Матрица Фробениуса

Матрица Фробениуса является особым видом квадратной матрицы из вычислительной математики . Матрица является матрицей Фробениуса, если она имеет следующие три свойства:

• все записи на главной диагонали - единицы
• записи под главной диагональю не более одного столбца являются произвольными
• каждая вторая запись равна нулю

Следующая матрица является примером.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Матрицы Фробениуса обратимы . Матрица, обратная матрице Фробениуса, снова является матрицей Фробениуса, равной исходной матрице с измененными знаками за пределами главной диагонали. Таким образом, обратное приведенному выше примеру:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Матрицы Фробениуса названы в честь Фердинанда Георга Фробениуса .

Термин матрица Фробениуса может также использоваться для альтернативной формы матрицы, которая отличается от матрицы идентичности только элементами одной строки, предшествующей диагональному элементу этой строки (в отличие от приведенного выше определения, в котором матрица отличается от единичной матрицы в один столбец под диагональю). Следующая матрица представляет собой пример этой альтернативной формы, показывающий матрицу 4 на 4 с ее 3-й строкой, отличной от единичной матрицы.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\a_{31}&a_{32}&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Альтернативное название этой последней формы матриц Фробениуса - матрица преобразования Гаусса в честь Карла Фридриха Гаусса . ^[1] Они используются в процессе исключения Гаусса для представления преобразований Гаусса.

Если матрица умножается слева (умножается слева) на матрицу преобразования Гаусса, линейная комбинация предыдущих строк добавляется к данной строке матрицы (в примере, показанном выше, линейная комбинация строк 1 и 2 будет добавить в строку 3). Умножение на обратную матрицу вычитает соответствующую линейную комбинацию из данной строки. Это соответствует одной из элементарных операций исключения Гаусса (помимо операции транспонирования строк и умножения строки на скалярное кратное).

См. Также [ править ]

• Элементарная матрица , частный случай матрицы Фробениуса только с одной недиагональной ненулевой

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джин Х. Голуб и Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления , третье издание, Johns Hopkins University Press. ISBN  0-8018-5413-X (в твердой обложке), ISBN 0-8018-5414-8 (в мягкой обложке). 

Эта статья по линейной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e