Гауссово исключение

Исключение Гаусса , также известное как сокращение строк , представляет собой алгоритм в линейной алгебре для решения системы линейных уравнений . Под ним обычно понимают последовательность операций, выполняемых над соответствующей матрицей коэффициентов. Этот метод также можно использовать для определения ранга матрицы, для вычисления определителя матрицы и для вычисления обратного значения обратимой квадратной матрицы . Метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Некоторые частные случаи этого метода, хотя и представленные без доказательства, были известны китайским математикам. уже около 179 г. н.э.

Чтобы выполнить сокращение строки в матрице, используется последовательность элементарных операций со строкой для изменения матрицы до тех пор, пока нижний левый угол матрицы не будет заполнен нулями, насколько это возможно. Есть три типа операций с элементарными строками:

• Поменять местами две строки,
• Умножая строку на ненулевое число,
• Добавление нескольких строк из одной строки в другую.

Используя эти операции, матрица всегда может быть преобразована в верхнюю треугольную матрицу , фактически имеющую форму эшелона строк . Когда все ведущие коэффициенты (крайний левый ненулевой элемент в каждой строке) равны 1, а каждый столбец, содержащий ведущий коэффициент, имеет нули в другом месте, матрица называется сокращенной эшелонированной строкой . Эта окончательная форма уникальна; другими словами, он не зависит от последовательности используемых операций со строками. Например, в следующей последовательности операций со строками (где на каждом шаге может быть выполнено несколько элементарных операций) третья и четвертая матрицы - это матрицы в форме эшелона строк, а конечная матрица - это уникальная сокращенная форма эшелона строк.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\1&1&-1&1\\3&11&5&35\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&2&2&8\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&0&0&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{array}}\right]}$

Использование строковых операций для преобразования матрицы в сокращенную форму эшелона строк иногда называют исключением Гаусса – Жордана . Некоторые авторы используют термин гауссовское исключение для обозначения процесса до тех пор, пока он не достигнет своей верхней треугольной формы или (нередуцированной) формы эшелона строк. По вычислительным причинам при решении систем линейных уравнений иногда предпочтительнее остановить операции со строками до того, как матрица будет полностью сокращена.

Определения и пример алгоритма [ править ]

Процесс сокращения строк использует элементарные операции со строками и может быть разделен на две части. Первая часть (иногда называемая прямым исключением) приводит данную систему к форме эшелона строк , из которой можно определить, нет ли решений, единственного решения или бесконечного множества решений. Вторая часть (иногда называемая обратной заменой ) продолжает использовать операции со строками до тех пор, пока не будет найдено решение; Другими словами, он преобразует матрицу в сокращенный ряд строк.

Другая точка зрения, которая оказывается очень полезной для анализа алгоритма, заключается в том, что сокращение строк приводит к матричному разложению исходной матрицы. Операции с элементарными строками можно рассматривать как умножение слева от исходной матрицы на элементарные матрицы . В качестве альтернативы последовательность элементарных операций, сокращающих одну строку, может рассматриваться как умножение на матрицу Фробениуса . Затем первая часть алгоритма вычисляет разложение LU , а вторая часть записывает исходную матрицу как произведение однозначно определенной обратимой матрицы и однозначно определенной уменьшенной матрицы эшелона строк.

Операции со строками [ править ]

Есть три типа операций с элементарными строками, которые могут выполняться со строками матрицы:

1. Поменяйте местами две строки.
2. Умножьте строку на ненулевой скаляр .
3. Добавьте к одной строке скаляр, кратный другой.

Если матрица связана с системой линейных уравнений, то эти операции не изменяют множество решений. Следовательно, если целью является решение системы линейных уравнений, то использование этих операций со строками может упростить задачу.

Форма эшелона [ править ]

Для каждой строки в матрице, если строка не состоит из одних нулей, то крайняя левая запись отличны от нуля, называется старший коэффициент (или стержень ) из этой строки. Таким образом, если два ведущих коэффициента находятся в одном столбце, то для обнуления одного из этих коэффициентов можно использовать строковую операцию типа 3 . Затем, используя операцию перестановки строк, всегда можно упорядочить строки так, чтобы для каждой ненулевой строки ведущий коэффициент находился справа от ведущего коэффициента строки выше. Если это так, то говорят, что матрица имеет вид эшелона строк. Таким образом, нижняя левая часть матрицы содержит только нули, а все нулевые строки находятся ниже ненулевых строк. Слово «эшелон» используется здесь, потому что можно грубо представить себе ряды, ранжированные по их размеру, причем самые большие находятся наверху, а самые маленькие - внизу.

