Крышка (топология)

В математике , в частности , топологии , А крышка из множества представляет собой совокупность множеств, объединение которых включает в себя в качестве подмножества . Формально, если это индексированное семейство множеств, то это покрытие, если${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle C = \ lbrace U _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \ rbrace}$${\displaystyle U_{\alpha },}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Обложка в топологии [ править ]

Крышки обычно используются в контексте топологии . Если множество X является топологическим пространством , то крышка С из X представляет собой набор подмножеств U _а из X , объединение которых есть все пространство Х . В этом случае мы говорим , что C покрывает X , или , что множества U _а покрытие X . Кроме того , если Y представляет собой подмножество X , то крышка из Y представляет собой набор подмножеств X , объединение которых содержит Y, т. е. C является покрытием Y, если

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Пусть C будет покрытие топологического пространства X . Подпокрытие из C представляет собой подмножество C , которые все еще покрывает X .

Мы говорим, что C - открытое покрытие, если каждый из его членов является открытым множеством (т.е. каждый U _α содержится в T , где T - топология на X ).

Покрытие X называется локально конечным, если каждая точка X имеет окрестность, которая пересекает только конечное число множеств в покрытии. Формально C = { U _α } локально конечно, если для любого существует некоторая окрестность N ( x ) точки x такая, что множество${\displaystyle x\in X,}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$

конечно. Покрытие X называется точечным конечным, если каждая точка X содержится только в конечном числе множеств покрытия. Покрытие точечно конечно, если оно локально конечно, хотя обратное не всегда верно.

Уточнение [ править ]

Уточнение крышки топологического пространства является новым покрытием из таких , что каждое множество содержится в некотором множестве в . Формально,${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$является уточнением, если для всех существует такое, что${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle \beta \in B}$${\displaystyle \alpha \in A}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

Другими словами, есть уточнение карта , удовлетворяющая для каждого используется эта карта, например, в Чеха из . ^[1]${\displaystyle \phi :B\to A}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$${\displaystyle \beta \in B.}$${\displaystyle X}$

Любое подкрытие - это тоже изящество, но не всегда обратное. Дополнительное покрытие сделано из наборов, которые есть в обложке, но без некоторых из них; тогда как уточнение производится из любых наборов, которые являются подмножествами наборов в обложке.

Отношение уточнения является предварительным порядком на множестве покрытий .${\displaystyle X}$

Вообще говоря, уточнение данной структуры - это еще одно, что в некотором смысле содержит ее. Примеры можно найти при разбиении интервала (одно из уточнений бытия ) с учетом топологий ( стандартная топология в евклидовом пространстве является уточнением тривиальной топологии ). При разбиении симплициальных комплексов (первое барицентрическое подразделение симплициального комплекса является уточнением) ситуация немного иная: каждый симплекс более тонкого комплекса является гранью некоторого симплекса более грубого, и оба имеют равные лежащие в основе многогранники.${\displaystyle a_{0}<a_{1}<...<a_{n}}$${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<...<a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

Еще одно понятие изысканности - это звездная утонченность .

Подкрытие [ править ]

Простой способ получить дополнительную обложку - опустить наборы, содержащиеся в другом наборе обложки. Рассмотрим конкретно открытые крышки. Позвольте быть топологической базой и быть открытым покрытием First Take Then является уточнением . Затем для каждого мы выбираем содержащий (требующий аксиомы выбора). Тогда является подпокрытием. Следовательно, мощность подпокрытия открытого покрытия может быть такой же малой, как мощность любого топологического базиса. Поэтому , в частности , второй счетности предполагает пространство является Линделёф .${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

Компактность [ править ]

Язык покрытий часто используется для определения нескольких топологических свойств, связанных с компактностью . Топологическое пространство X называется

Компактный

если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет конечное измельчение);

Линделёф

если каждое открытое покрытие имеет счетное дополнительное покрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет счетное уточнение);

Метакомпакт

если каждое открытое покрытие имеет точечно-конечное открытое измельчение;

Паракомпакт

если каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое измельчение.

Дополнительные варианты см. В статьях выше.

Покрывающий размер [ править ]

Говорят, что топологическое пространство X имеет размерность покрытия n, если каждое открытое покрытие X имеет точечно-конечное открытое уточнение, такое, что никакая точка X не входит в более чем n + 1 множества в уточнении, и если n - минимальное значение для чего это правда. ^[2] Если такого минимального n не существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.

См. Также [ править ]

• Атлас (топология)
• Покрытие пространства
• Разделение набора
• Установить проблему с обложкой
• Звездное уточнение
• Топология Гротендика

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

1. Введение в топологию, второе издание , Теодор В. Гамлен и Роберт Эверист Грин. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6 
2. Общая топология , Джон Л. Келли . D. Van Nostrand Company, Inc., Принстон, Нью-Джерси. 1955 г.

Внешние ссылки [ править ]

• "Покрытие (множества)" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]