 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( февраль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В математике , А система линейных уравнений или система полиномиальных уравнений считаются недоопределенной , если есть меньше , чем уравнения неизвестные [1] (в отличии от переопределенной системы , где есть больше уравнений , чем неизвестные). Терминология может быть объяснена с помощью концепции подсчета ограничений . Каждое неизвестное можно рассматривать как доступную степень свободы . Каждое уравнение, введенное в систему, можно рассматривать как ограничение , ограничивающее одну степень свободы.
Следовательно, критический случай (между переопределением и недоопределением) возникает, когда количество уравнений и количество свободных переменных равны. Для каждой переменной, дающей степень свободы, существует соответствующее ограничение, устраняющее степень свободы. Недоопределенной случае, напротив, происходит , когда система была underconstrained-то есть, когда неизвестные превышает число уравнений.
Решения недоопределенных систем [ править ]
Недоопределенная линейная система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.
Например,
недоопределенная система без какого-либо решения; любая система уравнений, не имеющая решения, называется несовместной . С другой стороны, система
непротиворечиво и имеет бесконечное количество решений, например ( x , y , z ) = (1, −2, 2) , (2, −3, 2) и (3, −4, 2) . Все эти решения можно охарактеризовать, сначала вычтя первое уравнение из второго, чтобы показать, что все решения подчиняются z = 2 ; использование этого в любом уравнении показывает, что возможно любое значение y с x = −1 - y .
Более конкретно, в соответствии с теоремой Руш-Капелл , любая система линейных уравнений (недоопределенная или иначе) противоречива , если ранг в дополненной матрице больше , чем ранг матрицы коэффициентов . Если, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение; поскольку в недоопределенной системе этот ранг обязательно меньше, чем количество неизвестных, действительно существует бесконечное множество решений, при этом общее решение имеет k свободных параметров, где k - разница между числом переменных и рангом.
Существуют алгоритмы, позволяющие решить, есть ли у недоопределенной системы решения, и если они есть, чтобы выразить все решения как линейные функции от k переменных (то же k, что и выше). Самый простой - это метод исключения Гаусса . Подробнее см. Система линейных уравнений .
Однородный случай [ править ]
Однородная (со всеми постоянными членами равными нулю) недоопределенная линейная система всегда имеет нетривиальные решения (в дополнение к тривиальному решению, в котором все неизвестные равны нулю). Таких решений существует бесконечное множество, которые образуют векторное пространство , размерность которого равна разнице между числом неизвестных и рангом матрицы системы.
Недоопределенные полиномиальные системы [ править ]
Основное свойство линейных недоопределенных систем - отсутствие решений или их бесконечное число - распространяется на системы полиномиальных уравнений следующим образом.
Система полиномиальных уравнений, имеющая меньше уравнений, чем неизвестных, называется недоопределенной . Она либо имеет бесконечно много комплексных решений (или, в более общем смысле, решений в алгебраически замкнутом поле ), либо несовместима. Это несовместимо тогда и только тогда, когда 0 = 1 является линейной комбинацией (с полиномиальными коэффициентами) уравнений (это Nullstellensatz Гильберта ). Если недоопределенная система т уравнений в п переменных ( т < п ) имеет решение, то множество всех комплексных решений является алгебраическим множеством из размерности по крайней мере , п -т . Если недоопределенная система выбрана случайным образом, размерность будет равна n - t с вероятностью единица.
Недоопределенные системы с другими ограничениями и в задачах оптимизации [ править ]
В общем случае недоопределенная система линейных уравнений имеет бесконечное число решений, если таковые имеются. Однако в задачах оптимизации , которые подчиняются ограничениям линейного равенства, имеет значение только одно из решений, а именно то, которое дает наибольшее или наименьшее значение целевой функции .
Некоторые проблемы указывают, что одна или несколько переменных могут принимать целочисленные значения. Целочисленное ограничение приводит к проблемам целочисленного программирования и диофантовых уравнений , которые могут иметь только конечное число решений.
Другой вид ограничения, который появляется в теории кодирования , особенно в кодах с исправлением ошибок и обработке сигналов (например, сжатое зондирование ), состоит в верхней границе числа переменных, которая может отличаться от нуля. В кодах, исправляющих ошибки, эта граница соответствует максимальному количеству ошибок, которые могут быть исправлены одновременно.
См. Также [ править ]
- Сверхдетерминированная система
- Регуляризация (математика)
Ссылки [ править ]
- ^ Бисва Нат Датт (4 февраля 2010). Численная линейная алгебра и приложения, второе издание . СИАМ. С. 263–. ISBN 978-0-89871-685-6.