Например, следующая матрица представлена ​​в виде эшелона строк, и ее ведущие коэффициенты показаны красным:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\color {red}{\mathbf {2} }&1&-1\\0&0&\color {red}{\mathbf {3} }&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Он имеет эшелонированную форму, потому что нулевая строка находится внизу, а ведущий коэффициент второй строки (в третьем столбце) находится справа от ведущего коэффициента первой строки (во втором столбце).

Матрица называется сокращенной эшелонированной строкой, если, кроме того, все ведущие коэффициенты равны 1 (что может быть достигнуто с помощью операции элементарной строки типа 2), и в каждом столбце, содержащем ведущий коэффициент, все другие записи в этом столбце равны нулю (что может быть достигнуто с помощью элементарных операций со строками типа 3).

Пример алгоритма [ править ]

Предположим, цель состоит в том, чтобы найти и описать множество решений следующей системы линейных уравнений :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&{}-{}&z&{}={}&8&\qquad (L_{1})\\-3x&{}-{}&y&{}+{}&2z&{}={}&-11&\qquad (L_{2})\\-2x&{}+{}&y&{}+{}&2z&{}={}&-3&\qquad (L_{3})\end{alignedat}}}$

В таблице ниже показан процесс сокращения строк, применяемый одновременно к системе уравнений и связанной с ней расширенной матрице . На практике системы обычно не рассматриваются в терминах уравнений, а вместо этого используется расширенная матрица, которая больше подходит для компьютерных манипуляций. Процедуру сокращения строки можно резюмировать следующим образом: исключить x из всех уравнений ниже L ₁ , а затем исключить y из всех уравнений ниже L ₂ . Это придаст системе треугольную форму . Затем, используя обратную подстановку, можно решить каждую неизвестную.

Система уравнений	Рядовые операции	Расширенная матрица
${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&{}-{}&z&{}={}&8&\\-3x&{}-{}&y&{}+{}&2z&{}={}&-11&\\-2x&{}+{}&y&{}+{}&2z&{}={}&-3&\end{alignedat}}}$		${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$
${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&{}-{}&z&{}={}&8&\\&&{\tfrac {1}{2}}y&{}+{}&{\tfrac {1}{2}}z&{}={}&1&\\&&2y&{}+{}&z&{}={}&5&\end{alignedat}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}L_{2}+{\tfrac {3}{2}}L_{1}&\to L_{2}\\L_{3}+L_{1}&\to L_{3}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]}$
${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&{}-{}&z&{}={}&8&\\&&{\tfrac {1}{2}}y&{}+{}&{\tfrac {1}{2}}z&{}={}&1&\\&&&&-z&{}={}&1&\end{alignedat}}}$	${\displaystyle L_{3}+-4L_{2}\to L_{3}}$	${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}$
Матрица теперь имеет эшелонированную форму (также называемую треугольной формой).
${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&&&{}={}7&\\&&{\tfrac {1}{2}}y&&&{}={}{\tfrac {3}{2}}&\\&&&{}-{}&z&{}={}1&\end{alignedat}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}L_{2}+{\tfrac {1}{2}}L_{3}&\to L_{2}\\L_{1}-L_{3}&\to L_{1}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&0&7\\0&{\frac {1}{2}}&0&{\frac {3}{2}}\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}$
${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&\quad &&{}={}&7&\\&&y&\quad &&{}={}&3&\\&&&\quad &z&{}={}&-1&\end{alignedat}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2L_{2}&\to L_{2}\\-L_{3}&\to L_{3}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$
${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x&\quad &&\quad &&{}={}&2&\\&\quad &y&\quad &&{}={}&3&\\&\quad &&\quad &z&{}={}&-1&\end{alignedat}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}-L_{2}&\to L_{1}\\{\tfrac {1}{2}}L_{1}&\to L_{1}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$

Второй столбец описывает, какие операции со строками только что были выполнены. Таким образом , для первого шага х исключается из L ₂ путем добавления3/2От L ₁ до L ₂ . Затем x удаляется из L ₃ путем добавления L ₁ к L ₃ . Эти операции со строками помечены в таблице как

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{2}+{\tfrac {3}{2}}L_{1}&\to L_{2},\\L_{3}+L_{1}&\to L_{3}.\end{aligned}}}$

Когда y также удаляется из третьей строки, результатом является система линейных уравнений в треугольной форме, и, таким образом, первая часть алгоритма завершена. С вычислительной точки зрения быстрее решать переменные в обратном порядке, этот процесс известен как обратная подстановка. Видно, что решение z = −1 , y = 3 и x = 2 . Итак, есть единственное решение исходной системы уравнений.

