Карта включения

Является подмножеством

B

, и

B

является подмножеством

A

.

В математике , если является подмножеством из $B$ , то отображение включения (также функция включения , вставки , ^[1] или каноническая инъекция ) является функция $ι$ , который посылает каждый элемент $х$ из $А$ в $е$ , обработанном как элемент $B$ :

{\ displaystyle \ iota: A \ rightarrow B, \ qquad \ iota (x) = x.}

«Крючковатая стрелка» ( U + 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮЧКОМ ) ^[2] иногда используется вместо функциональной стрелки выше для обозначения карты включения; таким образом:

{\ displaystyle \ iota: A \ hookrightarrow B.}

(Однако некоторые авторы используют эту стрелку с крючком для любого вложения .)

Эту и другие аналогичные инъективные функции ^[3] из подструктур иногда называют естественными инъекциями .

Для любого морфизма $f$ между объектами $X$ и $Y$ , если существует отображение включения в область $ι : A \to X$ , то можно сформировать ограничение $f ι$ объекта $f$ . Во многих случаях, можно также построить каноническое включение в кообласти $R \to Y$ , известное как диапазон от $F$ .

Приложения карт включения [ править ]

Карты включения , как правило, гомоморфизм из алгебраических структур ; таким образом, такие отображения включения являются вложениями . Точнее, если подструктура замкнута относительно некоторых операций, отображение включения будет вложением по тавтологическим причинам. Например, для некоторой бинарной операции $⋆$ , чтобы потребовать, чтобы

{\ Displaystyle \ йота (х \ звезда у) = \ йота (х) \ звезда \ йота (у)}

просто сказать, что $⋆$ последовательно вычисляется в $субструктуре$ и большой структуре. Случай с унарной операцией аналогичен; но следует также посмотреть на нулевые операции, которые выбирают постоянный элемент. Дело в том, что замыкание означает, что такие константы уже должны быть указаны в подструктуре.

Карты включения наблюдаются в алгебраической топологии , где , если является сильной деформацией отводной из $X$ , то отображение включения дает собой изоморфизм между всеми группами гомотопических (то есть, это гомотопическая эквивалентность ).

Включение карты в геометрии бывают разных видов: например , вложения в подмногообразиям . Контравариантные объекты (то есть объекты, которые имеют откаты ; они называются ковариантными в старой и несвязанной терминологии), такие как дифференциальные формы, ограничиваются подмногообразиями, обеспечивая отображение в другом направлении . Другой пример, более сложный, - это аффинные схемы , для которых включения

{\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ left (R / I \ right) \ to \ operatorname {Spec} (R)}

и

{\ Displaystyle \ OperatorName {Spec} \ left (R / I ^ {2} \ right) \ to \ operatorname {Spec} (R)}

может быть различными морфизмами , где $R$ представляет собой коммутативное кольцо , и $я$ являюсь идеальным из $R$ .

См. Также [ править ]

Кофибрация
Функция идентичности

Ссылки [ править ]

^ MacLane, S .; Биркгоф, Г. (1967). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. п. 5. ISBN 0-8218-1646-2. Отметим, что «вставка» - это функция $S \to U,$ а «включение» - это отношение $S \subset U$ ; каждое отношение включения порождает функцию вставки.
^ «Стрелки - Юникод» (PDF) . Консорциум Unicode . Проверено 7 февраля 2017 .
Перейти ↑ Chevalley, C. (1956). Основные понятия алгебры . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. п. 1 . ISBN 0-12-172050-0.

[1] MacLane, S .; Биркгоф, Г. (1967). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. п. 5. ISBN 0-8218-1646-2. Отметим, что «вставка» - это функция $S \to U,$ а «включение» - это отношение $S \subset U$ ; каждое отношение включения порождает функцию вставки.

[Unicode_Arrows-2] «Стрелки - Юникод» (PDF) . Консорциум Unicode . Проверено 7 февраля 2017 .

[3] Перейти ↑ Chevalley, C. (1956). Основные понятия алгебры . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. п. 1 . ISBN 0-12-172050-0.

[1]