В математике , в частности алгебраическая топология , Чеха является когомологической теорией , основанной на свойствах пересечения открытых крышек одного топологического пространства . Он назван в честь математика Эдуарда Чеха .
Мотивация
Пусть X - топологическое пространство и пустьбыть открытым покрытием X . Позволятьобозначают нерв покрытия. Идея когомологий Чеха состоит в том, что для открытой крышки состоящий из достаточно малых открытых множеств, результирующий симплициальный комплекс должна быть хорошей комбинаторной моделью для пространства X . Для такого покрытия когомологии Чеха X определяется как симплициальные когомологии нерва. Эту идею можно формализовать понятием хорошей обложки . Однако более общий подход состоит в том, чтобы взять прямой предел групп когомологий нерва по системе всех возможных открытых покрытий X , упорядоченных путем уточнения . Это подход, принятый ниже.
Строительство
Пусть X - топологическое пространство и пустьбыть Предпучком из абелевых групп на X . Позволятьбыть открытым покрытием из X .
Симплекс
Д - симплекс σ вявляется упорядоченным набором q +1 наборов, выбранных из, такое, что пересечение всех этих множеств непусто. Это пересечение называется носителем σ и обозначается | σ |.
Теперь позвольте быть таким q -симплексом. J-й частичной граница от а определяется , чтобы быть ( д -1) -симплекса , полученного удаления J -го набора из а, то есть:
Граница от а определяется как знакопеременной суммы частичных границ:
рассматривается как элемент свободной абелевой группы, натянутой на симплексы.
Cochain
Д - коцепная из с коэффициентами в является отображением, которое ставит в соответствие каждому q -симплексу σ элемент изи обозначим множество всех q -цепей из с коэффициентами в от . является абелевой группой поточечным сложением.
Дифференциальный
Группы коцепей могут быть преобразованы в комплекс коцепей путем определения кограничного оператора от:
где является морфизмом ограничения из к (Обратите внимание, что ∂ j σ ⊆ σ, но | σ | ⊆ | ∂ j σ |.)
Расчет показывает, что
Кограницей оператор аналогичен внешней производной от когомологий де Рама , так что иногда называют дифференциал коцепного комплекса .
Коцикл
Д коцепь называется д -cocycle , если он находится в ядре, следовательно - множество всех q -коциклов.
Таким образом, ( q −1) -цепьявляется коциклом, если для всех q -симплексов условие коцикла
держит.
0-коцикл представляет собой собрание локальных разделов удовлетворяющее отношению совместимости на каждом пересечении
1-коцикл удовлетворяет для каждого непустого с участием
Кограница
Д коцепь называется д -coboundary , если она находится в образе а также - множество всех q -кограниц.
Например, 1-коцепь является 1-кограницей, если существует 0-коцепь такой, что для каждого пересекающегося
Когомологии
Чех из со значениями в определяется как когомологии коцепного комплекса . Таким образом, q- е когомологии Чеха задаются формулой
- .
Когомологии Чеха X определяется путем рассмотрения уточнений открытых покрытий. Если это уточнение то есть отображение в когомологиях Открытые покрытия X образуют направленное множество при уточнении, так что указанное выше отображение приводит к прямой системе абелевых групп. Чех из X со значениями вопределяется как прямой предел этой системы.
Когомологии Чеха X с коэффициентами в фиксированной абелевой группе A , обозначаемые, определяется как где является постоянный пучок на X определяется A .
Вариант когомологий Чеха, называемый числовыми когомологиями Чеха , определяется, как указано выше, за исключением того, что все рассматриваемые открытые покрытия должны быть числовыми : то есть существует такое разбиение единицы {ρ i }, что каждая опорасодержится в каком-то элементе крышки. Если X является паракомпактным и Хаусдорфом , то исчислимый Чех совпадает с обычным Чехом.
Связь с другими теориями когомологий
Если X является гомотопически эквивалентно к в комплексе CW , то когомологии Чехэто естественно изоморфно к сингулярным когомологиям . Если X - дифференцируемое многообразие , тотакже естественно изоморфна когомологиям де Рама ; статья о когомологиях де Рама дает краткий обзор этого изоморфизма. Для пространств с менее хорошим поведением когомологии Чеха отличаются от особых когомологий. Например, если X - синусоидальная кривая замкнутого тополога , то тогда как
Если X - дифференцируемое многообразие и покрытиеиз X является «хорошим прикрытием» ( т.е. всех множеств U α являются стягивает в точку, и все конечные пересечения множеств в либо пусты, либо стягиваемы в точку), то изоморфна когомологиям де Рама.
Если X компактно хаусдорфово, то когомологии Чеха (с коэффициентами в дискретной группе) изоморфны когомологиям Александера-Спаньера .
В алгебраической геометрии
Когомологии Чеха могут быть определены более широко для объектов в сайте C, наделенном топологией. Это относится, например, к месту Зариского или этальному участку схемы X . Когомологии Чеха со значениями в некотором пучке F определяются как
где копредел пробегает все покрытия (по отношению к выбранной топологии) X . Здесьопределяется так же, как и выше, за исключением того, что r- кратные пересечения открытых подмножеств внутри объемлющего топологического пространства заменяются r -кратным расслоенным произведением
Как и в классической ситуации топологических пространств, всегда есть отображение
от когомологий Чеха к когомологиям пучков . Это всегда изоморфизм в степенях n = 0 и 1, но может и не быть так в целом. Для топологии Зарисского на схеме с нётеровым разделением когомологии Чеха и пучка согласуются для любого квазикогерентного пучка . Что касается этальной топологии , две когомологии совпадают для любого этального пучка на X , при условии, что любое конечное множество точек X содержится в некоторой открытой аффинной подсхеме. Это выполняется, например, если Х является квазипроективно над аффинной схемой . [2]
Возможное различие между когомологиями Чеха и когомологиями пучков является мотивацией для использования гиперпокрытий : это более общие объекты, чем нерв Чеха.
Гиперпокрытие K ∗ пространства X - это симплициальный объект в C , т. Е. Набор объектов K n вместе с границами и отображениями вырождения. Применение пучка F к K ∗ дает симплициальную абелеву группу F ( K ∗ ), n-я группа когомологий которой обозначается H n ( F ( K ∗ )). (Эта группа совпадает св случае, если K равно.) Тогда можно показать, что существует канонический изоморфизм
где копредел теперь пробегает все гиперпокрытия. [3]
Примеры
Например, мы можем вычислить когерентные когомологии пучков на проективной линии используя комплекс Чеха. Использование крышки
имеем следующие модули из котангенсного пучка
Если мы возьмем условности, которые тогда мы получаем комплекс Чеха
С является инъективным и единственным элементом не в образе является мы получаем это
Рекомендации
Примечания к цитированию
- ^ Пенроуз, Роджер (1992), "О когомологиях невозможных фигур", Leonardo , 25 (3/4): 245-247, DOI : 10,2307 / 1575844. Перепечатано с Пенроуз, Роджер (1991), «О когомологиях невозможных фигур / La Cohomologie des Figures Impossibles» , Structural Topology , 17 : 11–16 , получено 16 января 2014 г.
- ^ Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton Mathematical Series, 33 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7, Руководство по ремонту 0559531, Раздел III.2, теорема 2.17
- ^ Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969), Etale homotopy , Lecture Notes по математике, № 100, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Теорема 8.16
Общие ссылки
- Ботт, Рауль ; Лоринг Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90613-4.
- Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-79540-0.
- Уэллс, Раймонд (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Springer-Verlag.ISBN 0-387-90419-0 . ISBN 3-540-90419-0 . Глава 2 Приложение А