Аксиома склеивания

В математике , то склейка аксиома вводятся для определения , какой пучок на топологическом пространстве должен удовлетворять, учитывая , что это Предпучок , который по определению является контравариантен функтором${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}: {\ mathcal {O}} (X) \ rightarrow C}$

в категорию, которую изначально принимают за категорию множеств . Вот это частичный порядок из открытых множеств из упорядочены по картам включения ; и рассматривается как категория стандартным образом, с уникальным морфизмом${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle U \ rightarrow V}$

если это подмножество из , и ни в противном случае.${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$

Как сказано в статье о связке , существует определенная аксиома, которой должно удовлетворять любое открытое покрытие открытого набора файлов . Например, для открытых множеств и с объединением и пересечением требуется условие, чтобы${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle W}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}$является подмножеством С равным изображением в${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\times {\mathcal {F}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$

В менее формальном языке, A раздел из более чем одинаково хорошо задается парой секций: от и , соответственно, что «согласен» , в том смысле , что и имеют общее изображение в рамках соответствующих карт рестрикции${\displaystyle s}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (s',s'')}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle s''}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)}$

а также

${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)}$.

Первое серьезное препятствие в теории пучков состоит в том, чтобы увидеть, что эта аксиома склеивания или исправления является правильной абстракцией от обычной идеи в геометрических ситуациях. Например, векторное поле - это сечение касательного расслоения на гладком многообразии ; это говорит о том, что векторное поле на объединении двух открытых множеств является (не больше и не меньше) векторными полями на двух множествах, которые совпадают в местах их перекрытия.

Учитывая это базовое понимание, в теории есть и другие вопросы, и некоторые из них будут рассмотрены здесь. Другое направление - топология Гротендика , и еще одно - логический статус «локального существования» (см. Семантику Крипке – Джояла ).

Снятие ограничений на C [ править ]

Чтобы перефразировать это определение так, чтобы оно работало в любой категории , имеющей достаточную структуру, отметим, что мы можем записать объекты и морфизмы, задействованные в приведенном выше определении, на диаграмме, которую мы назовем (G) для «склейки»:${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod _{i}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

Здесь первая карта является продуктом карт ограничений

${\displaystyle {res}_{U,U_{i}}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i})}$

и каждая пара стрелок представляет два ограничения

${\displaystyle res_{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{i})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

а также

${\displaystyle res_{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{j})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$.

Стоит отметить, что эти карты исчерпывают все возможные карты ограничений, среди которых есть и .${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$

Условие того, чтобы быть пучком, и есть предел диаграммы. Это подсказывает правильную форму аксиомы склеивания:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Предпучок - это пучок, если для любого открытого множества и любого набора открытых множеств , объединение которых является , является пределом диаграммы (G) выше.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Один из способов понять аксиому склеивания - это заметить, что «неприменение» к (G) дает следующую диаграмму:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \coprod _{i,j}U_{i}\cap U_{j}{{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\coprod _{i}U_{i}\rightarrow U}$

Вот это копредел этой диаграммы. Аксиома склейки гласит, что копределы таких диаграмм превращаются в пределы.${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Связки на основе открытых наборов [ править ]

В некоторых категориях можно построить связку, указав только некоторые ее части. В частности, пусть будет топологическим пространством с базисом . Мы можем определить категорию O ′ ( X ) как полную подкатегорию , объектами которой являются . Б-пучок на со значениями в контравариантный функтор${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle \{B_{i}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}'(X)\rightarrow C}$

которое удовлетворяет аксиоме склейки для множеств в . То есть, на выборе открытых множеств , определяет все сечения пучка, так и на других открытых множествах, то неопределенный.${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

