В математике , то постоянный пучок на топологическом пространстве X , ассоциированный с множеством А является пучком множеств на X , чьи стебли все равны А . Он обозначается через A или A X . Константа Предпучок со значением А является Предпучком которое каждое непустое открытым подмножество из X значения A , и все, ограничение которого карты тождественного отображения →. Постоянный пучок , связанный с А является sheafification постоянной предпучки , ассоциированной с A .
В некоторых случаях множество A может быть заменено объектом A из некоторой категории C (например, когда C - категория абелевых групп или коммутативных колец ).
Постоянные пучки абелевых групп появляются, в частности, как коэффициенты в когомологиях пучков .
Основы
Пусть X - топологическое пространство, а A - множество. Сечения постоянного пучка A над открытым множеством U можно интерпретировать как непрерывные функции U → A , где A задана дискретная топология . Если U будет подключен , то эти локально постоянные функции постоянны. Если F : X → {пт} является уникальным отображением в одной точке пространства и рассматриваются как пучок на {пт}, то прообраз F -1 является постоянным пучком на X . Пучок пространство из А является проекция отображения Х × → Х (где задаются дискретная топология).
Подробный пример
Пусть X - топологическое пространство, состоящее из двух точек p и q с дискретной топологией . X имеет четыре открытых множества: ∅, { p }, { q }, { p , q }. Пять нетривиальных включений открытых множеств X показаны на диаграмме.
Предварительный пучок на X выбирает набор для каждого из четырех открытых наборов X и карту ограничений для каждого из девяти включений (пять нетривиальных включений и четыре тривиальных). Постоянная Предпучок со значением Z , которое мы будем обозначать F , является Предпучком , который выбирает все четыре комплекта быть Z , целыми числами, и все ограничения карты тождественными. F - функтор, следовательно, предпучок, поскольку он постоянен. F удовлетворяет аксиоме склеивания, но это не пучок, потому что он не соответствует аксиоме локального тождества на пустом множестве. Это связано с тем, что пустое множество покрывается пустым семейством множеств: Вакуумно любые две секции F над пустым множеством равны, если ограничены любым множеством в пустом семействе. Таким образом, из аксиомы локального тождества следует, что любые две секции F на пустом множестве равны, но это неверно.
Аналогичный предпучок G , удовлетворяющий аксиоме локального тождества над пустым множеством, строится следующим образом. Пусть G (∅) = 0 , где 0 - одноэлементное множество. На всех непустых множеств, дают гайанских значение Z . Для каждого включения открытых множеств, G возвращает либо уникальную карту до 0, если меньший набор пуст, или тождественное отображение на Z .
Обратите внимание, что вследствие аксиомы локального тождества для пустого множества все карты ограничений, включающие пустое множество, утомительны. Это верно для любого предпучка, удовлетворяющего аксиоме локальной идентичности для пустого множества, и, в частности, для любого пучка.
G - отделенный предпучок (то есть удовлетворяет аксиоме локального тождества), но, в отличие от F, не удовлетворяет аксиоме склейки. { p , q } покрывается двумя открытыми наборами { p } и { q }, и эти множества имеют пустое пересечение. Участок на { p } или на { q } является элементом Z , то есть это число. Выберите сечение m над { p } и n над { q } и предположите, что m ≠ n . Поскольку m и n ограничиваются одним и тем же элементом 0 над ∅, аксиома склейки требует существования единственного сечения s на G ({ p , q }), которое ограничивается до m на { p } и n на { q }. Но поскольку отображение ограничения из { p , q } в { p } является тождественным, s = m , и аналогично s = n , поэтому m = n , противоречие.
G ({ p , q }) слишком мала, чтобы нести информацию как о { p }, так и о { q }. Для того, чтобы увеличить его таким образомчто она удовлетворяет приклеивание аксиомы, пусть H ({ р , Q }) = Z ⊕ Z . Пусть π 1 и П 2 быть две проекции карты Z ⊕ Z → Z . Определим H ({ р }) = Im (π 1 ) = Z и Н ({ д }) = Im (π 2 ) = Z . Для остальных открытых множеств и включений, пусть Н равна G . Н является пучком называется постоянный пучок на X со значением Z . Поскольку Z - кольцо, а все отображения ограничения - гомоморфизмы колец, H - пучок коммутативных колец.
Смотрите также
Рекомендации
- Раздел II.1 Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Раздел 2.4.6 Теннисон, Б. Р. (1975), теория пучков , ISBN 978-0-521-20784-3