; см. первый пример выше.

Оказывается, неатомарные меры на самом деле имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ - неатомарная мера и A - измеримое множество с, то для любого действительного числа b, удовлетворяющего $\mu (A)>0,$

\mu (A)\geq b\geq 0\,

существует измеримое подмножество B в A такое, что

\mu (B)=b.\,

Эта теорема принадлежит Вацлаву Серпиньскому . ^[2]^[3] Это напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского о неатомарных мерах. Несколько более сильное утверждение, которое, однако, упрощает доказательство, состоит в том, что if является неатомарным пространством с мерой и существует функция , монотонная по включению и правая обратная к . То есть существует однопараметрическое семейство измеримых множеств S (t) такое, что для всех $(X,\Sigma ,\mu )$ $\mu (X)=c$ $S:[0,c]\to \Sigma$ $\mu :\Sigma \to [0,\,c]$ $0\leq t\leq t'\leq c$

S(t)\subset S(t'),

\mu \left(S(t)\right)=t.

Доказательство легко следует из леммы Цорна, примененной к множеству всех монотонных частичных сечений к : $\mu$

\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subset [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\;(\mu \left(S(t)\right)=t)\},

упорядочено включением графов . Тогда стандартно показать, что каждая цепочка в имеет верхнюю границу и что любой максимальный элемент имеет область, доказывающую утверждение. $\mathrm {graph} (S)\subset \mathrm {graph} (S').$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ $[0,c],$

См. Также [ править ]

Атом (теория порядка) - аналогичное понятие в теории порядка
Дельта-функция Дирака
Элементарное событие , также известное как атомарное событие

Заметки [ править ]

^ Кадеты, Владимир (2018). Курс функционального анализа и теории измерений . Швейцария: Шпрингер. п. 45. ISBN 978-3-319-92003-0.
Перейти ↑ Sierpinski, W. (1922). «Sur les fonctions d'ensemble adds et continue» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 3 : 240–246.
^ Fryszkowski, Анджей (2005). Теория неподвижной точки для разложимых множеств (топологическая теория неподвижной точки и ее приложения) . Нью-Йорк: Спрингер. п. 39. ISBN 1-4020-2498-3.

Ссылки [ править ]

Брукнер, Эндрю М .; Брукнер, Джудит Б .; Томсон, Брайан С. (1997). Реальный анализ . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 108 . ISBN 0-13-458886-X.
Бутнариу, Дан; Клемент, EP (1993). Треугольные меры, основанные на норме, и игры с нечеткими коалициями . Дордрехт: Kluwer Academic. п. 87. ISBN 0-7923-2369-6.

Внешние ссылки [ править ]

Атом в Энциклопедии математики

[1] Кадеты, Владимир (2018). Курс функционального анализа и теории измерений . Швейцария: Шпрингер. п. 45. ISBN 978-3-319-92003-0.

[2] Перейти ↑ Sierpinski, W. (1922). «Sur les fonctions d'ensemble adds et continue» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 3 : 240–246.

[3] Fryszkowski, Анджей (2005). Теория неподвижной точки для разложимых множеств (топологическая теория неподвижной точки и ее приложения) . Нью-Йорк: Спрингер. п. 39. ISBN 1-4020-2498-3.

[1]