B-пучки эквивалентны пучкам (т. Е. Категория пучков эквивалентна категории B-пучков). ^[1] Ясно, что пучок на можно ограничить до B-пучка. В другом направлении, учитывая B-связку, мы должны определить сечения на других объектах . Для этого обратите внимание, что для каждого открытого набора мы можем найти коллекцию , объединение которой равно . Категорически говоря, этот выбор является копределом полной подкатегории, которой являются объекты . Так контравариантно, мы определяем , чтобы быть пределом из относительно отображений ограничения. (Здесь мы должны предположить, что этот предел существует в${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{B_{j}\}_{j\in J}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$${\displaystyle \{B_{j}\}_{j\in J}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'(U)}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(B)\}_{j\in J}}$${\displaystyle C}$.) Если это базовое открытое множество, то это терминал объект выше подкатегория , и , следовательно . Таким образом, распространяется на предпучку . Можно проверить, что это пучок, по существу потому, что каждый элемент каждого открытого покрытия является объединением базисных элементов (по определению базиса), а каждое попарное пересечение элементов в открытом покрытии является объединением базисных элементов (опять же по определению основы).${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'(U)={\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Логика C [ править ]

Первые потребности теории пучков были связаны с пучками абелевых групп ; так что выбор категории в качестве категории абелевых групп был естественным. В приложениях к геометрии, например комплексных многообразиях и алгебраической геометрии , идея пучка локальных колец является центральной. Однако это не совсем то же самое; говорят вместо локально окольцованного пространства , потому что неверно, за исключением банальных случаев, что такой пучок является функтором в категорию локальных колец . Именно стебли пучка , которые являются локальными кольцами, а не сборники секций (которые кольцо${\displaystyle C}$, но в целом не близки к местным ). Мы можем думать о локально окольцованном пространстве как о параметризованном семействе локальных колец, зависящих от in .${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

Более внимательное обсуждение здесь развеивает любую загадку. Можно свободно говорить о пучке абелевых групп или колец, потому что это алгебраические структуры (определенные, если кто-то настаивает, явной сигнатурой ). Любая категория , имеющая конечные продукты поддерживает идею объекта группы , которую некоторые предпочитают просто назвать группу в . В случае такой чисто алгебраической структуры мы можем говорить либо о пучке, имеющем значения в категории абелевых групп, либо об абелевой группе в категории пучков множеств ; это действительно не имеет значения.${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

В случае с локальным кольцом это имеет значение. На базовом уровне мы должны использовать второй стиль определения, чтобы описать, что означает локальное кольцо в категории. Это логичный вопрос: аксиомы для локального кольца требуют использования экзистенциальной квантификации в той форме, в которой для любого в кольце одно из и является обратимым . Это позволяет указать, каким должно быть «локальное кольцо в категории» в случае, если категория поддерживает достаточную структуру.${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 1-r}$

Связка [ править ]

Чтобы превратить заданный предварительный пучок в пучок , существует стандартное устройство, называемое связкой или пучком . Грубая интуиция того, что нужно делать, по крайней мере, для предварительного пучка множеств, состоит в том, чтобы ввести отношение эквивалентности, которое делает эквивалентные данные, предоставляемые разными покрытиями на перекрытиях, путем уточнения покрытий. Поэтому один подход должны пойти на стебли и восстановить пучок пространства из наилучшего пучка , полученный из .${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Такое использование языка убедительно указывает на то, что мы имеем дело с присоединенными функторами . Следовательно, имеет смысл заметить, что пучки on образуют полную подкатегорию предварительных пучков on . Здесь подразумевается утверждение, что морфизм пучков - это не что иное, как естественное преобразование пучков, рассматриваемых как функторы. Таким образом, мы получаем абстрактную характеристику пучков, сопряженных с включением слева . В некоторых приложениях, естественно, требуется описание.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

В более абстрактном языке, пучки на образуют отражательные подкатегории из предпучков (Mac Lane- Moerdijk пучки в геометрии и логиках стр. 86). В теории топоса для топологии Ловера – Тирни и ее пучков есть аналогичный результат (там же, с. 227).${\displaystyle X}$

Другие аксиомы склеивания [ править ]

Аксиома склейки теории пучков довольно общая. Можно отметить , что Майер-Виторис аксиома из гомотопической теории , например, представляет собой особый случай.

См. Также [ править ]

• Схемы склеивания

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту  0217083 .