Нулевой набор

В математическом анализе , А множество нуль представляет собой набор , который может быть покрыт с помощью счетного объединения интервалов сколь угодно малой общей длины. Понятие нулевого множества в теории множеств предвосхищает развитие меры Лебега, поскольку нулевое множество обязательно имеет нулевую меру . В более общем смысле, в данном пространстве мер нулевым набором является такой набор , что . ${\ Displaystyle N \ подмножество \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle М = (Икс, \ Sigma, \ му)}$ ${\ Displaystyle S \ подмножество X}$ ${\ Displaystyle \ му (S) = 0}$

Пример [ править ]

Каждое счетное подмножество действительных чисел (то есть конечное или счетно бесконечное) равно нулю. Например, набор натуральных чисел является счетным, имеющим мощность ( aleph-zero или aleph-null ), равную нулю. Другой пример - набор рациональных чисел, который также является счетным и, следовательно, нулевым. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Однако есть некоторые бесчисленные множества, такие как набор Кантора , которые являются нулевыми.

Определение [ править ]

Предположим, что это подмножество реальной прямой, такое что ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

\forall \varepsilon >0,\ \exists \left\{U_{n}\right\}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ \land \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n}\right|<\varepsilon \,,

где $U n$ - интервалы, а $| U |$ - длина $U$ , тогда $A$ - это нулевой набор ^[1], также известный как набор с нулевым содержанием.

В терминологии математического анализа , это определение требует , чтобы быть последовательностью из открытых покрытий из $A$ , для которых предел длин крышек равен нуль.

Нулевые множества включают все конечные множества , все счетные множества и даже некоторые несчетные множества, такие как множество Кантора .

Свойства [ править ]

Пустое множество всегда множество нуля. В более общем смысле любое счетное объединение нулевых множеств равно нулю. Любое измеримое подмножество нулевого набора само по себе является нулевым набором. Вместе эти факты свидетельствуют о том, что м -null ^{[ дальнейшее объяснение необходимости ]} множества X образуют сигма-идеал на X . Точно так же измеримые m- пустые множества образуют сигма-идеал сигма-алгебры измеримых множеств. Таким образом, нулевые множества можно интерпретировать как незначительные множества , определяя понятие почти везде .

Мера Лебега [ править ]

Мера Лебега является стандартным способом присвоения длины , площади или объема для подмножеств евклидова пространства .

Подмножество N из имеет нулевую меру Лебега и считается нулевым множеством тогда и только тогда, когда: $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

При любом положительное число ε , существует последовательность { Я _п } из интервалов в таким образом, что N содержится в объединении с { I _п } и общей длиной объединения меньше , чем е .

\mathbb {R}

Это условие можно обобщить , используя n - кубы вместо интервалов. Фактически, эта идея может иметь смысл на любом римановом многообразии , даже если там нет меры Лебега. $\mathbb {R} ^{n}$

Например:

Что касается , все одноточечные наборы равны нулю, и, следовательно, все счетные множества равны нулю. В частности, множество Q из рациональных чисел является множество нуля, несмотря на плотной в . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}$
Стандартная конструкция из множества Кантора является примером нулевого бесчисленного множества в ; однако возможны и другие конструкции, которые приписывают набору Кантора какую-либо меру. $\mathbb {R}$
Все подмножества , размерность которых меньше n, имеют нулевую меру Лебега в . Например, прямые или окружности не заданы . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{2}$
Лемма Сарда : множество критических значений гладкой функции имеет нулевую меру.

Если λ - мера Лебега для, а π - мера Лебега для , то мера произведения . В терминах нулевых множеств следующая эквивалентность была названа теоремой Фубини : ^[2] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\lambda \times \lambda =\pi$

Для и $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$
$\pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.$

Использует [ редактировать ]

Нулевые множества играют ключевую роль в определении интеграла Лебега : если функции f и g равны, за исключением нулевого множества, то f является интегрируемым тогда и только тогда, когда g есть, и их интегралы равны. Это побуждает формальное определение L р пространств как множества классов эквивалентности функций , которые отличаются только в наборах нуля.

Мера, в которой измеримы все подмножества нулевых множеств, является полной . Любая неполная мера может быть завершена, чтобы сформировать полную меру, утверждая, что подмножества нулевых множеств имеют нулевую меру. Мера Лебега - пример полной меры; в некоторых конструкциях он определяется как пополнение неполной борелевской меры .

Подмножество множества Кантора, которое не измеримо по Борелю [ править ]

Мера Бореля неполна. Одна простая конструкция - начать со стандартного канторовского множества K , которое замкнуто, следовательно, измеримо по Борелю и которое имеет нулевую меру, и найти подмножество F в K, которое не измеримо по Борелю. (Поскольку мера Лебега полна, эта F, конечно, измерима по Лебегу.)

