Принцип гомотопии

Принцип гомотопии обобщает такие результаты, как доказательство выворота сферы Смейла .

В математике , то принцип Гомотопического (или ч-принцип ) является очень общим способом решения уравнения в частных производных (PDE) и в более общем частичные дифференциальных соотношения (PDRs). H-принцип хорош для недоопределенных PDE или PDR, таких как проблема погружения, проблема изометрического погружения, гидродинамика и другие области.

Теорию начали Яков Элиашберг , Михаил Громов и Энтони В. Филлипс. Он был основан на более ранних результатах, которые сводили отношения в частных производных к гомотопии , особенно для иммерсий. Первое свидетельство h-принципа появилось в теореме Уитни – Граустейна . За этим последовали изометрическая теорема Нэша-Койпера о вложении и теорема Смейла-Хирша о погружении.${\ displaystyle C ^ {1}}$

Грубая идея [ править ]

Предположим, мы хотим найти функцию ƒ на R ^m, которая удовлетворяет уравнению в частных производных степени k в координатах . Его можно переписать как${\ Displaystyle (и_ {1}, и_ {2}, \ точки, и_ {м})}$

${\ displaystyle \ Psi (u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {m}, J_ {f} ^ {k}) = 0}$

где - все частные производные ƒ до порядка  k . Давайте заменим каждую переменную на новые независимые переменные. Тогда наше исходное уравнение можно представить как систему${\ displaystyle J_ {f} ^ {k}}$${\ displaystyle J_ {f} ^ {k}}$${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {N}.}$

${\ displaystyle \ Psi _ {} ^ {} (u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {m}, y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {N}) = 0 }$

и некоторое количество уравнений следующего вида

${\ displaystyle y_ {j} = {\ partial ^ {k} f \ over \ partial u_ {j_ {1}} \ ldots \ partial u_ {j_ {k}}}.}$

Решение

${\ displaystyle \ Psi _ {} ^ {} (u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {m}, y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {N}) = 0 }$

называется неголономным решением , а решение системы, которое также является решением нашего исходного уравнения в частных производных, называется голономным решением .

Чтобы проверить, существует ли решение нашего исходного уравнения, можно сначала проверить, существует ли неголономное решение. Обычно это довольно просто, и если неголономного решения нет, то наше исходное уравнение не имело никаких решений.

УЧП удовлетворяет h-принципу, если любое неголономное решение можно деформировать в голономное в классе неголономных решений. Таким образом, при наличии h-принципа дифференциальная топологическая проблема сводится к алгебраической топологической проблеме. Более явно это означает, что кроме топологического препятствия нет другого препятствия к существованию голономного решения. С топологической проблемой нахождения неголономного решения гораздо проще справиться, и ее можно решить с помощью теории препятствий для топологических расслоений.

Многие недоопределенные уравнения в частных производных удовлетворяют h-принципу. Однако ложность h-принципа также является интересным утверждением, интуитивно это означает, что изучаемые объекты имеют нетривиальную геометрию, которая не может быть сведена к топологии. Например, вложенные лагранжианы в симплектическом многообразии не удовлетворяют h-принципу, чтобы доказать это, нужно найти инварианты, исходящие из псевдоголоморфных кривых .

Простые примеры [ править ]

Монотонные функции [ править ]

Возможно, самое простое отношение в частных производных состоит в том, чтобы производная не обращалась в нуль: собственно , это обычное дифференциальное отношение, поскольку это функция от одной переменной. ${\ displaystyle f '(x) \ neq 0.}$

Голономным решением этого соотношения является функция, производная которой нигде не обращается в нуль. Т.е., строго монотонно дифференцируемые функции, либо возрастающие, либо убывающие. Пространство таких функций состоит из двух непересекающихся выпуклых множеств : возрастающего и убывающего и имеет гомотопический тип двух точек.

Неголономное решение этого отношения состояло бы в данных двух функций, дифференцируемой функции f (x) и непрерывной функции g (x), при этом g (x) нигде не обращается в нуль. Голономное решение приводит к неголономному решению, если взять g (x) = f '(x). Пространство неголономных решений снова состоит из двух непересекающихся выпуклых множеств, в зависимости от того, является ли g (x) положительным или отрицательным.

Таким образом, включение голономных в неголономные решения удовлетворяет h-принципу.

Теорема Уитни – Граустейна показывает, что погружения окружности в плоскость удовлетворяют h-принципу, выраженному числом поворота .

Этот тривиальный пример имеет нетривиальные обобщения: расширение его до погружений окружности в себя, классифицирует их по порядку (или номеру поворота ), поднимая карту до универсального накрывающего пространства и применяя вышеупомянутый анализ к полученному монотонному отображению - линейное отображение соответствует на угол умножения: ( в комплексных числах). Обратите внимание, что здесь нет погружений нулевого порядка, так как они должны были бы включиться сами. Распространение этого на окружности, погруженные в плоскость - условие погружения - это в точности условие, что производная не обращается в нуль - теорема Уитни – Граустейна классифицировала их по числу поворота , рассматривая гомотопический класс отображения Гаусса${\ Displaystyle \ тета \ mapsto п \ тета}$${\ Displaystyle г \ mapsto г ^ {п}}$и показывая, что это удовлетворяет h-принципу; и здесь порядок 0 более сложен.