Вместо того, чтобы останавливаться, когда матрица находится в эшелонированной форме, можно продолжить, пока матрица не будет в форме уменьшенного эшелона строк, как это сделано в таблице. Процесс сокращения строк до сокращения матрицы иногда называют исключением Гаусса – Жордана , чтобы отличить его от остановки после достижения эшелонированной формы.

История [ править ]

Метод устранения появляется гауссовым - хотя и без доказательства - в китайской математическом тексте восьмой главы: прямоугольные массивы из Математика в девяти книг . Его использование проиллюстрировано в восемнадцати задачах с двумя-пятью уравнениями. Первое упоминание книги под этим названием датируется 179 годом нашей эры, но некоторые ее части были написаны примерно в 150 году до нашей эры. ^{[1] [2]} Это прокомментировал Лю Хуэй в III веке.

В Европе этот метод основан на записях Исаака Ньютона . ^{[3] [4]} В 1670 году он написал, что во всех известных ему книгах по алгебре не хватало уроков по решению одновременных уравнений, которые затем преподал Ньютон. Кембриджский университет в конце концов опубликовал заметки как Arithmetica Universalis в 1707 году, спустя много времени после того, как Ньютон оставил академическую жизнь. Примечания были широко имитированы, что сделало (то, что сейчас называют) методом исключения Гаусса стандартным уроком в учебниках алгебры к концу 18 века. Карл Фридрих Гаусс в 1810 году разработал обозначение для симметричного исключения, которое было принято в 19 веке профессиональными ручными компьютерами для решения нормальных уравнений задач наименьших квадратов.^[5] Алгоритм, который преподают в средней школе, был назван в честь Гаусса только в 1950-х годах из-за путаницы в истории предмета. ^[6]

Некоторые авторы используют термин « исключение Гаусса» только для обозначения процедуры до тех пор, пока матрица не перейдет в эшелонированную форму, и используют термин « исключение Гаусса – Жордана» для обозначения процедуры, которая заканчивается в форме сокращенного эшелона. Название используется потому, что это разновидность метода исключения Гаусса, описанного Вильгельмом Джорданом в 1888 году. Однако этот метод также упоминается в статье Клазена, опубликованной в том же году. Джордан и Класен, вероятно, независимо открыли метод исключения Гаусса – Джордана. ^[7]

Приложения [ править ]

Исторически первым применением метода сокращения строк является решение систем линейных уравнений . Вот еще несколько важных приложений алгоритма.

Вычислительные детерминанты [ править ]

Чтобы объяснить, как метод исключения Гаусса позволяет вычислить определитель квадратной матрицы, мы должны вспомнить, как элементарные операции со строками изменяют определитель:

• Если поменять местами две строки, определитель умножится на -1.
• Умножение строки на ненулевой скаляр умножает определитель на тот же скаляр
• Добавление к одной строке скалярного числа, кратного другой, не меняет определителя.

Если исключение Гаусса, примененное к квадратной матрице A, дает матрицу B эшелона строк , пусть d будет произведением скаляров, на которые был умножен определитель, используя приведенные выше правила. Тогда определитель A - это частное по d произведения элементов диагонали B :

${\displaystyle \det(A)={\frac {\prod \operatorname {diag} (B)}{d}}.}$

С вычислительной точки зрения, для матрицы размера n × n этот метод требует только O ( n 3 ) арифметических операций, в то время как использование формулы Лейбница для определителей требует O ( n !) Операций (количество слагаемых в формуле), а рекурсивное разложение Лапласа требует O ( 2 ⁿ ) операции (количество вычисляемых подопределителей, если ни один из них не вычисляется дважды). Даже на самых быстрых компьютерах эти два метода непрактичны или почти неосуществимы при n выше 20.

Нахождение обратной матрицы [ править ]

Вариант исключения Гаусса, называемый исключением Гаусса – Жордана, может быть использован для нахождения обратной матрицы, если она существует. Если A является квадратной матрицей размера n × n , то можно использовать сокращение строки для вычисления ее обратной матрицы , если она существует. Сначала единичная матрица размера n × n увеличивается справа от A , образуя блочную матрицу n × 2 n [ A | I ] . Теперь, применяя элементарные операции со строками, найдите приведенную эшелонированную форму этой матрицы размера n × 2 n . Матрица A обратима тогда и только тогда, когда левый блок можно свести к единичной матрице I ; в этом случае правый блок финальной матрицы равен A ⁻¹ . Если алгоритм не может уменьшить левый блок до I , то A не обратим.