Во-первых, мы должны знать, что каждый набор положительной меры содержит неизмеримое подмножество. Пусть f - функция Кантора , непрерывная функция, локально постоянная на K ^c и монотонно возрастающая на [0, 1], причем f (0) = 0 и f (1) = 1. Очевидно, f ( K ^c ) счетно, так как содержит по одной точке на каждую компоненту K ^c . Следовательно, f ( K ^c ) имеет нулевую меру, значит, f ( K ) имеет меру один. Нам нужна строго монотонная функция , поэтому рассмотрим g( х ) = е ( х ) + х . Поскольку g ( x ) строго монотонна и непрерывна, это гомеоморфизм . Кроме того, g ( K ) имеет меру один. Пусть E ⊂ g ( K ) неизмеримо и F = g ⁻¹ ( E ). Поскольку g инъективен, мы имеем, что F ⊂ K , и поэтому F - нулевое множество. Однако если бы оно было измеримо по Борелю, то g ( F) также было бы измеримо по Борелю (здесь мы используем тот факт, что прообраз борелевского множества непрерывной функцией измерим; g ( F ) = ( g ⁻¹ ) ⁻¹ ( F ) является прообразом F через непрерывную функцию h = g ⁻¹ .) Следовательно, F - нулевое, но не измеримое по Борелю множество.

Haar null [ править ]

В сепарабельном банаховом пространстве ( X , +), групповая операция движется любое подмножество ⊂ X к переводит + х для любого х ∈ Х . Когда существует вероятность того, мера μ на а-алгебре борелевских подмножеств из X , такие , что для всех х , μ ( + х ) = 0, то является пустым множеством Хаара . ^[3]

Термин относится к нулевой инвариантности мер сдвигов, связывая это с полной инвариантностью, обнаруженной с мерой Хаара .

Некоторые алгебраические свойства топологических групп были связаны с размером подмножеств и нулевых множеств Хаара. ^[4] Нулевые множества Хаара использовались в польских группах, чтобы показать, что когда A не является скудным множеством, тогда A ⁻¹A содержит открытую окрестность элемента идентичности . ^[5] Это свойство названо в честь Гуго Штейнхауза, поскольку оно является заключением теоремы Штейнхауза .

См. Также [ править ]

Функция Кантора
Мера (математика)
Пустой набор
Ничего

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Franks, John (2009). (Краткое) Введение в интеграцию Лебега . Студенческая математическая библиотека. 48 . Американское математическое общество . п. 28. DOI : 10,1090 / stml / 048 . ISBN 978-0-8218-4862-3.
^ Ван Дауэн, Eric K. (1989). «Теорема Фубини для нулевых множеств». Американский математический ежемесячник . 96 (8): 718–21. DOI : 10.1080 / 00029890.1989.11972270 . JSTOR 2324722 . Руководство по ремонту 1019152 .
^ Matouskova, Ева (1997). "Выпуклость и нулевые множества Хаара" (PDF) . Труды Американского математического общества . 125 (6): 1793–1799. DOI : 10.1090 / S0002-9939-97-03776-3 . JSTOR 2162223 .
^ Solecki, S. (2005). «Размеры подмножеств групп и нулевые множества Хаара». Геометрический и функциональный анализ . 15 : 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074 . DOI : 10.1007 / s00039-005-0505-Z . Руководство по ремонту 2140632 .
^ Dodos, Pandelis (2009). «Свойство Штейнхауза и нулевые множества Хаара». Бюллетень Лондонского математического общества . 41 (2): 377–44. arXiv : 1006,2675 . Bibcode : 2010arXiv1006.2675D . DOI : 10.1112 / БЛМ / bdp014 . Руководство по ремонту 4296513 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Капински, Марек; Копп, Эккехард (2005). Мера, интеграл и вероятность . Springer. п. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
Джонс, Фрэнк (1993). Интегрирование Лебега на евклидовых пространствах . Джонс и Бартлетт. п. 107. ISBN 978-0-86720-203-8.
Окстоби, Джон С. (1971). Мера и категория . Springer-Verlag. п. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.

[1] Перейти ↑ Franks, John (2009). (Краткое) Введение в интеграцию Лебега . Студенческая математическая библиотека. 48 . Американское математическое общество . п. 28. DOI : 10,1090 / stml / 048 . ISBN 978-0-8218-4862-3.

[2] Ван Дауэн, Eric K. (1989). «Теорема Фубини для нулевых множеств». Американский математический ежемесячник . 96 (8): 718–21. DOI : 10.1080 / 00029890.1989.11972270 . JSTOR 2324722 . Руководство по ремонту 1019152 .

[3] Matouskova, Ева (1997). "Выпуклость и нулевые множества Хаара" (PDF) . Труды Американского математического общества . 125 (6): 1793–1799. DOI : 10.1090 / S0002-9939-97-03776-3 . JSTOR 2162223 .

[4] Solecki, S. (2005). «Размеры подмножеств групп и нулевые множества Хаара». Геометрический и функциональный анализ . 15 : 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074 . DOI : 10.1007 / s00039-005-0505-Z . Руководство по ремонту 2140632 .

[5] Dodos, Pandelis (2009). «Свойство Штейнхауза и нулевые множества Хаара». Бюллетень Лондонского математического общества . 41 (2): 377–44. arXiv : 1006,2675 . Bibcode : 2010arXiv1006.2675D . DOI : 10.1112 / БЛМ / bdp014 . Руководство по ремонту 4296513 .

[1],