В математической ветви алгебраической топологии , в частности в теории гомотопий , n -связность (иногда n- простая связность ) обобщает концепции линейной связности и простой связности . Сказать, что пространство n -связно, значит сказать, что его первые n гомотопических групп тривиальны, а сказать, что отображение n -связно, означает, что это изоморфизм «до размерности n в гомотопии ».
n -связное пространство
Топологическое пространство X называется п - связными (для положительного п ) , когда оно не пусто, линейно связным , и его первых п гомотопических групп тождественно равны нулю, то есть
где обозначает i -ю гомотопическую группу, а 0 обозначает тривиальную группу. [1]
Требования быть непустыми и связанными по путям можно интерпретировать как (-1) -связные и 0-связанные , соответственно, что полезно при определении 0-связанных и 1-связанных карт, как показано ниже. 0th Гомотопический набор может быть определен как:
Это только точечное множество , а не группа, если только X не является топологической группой ; отмеченная точка является классом тривиальной карты, отправка S 0 к базовой точке X . Используя этот набор, пространство 0-связно тогда и только тогда, когда 0-е гомотопическое множество является одноточечным множеством. Определение гомотопических групп и этого гомотопического множества требует, чтобы X был указан (имел выбранную базовую точку), что не может быть выполнено, если X пусто.
Топологическое пространство X является линейно связным тогда и только тогда , когда его 0th гомотопическая группа тождественно равна нулю, так как линейная связность означает , что любые две точки х 1 и х 2 в X может быть связано с непрерывным путем , который начинается в х 1 и заканчивается в x 2 , что эквивалентно утверждению, что любое отображение из S 0 ( дискретное множество из двух точек) в X может быть непрерывно деформировано в постоянное отображение. С помощью этого определения мы можем определить X как n -связное тогда и только тогда, когда
Примеры
- Пространство X (−1) -связно тогда и только тогда, когда оно непусто.
- Пространство X 0-связно тогда и только тогда, когда оно непусто и линейно связно .
- Пространство односвязно тогда и только тогда, когда оно односвязно .
n -связная карта
Соответствующее относительное понятие к абсолютному понятию n- связного пространства - это n- связное отображение , которое определяется как отображение, гомотопический слой Ff которого является ( n - 1) -связным пространством. В терминах гомотопических групп это означает, что отображениеявляется n -связным тогда и только тогда, когда:
- является изоморфизмом для , а также
- это сюръекция.
Последнее условие часто сбивает с толку; это потому, что обращение в нуль ( n - 1) -й гомотопической группы гомотопического слоя Ff соответствует сюръекции на n- й гомотопической группе в точной последовательности:
Если группа справа исчезает, то карта слева - сюръекция.
Низкоразмерные примеры:
- Связная карта (0-связная карта) - это карта, которая находится на компонентах пути (0-я гомотопическая группа); это соответствует непустому гомотопическому слою.
- Односвязное отображение (1-связное отображение) - это отображение, которое является изоморфизмом на компонентах пути (0-я гомотопическая группа) и на фундаментальную группу (1-я гомотопическая группа).
n -связность для пространств, в свою очередь, может быть определена в терминах n -связности карт: пространство X с базовой точкой x 0 является n -связным пространством тогда и только тогда, когда включение базовой точкиявляется n- связным отображением. Единственное точечное множество стягиваемо, поэтому все его гомотопические группы обращаются в нуль, и, таким образом, «изоморфизм ниже n и на точку n » соответствует обращению в нуль первых n гомотопических групп X.
Интерпретация
Это поучительно для подмножества: n- связное включениеявляется одним из таких , что вплоть до размерности п - 1, гомотопии в большем пространстве X может быть homotoped в гомотопиях в подмножество A .
Например, для карты включения чтобы быть 1-связным, оно должно быть:
- на
- один на один на а также
- на
Один на один на означает, что если есть путь, соединяющий две точки проходя через X, есть путь в A, соединяющий их, а наозначает, что на самом деле путь в X гомотопен пути в A.
Другими словами, функция, являющаяся изоморфизмом на только подразумевает, что любые элементы которые гомотопны в X , абстрактно гомотопны в A - гомотопия в A может не иметь отношения к гомотопии в X - в то время как они n -связны (то же самое и с) Означает , что (до размерности п - 1) гомотопии в X может быть выдвинут в гомотопиях в A .
Это дает более конкретное объяснение полезности определения n -связности: например, пространство, в котором включение k -скелета является n- связным (для n > k ) - например, включение точки в n -сфера - обладает тем свойством, что любые ячейки в размерностях от k до n не влияют на гомотопические типы более низкой размерности.
Приложения
Понятие n -связности используется в теореме Гуревича, которая описывает связь между сингулярными гомологиями и высшими гомотопическими группами.
В геометрической топологии случаи, когда включение геометрически определенного пространства, например пространства погружений в более общее топологическое пространство, такое как пространство всех непрерывных отображений между двумя ассоциированными пространствами являются п -связного называется удовлетворяет принцип гомотопического или «H-принцип». Существует ряд мощных общих методов доказательства h-принципов.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ "n-связное пространство в nLab" . ncatlab.org . Проверено 18 сентября 2017 .