Классификация Смейлом погружений сфер как гомотопических групп многообразий Штифеля и обобщение этого Хиршем на погружения многообразий, классифицируемых как гомотопические классы отображений расслоений каркасов, являются гораздо более далеко идущими обобщениями и гораздо более сложными, но похожими в принципе - Погружение требует, чтобы производная имела ранг k, что требует, чтобы частные производные в каждом направлении не обращались в нуль и были линейно независимыми, и результирующий аналог отображения Гаусса является отображением на многообразие Штифеля или, в более общем смысле, между расслоениями реперов.

Автомобиль в самолете [ править ]

В качестве еще одного простого примера рассмотрим автомобиль, движущийся в самолете. Положение автомобиля в плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами и местоположением (хороший выбор - это расположение средней точки между задними колесами) и углом, который описывает ориентацию автомобиля. Движение автомобиля удовлетворяет уравнению${\ displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha .}$

поскольку автомобиль, не имеющий скольжения, должен двигаться в направлении своих колес. С точки зрения робототехники , не все пути в пространстве задач голономны .

Неголономное решение в этом случае, грубо говоря, соответствует движению автомобиля по скольжению по плоскости. В этом случае неголономные решения не только гомотопны голономным, но также могут быть сколь угодно хорошо аппроксимированы голономными (перемещаясь вперед и назад, как параллельная парковка в ограниченном пространстве) - обратите внимание, что это приближает как положение, так и угол наклона автомобиля произвольно близкий. Это означает, что теоретически можно параллельно припарковаться в любом месте, длина которого превышает длину вашего автомобиля. Из этого также следует, что в контактном 3-многообразии любая кривая -блочка к лежандровой кривой. Это последнее свойство сильнее общего h-принципа; это называется - плотная ч-принцип .${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{0}}$

Хотя этот пример прост, сравните его с теоремой вложения Нэша , в частности теоремой Нэша – Койпера , которая гласит, что любое короткое вложение smooth ( ) или погружение в или больше может быть произвольно хорошо аппроксимировано изометрическим -вложением (соответственно погружением) . Это также плотный h-принцип, который может быть доказан с помощью по существу аналогичной техники «складывания» - или, скорее, кругового движения - для автомобиля в самолете, хотя это намного сложнее.${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle M^{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{m+1}}$${\displaystyle C^{1}}$

Способы доказательства h-принципа [ править ]

• Техника удаления сингулярностей, разработанная Громовым и Элиашбергом.
• Техника снопа основана на работах Смейла и Хирша.
• Выпуклая интеграция на основе работы Нэша и Койпера

Некоторые парадоксы [ править ]

Здесь мы перечисляем несколько нелогичных результатов, которые можно доказать с помощью h-принципа:

• Конус Eversion . ^[1] Рассмотрим функции F на R ² без происхождения F ( х ) = | х |. Тогда существует непрерывное семейство Однопараметрическая функций , таких , что , и для любого , не равна нулю в любой точке.${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{0}=f}$${\displaystyle f_{1}=-f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \operatorname {grad} (f_{t})}$
• Любое открытое многообразие допускает (неполную) риманову метрику положительной (или отрицательной) кривизны.
• Выворот сферы без складок и разрывов можно осуществить с помощью иммерсий .${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$
• Нэш-Койпер С 1 теоремой изометрического вложения , в частности , следует , что существует изометрическое погружение раунда в сколь угодно малую шар . Это погружение не может происходить из-за того, что маленькая соприкасающаяся сфера могла бы обеспечить большую нижнюю границу для основных кривизны и, следовательно, для гауссовой кривизны погруженной сферы, но с другой стороны, если погружение такое, оно должно быть везде равно 1, Кривизна стандарта по Гауссу по теореме Гаусса Egregium .${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

Ссылки [ править ]

• Масахиса Адачи, Вложения и погружения , перевод Кики Хадсон
• Ю. Элиашберг, Н. Мишачев, Введение в h-принцип.
• Громов, М. (1986), Отношения с частными производными , Springer, ISBN 3-540-12177-3
• М. В. Хирш, Погружения многообразия. Пер. Амер. Математика. Soc. 93 (1959)
• Койпер Н. Об изометрических вложениях I, II. Nederl. Акад. Wetensch. Proc. Ser A 58 (1955)${\displaystyle C^{1}}$
• Джон Нэш, Изометрическое вложение. Анна. математики (2) 60 (1954)${\displaystyle C^{1}}$
• С. Смейл, Классификация погружений сфер в евклидовы пространства. Анна. математики (2) 69 (1959)
• Дэвид Спринг, Теория выпуклого интегрирования - решения h-принципа в геометрии и топологии, Монографии по математике 92, Birkhauser-Verlag, 1998