В математике , топологическое пространство X является сжимаемым , если тождественное отображение на X стягиваемо, то есть , если она гомотопна некоторая константа карты. [1] [2] Интуитивно сжимаемое пространство - это пространство, которое можно непрерывно сжимать до точки внутри этого пространства.
Свойства [ править ]
Стягиваемое пространство в точности совпадает с гомотопическим типом точки. Отсюда следует, что все гомотопические группы стягиваемого пространства тривиальны . Следовательно, любое пространство с нетривиальной гомотопической группой не может быть стягиваемым. Точно так же, поскольку особые гомологии являются гомотопическим инвариантом, все редуцированные группы гомологий стягиваемого пространства тривиальны.
Для топологического пространства X все следующие условия эквивалентны:
- X стягиваемо (т. Е. Тождественное отображение гомотопно нулю).
- X гомотопически эквивалентно одноточечному пространству.
- Деформация X втягивается в точку. (Однако существуют стягиваемые пространства, которые не сильно деформируются, возвращаясь в точку.)
- Для любого пространства Y любые два отображения f , g : Y → X гомотопны.
- Для любого пространства Y любое отображение f : Y → X гомотопно нулю.
Конус на пространстве X всегда сжимаемый. Следовательно, любое пространство может быть вложено в стягиваемое (что также показывает, что подпространства стягиваемых пространств не обязательно должны быть стягиваемыми).
Кроме того, X является сжимаемым тогда и только тогда , когда существует втягивание от конуса X в X .
Каждое сжимаемое пространство связано путями и односвязно . Более того, поскольку все высшие гомотопические группы обращаются в нуль, каждое стягиваемое пространство является n- связным для всех n ≥ 0.
Локально сжимаемые пространства [ править ]
Топологическое пространство является локально стягиваемым, если каждая точка имеет локальную базу стягиваемых окрестностей . Сжимаемые пространства не обязательно локально сжимаемы, и наоборот. Например, пространство гребня сжимаемо, но не локально (если бы это было так, оно было бы локально связанным, а это не так). Локально стягиваемые пространства локально n -связны для всех n ≥ 0. В частности, они локально односвязны , локально линейно связны и локально связаны .
Примеры и контрпримеры [ править ]
- Любое евклидово пространство стягиваемо, как и любая звездная область в евклидовом пространстве.
- Многообразие Уайтхеда стягивается.
- Сферы любой конечной размерности не стягиваются.
- Единичная сфера в бесконечномерным гильбертовом пространстве стягивается .
- Дом с двумя комнатами является стандартным примером пространства , который является сжимаемым, но не интуитивно так.
- Шляпа Dunce стягивается, но не разборный .
- Конус на гавайской серьге сжимаемый (так как это конус), но не локально сжимаемый или даже локально односвязный.
- Все многообразия и CW комплексы являются локально стягивает, но в целом не сжимаемые.
- Круг Варшавы получается «закрытие» на синусоидальном кривой топологе в дуге , соединяющей (0, -1) и (1, Sin (1)). Это одномерный континуум, все гомотопические группы которого тривиальны, но не стягиваем.
Ссылки [ править ]
- ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.
- ^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.