Например, рассмотрим следующую матрицу:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}.}$

Чтобы найти обратную матрицу, нужно взять следующую матрицу, увеличенную на единицу, и уменьшить ее по строке до матрицы 3 × 6:

${\displaystyle [A|I]=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}2&-1&0&1&0&0\\-1&2&-1&0&1&0\\0&-1&2&0&0&1\end{array}}\right].}$

Выполняя операции со строками, можно проверить, что приведенная форма эшелона строк этой расширенной матрицы

${\displaystyle [I|B]=\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&0&0&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\0&1&0&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{array}}\right].}$

Каждую строковую операцию можно рассматривать как левое произведение на элементарную матрицу . Обозначая через B произведение этих элементарных матриц, мы показали слева, что BA = I , а значит, B = A ⁻¹ . Справа мы сохранили запись BI = B , что, как мы знаем, является обратным желаемому. Эта процедура поиска обратного работает для квадратных матриц любого размера.

Вычисление рангов и баз [ править ]

Алгоритм исключения Гаусса может быть применен к любой матрице A размера m × n . Таким образом, например, некоторые матрицы 6 × 9 могут быть преобразованы в матрицу, имеющую форму эшелона строк, например

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}a&*&*&*&*&*&*&*&*\\0&0&b&*&*&*&*&*&*\\0&0&0&c&*&*&*&*&*\\0&0&0&0&0&0&d&*&*\\0&0&0&0&0&0&0&0&e\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}},}$

где звездочки - произвольные записи, а a , b , c , d , e - ненулевые записи. В этом эшелоне матрица Т содержит большое количество информации о А : ранг из А 5, так как существует 5 ненулевых строк в Т ; векторное пространство , натянутое на столбцы А имеет базис , состоящий из его колонн 1, 3, 4, 7 и 9 (столбцов с , Ь , гр , д , е в Т), а звездочки показывают, как другие столбцы A могут быть записаны как линейные комбинации базовых столбцов. Это следствие дистрибутивности скалярного произведения в выражении линейной карты в виде матрицы .

Все это относится также к форме сокращенного эшелона строк, которая представляет собой особый формат эшелона строк.

Вычислительная эффективность [ править ]

Количество арифметических операций, необходимых для сокращения строк, является одним из способов измерения вычислительной эффективности алгоритма. Например, для решения системы из n уравнений для n неизвестных путем выполнения строковых операций над матрицей до тех пор, пока она не будет в эшелонированной форме, а затем решения для каждого неизвестного в обратном порядке, требуется n ( n + 1) / 2 деления, (2 n ³ + 3 n ² - 5 n ) / 6 умножений и (2 n ³ + 3 n ² - 5 n ) / 6 вычитаний, ^[8]в общей сложности около 2 л ³ /3 операций. Таким образом, он имеет арифметическую сложность O ( n ³ ) ; см Big O нотации .

Эта арифметическая сложность является хорошей мерой времени, необходимого для всего вычисления, когда время для каждой арифметической операции приблизительно постоянно. Это тот случай, когда коэффициенты представлены числами с плавающей запятой или когда они принадлежат конечному полю . Если коэффициенты являются целыми или точно представленными рациональными числами , промежуточные элементы могут расти экспоненциально, так что битовая сложность будет экспоненциальной. ^[9] Однако существует вариант исключения Гаусса, называемый алгоритмом Барейсса , который позволяет избежать этого экспоненциального роста промежуточных элементов и с той же арифметической сложностью O (n ³ ) , имеет битовую сложность O ( n ⁵ ) .

Этот алгоритм можно использовать на компьютере для систем с тысячами уравнений и неизвестных. Однако для систем с миллионами уравнений стоимость становится непомерно высокой. Эти большие системы обычно решаются с использованием итерационных методов . Специальные методы существуют для систем, коэффициенты которых следуют регулярному шаблону (см. Систему линейных уравнений ).

Чтобы преобразовать матрицу размера n × n в упрощенную форму с помощью строковых операций, требуется n ³ арифметических операций, что примерно на 50% больше шагов вычисления. ^[10]

Одна из возможных проблем - числовая нестабильность , вызванная возможностью деления на очень малые числа. Если, например, ведущий коэффициент одной из строк очень близок к нулю, то для уменьшения строки матрицы необходимо разделить на это число. Это означает, что любая ошибка, существующая для числа, близкого к нулю, будет усилена. Метод исключения Гаусса численно устойчив для диагонально доминирующих или положительно определенных матриц. Для общих матриц исключение Гаусса обычно считается устойчивым при использовании частичного поворота , хотя есть примеры стабильных матриц, для которых оно нестабильно. ^[11]

Обобщения [ править ]

Исключение по Гауссу может выполняться по любому полю , а не только по действительным числам.

Алгоритм Бухбергера является обобщением метода исключения Гаусса на системы полиномиальных уравнений . Это обобщение сильно зависит от понятия мономиального порядка . Выбор порядка переменных уже подразумевается в исключении Гаусса, что проявляется как выбор работы слева направо при выборе положений поворота.

Вычислить ранг тензора порядка больше 2 NP-сложно . ^[12] Следовательно, если P ≠ NP , не может быть полиномиального времени аналога исключения Гаусса для тензоров более высокого порядка (матрицы представляют собой массивы, представляющие тензоры порядка 2).

Псевдокод [ править ]

Как объяснено выше, исключение Гаусса преобразует заданную матрицу A размера m × n в матрицу в виде эшелона строк .

В следующем псевдокоде , A[i, j]обозначает запись матрицы A в строке i и столбце j с индексами, начинающимися с 1. Преобразование выполняется на месте , что означает, что исходная матрица теряется из-за того, что в конечном итоге будет заменена ее строчно-эшелонированной формой.

h: = 1 / * Инициализация сводной строки * /k: = 1 / * Инициализация сводного столбца * /а h ≤ m и k ≤ n / * Находим k-ю опорную точку: * / i_max: = argmax (i = h ... m, abs (A [i, k])), если A [i_max, k] = 0 / * В этом столбце нет поворота, переход к следующему столбцу * / к: = к + 1 иначе  поменять местами строки (h, i_max) / * Выполните для всех строк ниже pivot: * / для i = h + 1 ... m: f: = A [i, k] / A [h, k] / * Заполняем нулями нижнюю часть сводной колонки: * / A [i, k]: = 0 / * Выполнить для всех оставшихся элементов в текущей строке: * / для j = k + 1 ... n: A [i, j]: = A [i, j] - A [h, j] * f / * Увеличиваем сводную строку и столбец * / ч: = ч + 1 к: = к + 1

Этот алгоритм немного отличается от описанного ранее, поскольку он выбирает опорную точку с наибольшим абсолютным значением . Такой частичный поворот может потребоваться, если в точке поворота элемент матрицы равен нулю. В любом случае выбор максимально возможного абсолютного значения оси поворота улучшает численную стабильность алгоритма, когда для представления чисел используется плавающая точка .

По завершении этой процедуры матрица будет в виде эшелона строк, и соответствующая система может быть решена путем обратной подстановки .

См. Также [ править ]

• Фанчэн (математика)

Ссылки [ править ]

Процитированные работы [ править ]

• Аткинсон, Кендалл А. (1989), Введение в численный анализ (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0471624899.
• Болч, Гюнтер; Грейнер, Стефан; де Меер, Германн; Триведи, Кишор С. (2006), Сети массового обслуживания и марковские цепи: моделирование и оценка производительности с применением компьютерных наук (2-е изд.), Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-79156-0.
• Калинджер, Рональд (1999), Контекстная история математики , Прентис Холл , ISBN 978-0-02-318285-3.
• Фарбратер, Р. У. (1988), Вычисления методом наименьших квадратов , СТАТИСТИКА: Учебники и монографии, Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-7661-9.
• Лауритцен, Нильс, Выпуклость для студентов: от Фурье и Моцкина до Куна и Такера.
• Голуб, Джин Х .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Matrix Computations (3-е изд.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Гркар, Джозеф Ф. (2011a), «Как обычное исключение стало исключением по Гауссу», Historia Mathematica , 38 (2): 163–218, arXiv : 0907.2397 , doi : 10.1016 / j.hm.2010.06.003
• Гркар, Джозеф Ф. (2011b), «Математики исключения Гаусса» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 782–792
• Хайэм, Николас (2002), Точность и стабильность численных алгоритмов (2-е изд.), SIAM , ISBN 978-0-89871-521-7.
• Кац, Виктор Дж. (2004), История математики, краткая версия , Addison-Wesley , ISBN 978-0-321-16193-2.
• Кау, Аутар; Калу, Эгву (2010). "Численные методы с приложениями: Глава 04.06 Исключение Гаусса" (PDF) (1-е изд.). Университет Южной Флориды.
• Липсон, Марк; Lipschutz, Seymour (2001), Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума , Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 69–80, ISBN 978-0-07-136200-9.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 2.2» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN. 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике по линейной алгебре есть страница по теме: Исключение Гаусса

• Интерактивный дидактический инструмент